Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

824 задачі
ГеометріяДопоміжне коло (перекидання кутів)
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-1996-003

Центр описаного кола на висоті похідного трикутника

Коло, діаметром якого є висота, проведена з вершини AA трикутника ABCA B C, перетинає сторони ABA B і ACA C у точках DD і EE відповідно (A≠D,A≠E)(A \neq D, A \neq E). Доведіть, що центр описаного кола трикутника ABCA B C лежить на висоті, проведеній з вершини AA трикутника ADEA D E, або на її продовженні.
10–11 класиОзнаки подібності
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-1995-001

Діаметр кола з перпендикулярними хордами

Нехай ABAB — діаметр кола з центром OO. Виберемо точку CC на колі так, щоб OCOC і ABAB були перпендикулярні. Нехай PP — довільна точка на (меншій) дузі BCBC, а прямі CPCP і ABAB перетинаються в точці QQ. Виберемо точку RR на прямій APAP так, щоб RQRQ і ABAB були перпендикулярні. Доведіть, що ∣BQ∣=∣QR∣|BQ| = |QR|.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Балтійський шляхBW-1990-008

Прямі Сімсона діаметрально протилежних точок

Нехай PP — точка на описаному колі трикутника ABCABC. Відомо, що основи перпендикулярів, проведених з PP на прямі ABAB, BCBC і CACA, лежать на одній прямій (яку називають прямою Сімсона). Доведіть, що прямі Сімсона двох діаметрально протилежних точок P1P_{1} і P2P_{2} перпендикулярні.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбірковий тест на BxMO та EGMOBXTST-2025-002

Перетин прямих у трикутнику із серединою дуги

Дано △ABC\triangle ABC з описаним колом Γ\Gamma. Нехай MM — середина дуги BCBC кола Γ\Gamma, що не містить AA. Точка NN на колі Γ\Gamma — діаметрально протилежна до AA. Пряма через BB, перпендикулярна до прямої AMAM, перетинає AMAM у точці DD та перетинає Γ\Gamma вдруге у точці P≠BP \neq B. Пряма через DD, перпендикулярна до прямої ACAC, перетинає ACAC у точці EE та перетинає BCBC у точці FF. Доведіть, що прямі NDND, MFMF і PEPE перетинаються в одній точці.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-043

Ортоцентр, висота і прямий кут

Нехай △ABC\triangle ABC — гострокутний трикутник з ортоцентром HH. Точки EE і FF лежать на відрізках AC‾\overline{AC} і AB‾\overline{AB} відповідно так, що ∠EHF=90∘\angle EHF = 90^\circ. Нехай XX — основа висоти з HH на EF‾\overline{EF}. Доведіть, що ∠BXC=90∘\angle BXC = 90^\circ.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)3 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-046

Інцентр, дотичне коло з центром на описаному колі та прямий кут

Нехай △ABC\triangle ABC — трикутник з інцентром II. Вписане коло трикутника △ABC\triangle ABC дотикається до сторони BC‾\overline{BC} в точці DD. Нехай MM — середина сторони BC‾\overline{BC}, а пряма AIAI перетинає описане коло трикутника △ABC\triangle ABC знову в точці L≠AL \neq A. Нехай ω\omega — коло з центром у LL, дотичне до прямих ABAB і ACAC. Якщо ω\omega перетинає відрізок AD‾\overline{AD} в точці PP, доведіть, що ∠IPM=90∘\angle IPM = 90^{\circ}.
10–11 класиГомотерія і подібність3 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-018

Вписаний прямокутний трикутник у рівносторонньому трикутнику

Прямокутний трикутник △DEF\triangle DEF з ∠D=90∘\angle D = 90^{\circ} і ∠F=30∘\angle F = 30^{\circ} вписано в рівносторонній трикутник △ABC\triangle ABC так, що DD, EE і FF лежать на відрізках BC‾\overline{BC}, CA‾\overline{CA} і AB‾\overline{AB} відповідно. Відомо, що BD=7BD = 7 і DC=4DC = 4. Обчисліть довжину відрізка DEDE.
10–11 класиОзнаки подібності2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-026

Коло, дотичне до сторін шестикутника

Правильний шестикутник ABCDEFABCDEF має сторону 22. Коло ω\omega лежить усередині шестикутника і дотикається до відрізків AB‾\overline{AB} і AF‾\overline{AF}. Існують дві перпендикулярні прямі, дотичні до кола ω\omega, які проходять через CC і EE відповідно. Відомо, що ці дві прямі не перетинаються на прямій ADAD. Обчисліть радіус кола ω\omega.
10–11 класиДотична кола
Відбіркові тести на IMOTST-2025-004

Кути в паралелограмі з описаними колами

Нехай ABCDABCD — паралелограм, а MM — точка перетину діагоналей. Описане коло трикутника △ABM\triangle ABM перетинає відрізок ADAD у точці E≠AE \neq A, а описане коло трикутника △EMD\triangle EMD перетинає відрізок BEBE у точці F≠EF \neq E. Доведіть, що ∠ACB=∠DCF\angle ACB = \angle DCF.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2025-002

Діагоналі паралелограма і перетини кіл

Нехай ABCDABCD — паралелограм, а MM — точка перетину його діагоналей. Описане коло △ABM\triangle ABM перетинає відрізок ADAD у точці E≠AE \ne A, а описане коло △EMD\triangle EMD перетинає відрізок BEBE у точці F≠EF \ne E. Доведіть, що ∠ACB=∠DCF\angle ACB = \angle DCF.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2025-013

Найкоротший шлях через паралельну пряму та трикутник

Нехай △ABC\triangle ABC — гострокутний трикутник такий, що ∣AB∣+∣BC∣=4∣AC∣|AB| + |BC| = 4|AC| і ∣AB∣<∣BC∣|AB| < |BC|. Нехай DD — точка перетину бісектриси ∠ABC\angle ABC зі стороною ACAC. Точки PP і QQ лежать на відрізку BDBD так, що ∣BP∣=2∣DQ∣|BP| = 2|DQ|. Нехай ℓ\ell — пряма, що проходить через PP паралельно стороні ACAC. Пряма, що проходить через QQ перпендикулярно до відрізка BDBD, перетинає відрізки ABAB і BCBC відповідно в XX і YY. Припустимо, що XX і YY лежать по інший бік від прямої ℓ\ell, ніж BB. Мураха починає свою подорож з XX і рухається звідти до точки на стороні ACAC, потім до точки на прямій ℓ\ell, потім знову повертається до (можливо, іншої) точки на стороні ACAC і, нарешті, до YY. Доведіть, що довжина найкоротшого можливого шляху мурахи дорівнює 4∣XY∣4|XY|.
10–11 класиСиметрія2 розв’язки
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2025-013

Колінеарність центрів описаних кіл трикутника

Нехай △ABC\triangle ABC — гострокутний трикутник з центром описаного кола OO. Нехай O1O_1 і O2O_2 — центри описаних кіл трикутників ABOABO і ACOACO відповідно. Припустімо, що описане коло трикутника AO1O2AO_1O_2 перетинає відрізок BCBC у двох різних точках PP і QQ (відмінних від кінцевих точок), причому чотири точки B,P,Q,CB, P, Q, C йдуть у цьому порядку вздовж відрізка. Нехай O3O_3 — центр описаного кола трикутника OPQOPQ. Доведіть, що три точки $A, O, $ і O3O_3 лежать на одній прямій.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2025-008

Гострокутний трикутник з основами перпендикулярів

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з центром описаного кола OO, а DD — основа перпендикуляра з AA на пряму BCBC. Припустимо, що виконуються рівності ∠AOD=90∘\angle AOD = 90^\circ і OD=47OD = 4\sqrt{7}. Нехай EE і FF — основи перпендикулярів з DD на сторони ABAB і ACAC відповідно, а прямі AOAO і EFEF перетинаються в точці PP. Якщо AP=11AP = 11, знайдіть довжину відрізка EFEF.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2025-005

Вписаний чотирикутник з ортоцентром і рівними відрізками

Нехай ABCABC — гострокутний різносторонній трикутник, у якому AC>BC>ABAC > BC > AB. Нехай HH — ортоцентр, а OO — центр описаного кола. Припустімо, що прямі BOBO і CHCH перетинаються в точці DD. Точка EE (де E≠CE \neq C) лежить на стороні ACAC так, що чотирикутник OECDOECD є вписаним. Точка FF (де F≠CF \neq C) лежить на стороні BCBC так, що CE=FECE = FE. Доведіть, що чотирикутник BHDFB H D F є вписаним. (Ортоцентр трикутника — це точка перетину його висот.)
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Естонська математична олімпіадаESTMO-2024-038

Колінеарність із побудови серединним перпендикуляром

Дано гострокутний трикутник ABCABC з AC>ABAC > AB. Серединний перпендикуляр до сторони BCBC перетинає прямі ACAC і ABAB у точках DD і EE відповідно. Коло з діаметром DEDE перетинає прямі ACAC і ABAB у точках KK і LL відповідно (K≠D,L≠EK \neq D, L \neq E). Нехай MM — середина сторони BCBC. Доведіть, що точки K,LK, L і MM лежать на одній прямій.
9 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Естонська математична олімпіадаESTMO-2024-017

Незалежність точки K від точки X на медіані

Точка XX вибрана на медіані ADAD трикутника ABCABC. Описане коло трикутника ABXABX перетинає медіану BEBE трикутника ABCABC у точці Y≠BY \neq B. Описане коло трикутника EXYEXY перетинає пряму DEDE у точці K≠EK \neq E. Доведіть, що положення точки KK не залежить від XX.
8–10 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Естонська математична олімпіадаESTMO-2024-023

Висоти трикутника, дотична та підрахунок кутів

У гострокутному трикутнику ABCABC з AB<ACAB < AC висоти BEBE і CFCF перетинаються в точці HH. Дотична до описаного кола трикутника ABCABC в точці AA перетинає описане коло трикутника AEFAEF в точці T≠AT \neq A. Описані кола трикутників TBETBE і TCFTCF перетинаються в точці K≠TK \neq T. Доведіть, що ∠KHB=∠ABC\angle KHB = \angle ABC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Естонська математична олімпіадаESTMO-2024-046

Дотичні та коло через точки трикутника

Висоти гострокутного трикутника ABCABC перетинаються в точці HH. Дотична в точці AA до описаного кола трикутника AHBAHB перетинає пряму CHCH в точці KK. Дотична в точці AA до описаного кола трикутника AHCAHC перетинає пряму BHBH в точці LL. Доведіть, що точки BB, CC, KK, LL лежать на одному колі.
11 класДотична кола2 розв’язки
Естонська математична олімпіадаESTMO-2024-049

Циклічний чотирикутник із бісектрис кутів

У трикутнику ABCABC внутрішні бісектриси при вершинах BB і CC перетинаються в точці II і перетинають сторони CACA і ABAB у точках EE і FF відповідно. Нехай MM і NN — середини відрізків BIBI і CICI відповідно. Пряма FMFM перетинає зовнішню бісектрису при вершині BB трикутника ABCABC у точці KK, а пряма ENEN перетинає зовнішню бісектрису при вершині CC трикутника ABCABC у точці LL. Доведіть, що точки K,B,CK, B, C і LL лежать на одному колі.
11 класГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-056

Перетин після повороту прямокутника

Нехай ABCDABCD — прямокутник, вершини якого занумеровано проти годинникової стрілки, причому AB=32AB=32 і AD=60AD=60. Прямокутник AB′C′D′AB^{\prime}C^{\prime}D^{\prime} побудовано поворотом прямокутника ABCDABCD проти годинникової стрілки навколо AA на 60∘60^{\circ}. Відомо, що прямі BB′BB^{\prime} і DD′DD^{\prime} перетинаються в точці XX. Обчисліть довжину відрізка CXCX.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2024-012

Паралельність у конфігурації висот трикутника

Нехай △ABC\triangle ABC — гострокутний трикутник, такий, що ∣AB∣<∣AC∣|AB| < |AC|, з описаним колом Γ\Gamma з центром OO. Точки D,ED, E і FF побудовано як основи висот з A,BA, B і CC відповідно. Нехай PP — точка перетину дотичних до кола Γ\Gamma, проведених через BB і CC. Пряма через PP, перпендикулярна до прямої EFEF, перетинає пряму ADAD у точці QQ. Нехай RR — ортогональна проєкція AA на пряму EFEF. Доведіть, що прямі DRDR і OQOQ паралельні.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Італійська математична олімпіадаITAMO-2024-002

Рівнобедрений трикутник з бісектрисних перетинів

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а DD — основа бісектриси, проведеної з AA. Нехай EE та FF — відповідно перетин прямої ACAC з описаним колом трикутника ABDABD і перетин прямої ABAB з описаним колом трикутника ACDACD. Нехай також PP — перетин прямих BEBE і CFCF. a. Доведіть, що трикутник PBCPBC — рівнобедрений. b. Доведіть, що BD:BE=CD:CFBD : BE = CD : CF. c. Нехай F′F^{\prime} — точка, симетрична точці FF відносно середини відрізка BCBC. Доведіть, що трикутник EBF′EBF^{\prime} подібний до трикутника ABCABC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2024-006

Коло, дотичне до сторони та описаного кола

Нехай ABCABC — рівнобедрений трикутник з AB=AC=5AB = AC = 5. Нехай DD — точка на стороні ABAB, така, що AD=3AD = 3, а EE — точка на стороні BCBC (відмінна від кінців BB і CC). Нехай ω\omega — коло, яке проходить через EE і дотикається до прямої ABAB у точці BB. Припустимо, що коло ω\omega дотикається до описаного кола трикутника ADEADE. Нехай FF — точка перетину кола ω\omega і прямої AEAE, відмінна від EE. Коли CF=10CF = 10, знайдіть довжину сторони BCBC.
10–11 класиКола, що дотикаються
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-022

Колінеарність у описаному колі рівностороннього трикутника

Нехай ABCABC — рівносторонній трикутник, а PP — точка на описаному колі цього трикутника, відмінна від AA, BB і CC. Прямі, що проходять через PP і паралельні до (BC)(BC), (CA)(CA) і (AB)(AB), перетинають прямі (CA)(CA), (AB)(AB) і (BC)(BC) у точках MM, NN і QQ відповідно. Доведіть, що точки MM, NN і QQ лежать на одній прямій.
8–10 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-075

Вписаний чотирикутник, побудований за інцентром

Нехай ABCABC — трикутник, а II — центр його вписаного кола. Серединний перпендикуляр до відрізка [BC][BC] перетинає пряму (AI)(AI) в точці SS та пряму (BI)(BI) в точці TT. Доведіть, що CC, II, SS і TT лежать на одному колі.
8–10 класиТеорема про тризуб

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.