Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 010 задач
КомбінаторикаІгри і стратегії
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-20-21-005

Знакозмінна сума після викидання одного нуля чи одиниці

У рядок виписано декілька чисел, кожне з яких дорівнює 00 чи 11. Доведіть, що можна викинути одне з них або не викидати жодного так, щоб знакозмінна сума чисел, що лишилися, дорівнювала 00. Примітка. Знакозмінна сума послідовності a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n невід'ємних чисел — це сума, що визначається в такий спосіб: a1−a2+a3−a4+…+(−1)n+1ana_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \ldots + (-1)^{n+1} a_n. Наприклад, якщо виписано числа 1,0,0,0,1,0,11, 0, 0, 0, 1, 0, 1, то можна викинути другу справа одиницю й отримати таку знакозмінну суму: 1−0+0−0+0−1=01 - 0 + 0 - 0 + 0 - 1 = 0.
10–11 класиІнші інваріанти
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-20-21-004

Нескінченний процес з простим дільником і трійкою

Спочатку на дошці написано деяке натуральне число, більше за 11. Щосекунди на дошці замість записаного числа nn записують число n+npn+\frac{n}{p}, де pp — деякий простий дільник натурального числа nn, при цьому такий процес триває нескінченно довго. Доведіть, що як просте число pp число 33 було вибране нескінченно багато разів.
10–11 класиНапівінваріанти
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-20-21-006

Гра з 2020 одиницями на дошці за монети

Гравці A і B грають у гру на дошці, на якій спочатку записано 20202020 одиниць. Кожним ходом гравець A стирає два числа на дошці (скажімо, xx і yy), а гравець B записує на дошці одне із чисел — x+yx + y або ∣x−y∣|x - y|. Гра закінчується, коли виконується одне з таких тверджень: (1) одне із чисел строго більше, ніж сума всіх інших чисел; (2) на дошці записано тільки нулі. Коли гра закінчилася, гравець B мав дати гравцю A стільки монет, скільки чисел залишилося на дошці. Гравець A прагне отримати якомога більше монет, а гравець B хоче віддати якомога менше. Якщо обидва гравці грають оптимально, то яку кількість монет мусить віддати гравець B?
10–11 класиІнші інваріанти
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-20-21-007

Матчі команд з однаковими очками та очки переможниці

Сто волейбольних команд узяли участь у турнірі, у якому кожна команда зіграла з кожною іншою рівно 11 раз, причому всі матчі були зіграні в різний час. Виявилося, що в кожному матчі зустрічалися команди, які на той момент мали однакову кількість очок. Яку найбільшу кількість очок могла набрати команда — переможниця турніру? Примітка. У волейболі за перемогу команді нараховують 11 очко, за поразку — 00 очок, а нічиїх не буває.
10–11 класиІнші інваріанти
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-19-20-008

Місто щонайбільше з одним виїздом серед односторонніх доріг

В Аліси є мапа деякої казкової країни, у якій є всього n>1n > 1 міст. Між будь-якими двома містами існує єдина вузенька дорога. 10 серпня усі ці дороги стали односторонніми. Аліса не знає, який напрямок руху став на дорогах. Вона хоче дізнатися, чи є в країні принаймні одне місто, яке має максимум одну дорогу, якою з міста можна виїхати. За одне запитання до укладача напрямків доріг вона може дізнатися про напрямок руху рівно по одній будь-якій дорозі. Доведіть, що не більше ніж за 4n4n запитань вона зможе дізнатися про те, що хоче.
10–11 класиОрієнтовані графи
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-19-20-012

Рівність сум цифр числа без дев’яток та його добутку

Позначимо через S(k)S(k) суму цифр числа kk. Доведіть, що існує таке натуральне число nn, яке не містить у своєму десятковому записі цифр 99 та для якого S(21000000n)=S(n)S(2^{1000000}n)=S(n).
7–9 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-19-20-015

Поліцаї у квартирі з n стінами та дверима

У казковому всесвіті політичний діяч має квартиру CC, що є нескінченною площиною з nn стінами — кожна у формі нескінченної прямої, які розбивають квартиру на кімнати. Серед стін немає двох паралельних, а також немає трьох, що мають спільну точку. Працівники ЖКГ кожну зі стін повністю фарбують у блакитний колір з одного боку та в жовтий — із другого. На перетині будь-яких двох стін є чотири кути, з яких рівно два (причому вертикальних), що мають сторони різного кольору. На кожному такому перетині є двосторонні двері, які з’єднують ті два кути, сторони яких різного кольору. Після того як працівники ЖКГ пофарбують стіни, служба безпеки всесвіту розміщує деяку кількість поліцаїв у цій квартирі. Поліцаї вміють проходити крізь двері, але не можуть проходити крізь стіни. Нехай kk — найбільше число, що відповідає кількості поліцаїв, яких, незважаючи на те, як ЖКГ пофарбує стіни, служба безпеки завжди зможе розмістити так, щоб не знайшлося двох поліцаїв, котрі мають можливість зустрітися.
10–11 класиЗв’язність
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-18-19-006

Заміна пари цілочисельних точок паралелограмом

На координатній площині дано скінченну множину точок SS, кожна з координат яких є цілим числом. За один крок дозволено замінити пару точок A,B∈SA, B \in S на довільну пару цілочисельних точок C,D∈SC, D \in S так, що чотирикутник ABCDABCD буде паралелограмом, причому AB>CDAB > CD. Доведіть, що такий процес не може тривати нескінченно.
10–11 класиНапівінваріанти
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-15-16-002

Однакові числа у квадраті 3×3 після операцій

Натуральні числа від 1 до 9 розставлено деяким чином у комірки квадрата 3×33\times3 (по одному числу в комірку). З ними можна робити такі перетворення: вибрати довільний квадрат 2×22\times2 й додати 1 до кожного з чотирьох чисел цього квадрата або відняти 1 від кожного із цих чисел. Після кількох таких кроків виявилося, що в кожній комірці квадрата 3×33\times3 записано однакові числа. Якими можуть бути ці однакові числа?
7–9 класиІнші інваріанти
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-15-16-010

Чарівне число дошки і перестановки рядків та стовпчиків

Задано натуральне число n⩾2n \geqslant 2. Числа 1,2,…,n21, 2, \ldots, n^2 за чергою записують у клітинки квадратної дошки розміром n×nn \times n таким чином, що числа 1,2,…,n1, 2, \ldots, n записані зліва направо в першому рядку, числа n+1,n+2,…,2nn + 1, n + 2, \ldots, 2n записані зліва направо в другому й т. д. Чарівним числом дошки назвемо кількість рядків, стовпчиків і головних (найбільших) діагоналей, у яких середнє значення елементів дорівнює n2+12\frac{n^2+1}{2}. Доведіть, що чарівне число дошки залишається незмінним, якщо виконується довільна послідовність таких операцій: 1) перестановка двох рядків; 2) перестановка двох стовпчиків.
7–9 класиІнші інваріанти
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-15-16-001

Три фішки на 6n+3-кутнику з лунками

Полем гри є вершини правильного 6n+36n + 3-кутника, які за рухом годинникової стрілки перенумеровані числами 11; 22; …\ldots; 6n+36n + 3. Вершини з номерами 2n+12n + 1; 4n+24n + 2; 6n+36n + 3 називаються лунками. На початку гри на полі розташовано 3 фішки. Два гравці за чергою вибирають будь-яку з трьох фішок та пересувають її в сусідню вершину за рухом годинникової стрілки, якщо та не зайнята іншою фішкою. Перший гравець перемагає, якщо принаймні дві з фішок після ходу будь-якого з гравців попадають у лунки. Чи завжди перший гравець може перемогти, якщо на початку гри фішки розставлені у вигляді правильного трикутника?
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-15-16-009

Гра з вибором чисел без сусідніх

Задано натуральне число nn. Двоє гравців А та Б грають у гру за такими правилами: - гравці за чергою вибирають деяке натуральне число k⩽nk \leqslant n; - не можна вибирати число, яке було вибрано раніше; - гравець не може вибрати число, якщо він уже вибрав сусіднє число; - гра закінчується внічию, якщо було використано всі числа; у протилежному разі програє той гравець, який не може зробити наступний хід. Гравець А ходить першим. Визначте результат гри, якщо обидва гравці грають за оптимальною стратегією.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-002

Кускова функція та різні знаки послідовних приростів

Функція f(x):(0,1)→(0,1)f(x) : (0,1) \to (0,1) визначена таким чином: f(x)={x+12,x<12,x2,x⩾12.f(x) = \begin{cases} x + \dfrac{1}{2}, & x < \dfrac{1}{2}, \\ x^2, & x \geqslant \dfrac{1}{2}. \end{cases} Нехай aa і bb — два довільних дійсних числа таких, що 0<a<b<10 < a < b < 1. Визначимо послідовності ana_n і bnb_n таким чином: a0=aa_0 = a, b0=bb_0 = b і an=f(an−1)a_n = f(a_{n-1}), bn=f(bn−1)b_n = f(b_{n-1}) при n>0n > 0. Доведіть, що існує додатне значення nn таке, що (an−an−1)(bn−bn−1)<0(a_n - a_{n-1})(b_n - b_{n-1}) < 0.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-006

Одиниці на дошці та заміна пари їх сумою

На дошці записано 2m2^m разів число 11. За один крок дозволено вибрати два довільних числа aa і bb, витерти їх і на місці кожного з них записати число a+ba + b. Доведіть, що після m2m−1m2^{m-1} кроків сума чисел на дошці буде не менша ніж 4m4^m.
10–11 класиНапівінваріанти
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-14-15-005

Нерівність між коштами послідовностей Андрія та Юри

Для довільної послідовності x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n, яка складається з дійсних чисел, будемо називати її коштом число max⁡1⩽i⩽n∣x1+x2+…+xi∣\max\limits_{1 \leqslant i \leqslant n} |x_1 + x_2 + \ldots + x_i|. Із заданих nn дійсних чисел Андрій та Юра хочуть утворити послідовність, яка має малий кошт. Андрій перебирає всі можливі послідовності й вибирає з них ту, кошт DD якої мінімальний. Юра, у свою чергу, вибирає спочатку x1x_1 таке, що величина ∣x1∣|x_1| мінімальна, далі з решти чисел вибирає x2x_2 таке, що величина ∣x1+x2∣|x_1 + x_2| набуває найменшого значення, і так далі. Іншими словами, на ii-му кроці Юра вибирає xix_i із чисел, які вони ще не використовували, і величина ∣x1+x2+…+xi∣|x_1 + x_2 + \ldots + x_i| є мінімальною. На кожному кроці, якщо існують декілька чисел, для яких досягається мінімальне значення, Юра вибирає довільне з них. Для побудованої послідовності він підраховує її кошт GG. Знайдіть найменше значення константи cc такої, що для довільного натурального nn, для довільних nn дійсних чисел x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n і для довільної послідовності, яку може отримати Юра, виконується нерівність G⩽cDG \leqslant cD.
10–11 класиЖадібний алгоритм
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-13-14-010

Гра в дільники числа 100! з НСД 1

Двоє грають у таку гру: вони по черзі записують на дошці дільники числа 100!100!, не повторюючи числа, що вже були записані на дошці. Програє той гравець, після ходу якого найбільший спільний дільник усіх чисел, що записані на дошці, буде дорівнювати 11. Хто з гравців переможе при правильній грі?
10–11 класиКласичні ігри
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-13-14-016

Знищення і клонування сплутаних молекул

Божевільний учений винайшов новий вид молекул. Після того як він розбив колбу, деякі молекули опинилися в лабораторії. Деякі пари молекул можуть бути сплутаними, і одна молекула може бути сплутаною з кількома іншими молекулами. Учений навчився виконувати такі операції з молекулами, по одній операції за раз: - якщо деяка молекула сплутана з непарною кількістю молекул, то вчений може знищити її; - учений може клонувати всі молекули, які є в деякий момент часу в лабораторії, зробивши копію I′I' кожної молекули II. При цьому дві копії I′I' та J′J' сплутані між собою тоді і тільки тоді, коли їхні прообрази II та JJ сплутані, а також сплутаними між собою є кожна копія I′I' і її прообраз II. Жодних інших зв'язків не може утворитись, і жоден інший зв'язок не може бути зруйнований у ході даної операції. Доведіть, що вчений за допомогою цих двох операцій може отримати набір молекул, жодні дві з яких не сплутані між собою.
10–11 класиСтепені вершин
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-13-14-012

Кількість n з подільністю n!+1 на p

Доведіть, що для довільного простого p⩾3p \geqslant 3 кількість натуральних чисел nn, для яких p∣n!+1p \mid n!+1, не перевищує cp2/3cp^{2/3}, де cc — константа, яка не залежить від pp.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-12-13-004

Зростаюча послідовність більша за степені та подання чисел

Доведіть, що для довільного числа M>2M > 2 існує зростаюча послідовність натуральних чисел (an)(a_n), яка задовольняє такі умови: ∀i∈Nai>Mi;\forall i \in \mathbb{N} \quad a_i > M^i; ціле число n≠0⇔∃m∈Nn \neq 0 \Leftrightarrow \exists m \in \mathbb{N} та існують b1,b2,…,bm∈{−1,1}b_1, b_2, \ldots, b_m \in \{-1, 1\}, для яких справджується рівність n=b1a1+b2a2+…+bmamn = b_1 a_1 + b_2 a_2 + \ldots + b_m a_m.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-09-10-009

П'ять відер у вершинах п'ятикутника та гра з водою

П'ять однакових дволітрових відер стоять на дворі у вершинах правильного п'ятикутника. Попелюшка та її зла мачуха проводять декілька раундів гри за таким правилом. На початку кожного раунду мачуха набирає 11 л брудної води з найближчої калюжі та розподіляє її довільним чином між 55 відрами у дворі. Попелюшка обирає два довільних відра, які стоять поруч (у сусідніх вершинах п'ятикутника), та виливає з них воду в калюжу й ставить порожні відра на місце. Це закінчує черговий раунд. Мачуха прагне зробити так, щоб принаймні в одному відрі вода перелилася через край (тобто після її доливання у ведрі мало бути більше ніж 22 л води), а Попелюшка — не допустити цього. Чи зможе мачуха досягти своєї мети?
10–11 класиІнші інваріанти
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-08-09-003

Велика сім'я підмножин та їхній спільний перетин

Нехай SS – це деяка множина, що складається з nn елементів, FF – це сукупність підмножин SS, що складається з 2n−12^{n-1} таких підмножин, що кожні три такі підмножини мають непорожній перетин. а) Показати, що перетин усіх підмножин з FF непорожній. б) Якщо замінити кількість множин з 2n−12^{n-1} на 2n−1−12^{n-1}-1 чи зміниться попередня відповідь?
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-08-09-011

Найменша кількість жовто-блакитних клітинок таблиці n на n

Нехай задано натуральні числа m<nm < n. Розглянемо таблицю розміром n×nn \times n, у комірках якої довільним чином записані усі числа від 11 до n2n^2. В кожному рядочку таблиці пофарбуємо в жовтий колір mm найбільших елементів. Аналогічно, блакитним пофарбуємо mm найбільших елементів в кожному стовпчику. Знайти найменшу можливу кількість клітинок, що пофарбовані жовтим і блакитним одночасно.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2025-003

Гра з многочленом xy-1 і натуральні розв'язки рівняння

Мар'ям і Артур грають у гру на дошці: вони роблять ходи по черзі, починає Артур. Спочатку на дошці записано многочлен xy−1xy - 1. На кожному ході гравець замінює поточний многочлен P(x,y)P(x, y) на один із таких: - x⋅P(x,y)x \cdot P(x, y); - y⋅P(x,y)y \cdot P(x, y); - P(x,y)+aP(x, y) + a, де aa — довільне ціле число з проміжку (−∞,2025](-\infty, 2025]. Гра завершується після того, як кожен із гравців зробить по 20252025 ходів. Позначимо через Q(x,y)Q(x, y) многочлен, який залишився на дошці після завершення гри. Мар'ям виграє, якщо рівняння Q(x,y)=0Q(x, y) = 0 має скінченну й непарну кількість розв'язків у натуральних числах (x,y)(x, y). Доведіть, що Мар'ям завжди може виграти, незалежно від дій Артура.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2025-005

Виграшна стратегія в грі з параметром λ

Аліна та Богдан грають у прикольну гру, правила якої залежать від дійсного додатного числа λ\lambda, що відоме обом гравцям до початку гри. На nn-му кроці гри, що починається з n=1n = 1, відбувається таке: - якщо число nn непарне, то Аліна вибирає таке невід'ємне дійсне число xnx_n, що x1+x2+…+xn⩽λn;x_1 + x_2 + \ldots + x_n \leqslant \lambda n; - якщо число nn парне, то Богдан вибирає таке невід'ємне дійсне число xnx_n, що x12+x22+…+xn2⩽n.x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2 \leqslant n. Усі вибрані числа відомі обом гравцям. Якщо хтось із гравців не може вибрати належне число xnx_n, то гра зупиняється, а інший гравець визнається переможцем. Якщо гра триває нескінченно довго, то жоден із гравців не визнається переможцем. Знайдіть усі значення λ\lambda, для яких Аліна має виграшну стратегію, а також усі значення λ\lambda, для яких виграшну стратегію має Богдан.
10–11 класиКласичні ігри
Балтійський шляхBW-2024-003

Перетворення двох чисел на дошці до одного числа

Додатні дійсні числа a1,a2,…,a2024a_1, a_2, \ldots, a_{2024} записані на дошці. За один хід вибирають два числа xx і yy, що записані на дошці, їх стирають та записують число x2+6xy+y2x+y\dfrac{x^2+6xy+y^2}{x+y}. Після 20232023 ходів на дошці залишиться одне число cc. Доведіть, що c<2024(a1+a2+…+a2024).c < 2024(a_1+a_2+\ldots+a_{2024}).
10–11 класиНапівінваріанти

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.