Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

973 задачі
Теорія чиселМодульна арифметика (конгруенції)
Європейський математичний кубокEMC-2024-001

Найменше 2024-цифрове число в грі зі стиранням цифри

Катерина написала на дошці натуральне число з 20242024 цифр. У кожному раунді гри вона стирає останню цифру цілого числа, наприклад, ця цифра буде dd, і записує суму числа, що залишилося, та 2d2d замість старого числа. Вона повторює ті самі дії з новоотриманим числом. Після певної кількості раундів Катерина виявила, що нове отримане число збігається із числом в останньому раунді, і вона припинила гру. З якого найменшого можливого 20242024-цифрового натурального числа Катерина почала цю гру?
7–10 класиМала теорема Ферма
Шорт-лист IMOIMOSL-2024-008

Парні круті числа для дошки з умовою на суми підквадратів

Нехай nn — натуральне число. Числа 1,2,3,…,n21, 2, 3, \ldots, n^{2} треба записати в клітинки дошки n×nn \times n так, щоб кожне число було записане рівно в одній клітинці й кожна клітинка містила рівно одне число. Для кожного цілого dd, для якого d∣nd \mid n, dd-розбиттям дошки називається розбиття дошки на (n/d)2(n / d)^{2} піддощок, що не перетинаються, кожна розміру d×dd \times d, так, щоб кожна клітинка містилася рівно в одній піддошці d×dd \times d. Будемо казати, що nn — круте число, якщо числа можна записати на дошці n×nn \times n так, що для кожного цілого dd, для якого d∣nd \mid n і 1<d<n1 < d < n, у dd-розбитті дошки сума чисел, записаних у кожній піддошці d×dd \times d, не кратна dd. Визначте всі парні круті числа.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Шорт-лист IMOIMOSL-2024-013

Хороші многочлени та подільність

Нехай nn — натуральне число. Скажемо, що многочлен PP з цілими коефіцієнтами є nn-хорошим, якщо існує многочлен QQ степеня 2 з цілими коефіцієнтами такий, що Q(k)(P(k)+Q(k))Q(k)(P(k)+Q(k)) не ділиться на nn для жодного цілого kk. Визначте всі цілі nn, для яких кожен многочлен з цілими коефіцієнтами є nn-хорошим многочленом.
10–11 класиКвадратичні лишки і символ Лежанд…4 розв’язки
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2024-002

Перестановка чисел із частковими сумами не кратними p

Розглянемо непарне просте число pp та натуральне число N<50pN < 50p. Нехай a1,a2,…,aNa_1, a_2, \ldots, a_N — це такий набір натуральних чисел, менших за pp, що будь-яке значення зустрічається поміж них щонайбільше 51100N\frac{51}{100}N разів і при цьому сума a1+a2+…+aNa_1 + a_2 + \ldots + a_N не ділиться на pp. Доведіть, що існує перестановка b1,b2,…,bNb_1, b_2, \ldots, b_N набору a1,a2,…,aNa_1, a_2, \ldots, a_N така, що для будь-якого k=1,2,…,Nk = 1, 2, \ldots, N сума b1+b2+…+bkb_1 + b_2 + \ldots + b_k не ділиться на pp.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2024-004

Остача від ділення bⁿ на aⁿ та подільність

Зафіксуємо натуральні числа aa та bb, більші за 11. Для будь-якого натурального nn нехай rnr_n — це остача від ділення bnb^n на ana^n. Припустимо, що існує таке натуральне число NN, що rn<2nnr_n < \dfrac{2^n}{n} при всіх n⩾Nn \geqslant N. Доведіть, що bb ділиться на aa.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-042

Обернені за модулем простого числа і знакозмінна сума

Нехай pp — непарне просте число. Нехай a1,a2,…,ap−1a_1, a_2, \dots, a_{p-1} — цілі числа такі, що i⋅ai≡1(modp)i \cdot a_i \equiv 1 \pmod{p} для всіх i=1,2,…,p−1i = 1, 2, \dots, p-1. Доведіть, що 2p−2≡p(a1−a2+⋯+ap−2−ap−1)(modp2).2^p - 2 \equiv p(a_1 - a_2 + \dots + a_{p-2} - a_{p-1}) \pmod{p^2}.
10–11 класиФакторизація біноміальних коефіці…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2021-037

Цілі значення для ітерованого функціонального рівняння

Знайдіть усі k∈Zk \in \mathbb{Z} такі, що існує функція f:Z→Zf : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, яка задовольняє f(f(n))=n+kf(f(n)) = n + k для всіх n∈Zn \in \mathbb{Z}.
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-019

Подільність зваженої суми для перестановок

Знайдіть усі цілі числа n⩾2n \geqslant 2 з такою властивістю: будь-які nn попарно різних цілих чисел, сума яких не ділиться на nn, можна розташувати в деякому порядку a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} так, щоб nn ділило 1⋅a1+2⋅a2+⋯+n⋅an1 \cdot a_{1}+2 \cdot a_{2}+\cdots+n \cdot a_{n}.
10–11 класиРозв’язування конгруенцій ax ≡ b…
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-021

Ітерований многочлен за модулем

Для многочлена P(x)P(x) з цілими коефіцієнтами покладемо P1(x)=P(x)P^{1}(x)=P(x) і Pk+1(x)=P(Pk(x))P^{k+1}(x)= P\left(P^{k}(x)\right) при k⩾1k \geqslant 1. Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких існує многочлен P(x)P(x) з цілими коефіцієнтами такий, що для кожного цілого m⩾1m \geqslant 1 числа Pm(1),…,Pm(n)P^{m}(1), \ldots, P^{m}(n) дають рівно ⌈n/2m⌉\left\lceil n / 2^{m}\right\rceil різних остач при діленні на nn.
10–11 класиКитайська теорема про остачі
Міжнародна Жаутиковська олімпіада (IZhO)IZHO-2021-001

Залишок від ділення 2ⁿ на 3ⁿ

Доведіть, що при деякому натуральному nn залишок від ділення числа 2n2^n на число 3n3^n більший за 10202110^{2021}.
10–11 класиОстачі від великих степенів
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2021-002

Кількість ходів для визначення загаданого числа

Ксенія та Сергій грають у таку гру. Ксенія загадує натуральне число N⩽5000N \leqslant 5000. Потім вона вибирає попарно різні натуральні числа a1,a2,…,a20a_1, a_2, \ldots, a_{20}, такі, що для k=1,20‾k = \overline{1, 20} числа NN та aka_k мають однакові залишки від ділення на kk. На кожному ході Сергій називає Ксенії множину SS, що складається з натуральних чисел, які не перевищують 2020, а вона називає йому множину {ak:k∈S}\{a_k : k \in S\}, але не каже, яке число відповідає якому індексу. Скільки ходів потрібно Сергію, щоб гарантовано визначити число, яке загадала Ксенія?
10–11 класиКитайська теорема про остачі
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-032

Гра з добутками за модулем простого числа

Річард і Каарел по черзі вибирають числа з множини {1,…,p−1}\{1, \dots, p-1\}, де p>3p > 3 — просте число. Першим вибирає Річард. Жодне число, яке вже було вибране одним із гравців, не може бути вибране повторно жодним із гравців. Кожне число, вибране Річардом, множиться на те число, яке Каарел вибирає безпосередньо після нього. Каарел виграє гру, якщо в деякий момент гри сума всіх отриманих добутків ділиться на pp. Річард виграє, якщо цього не станеться, тобто гравці використають усі числа раніше, ніж будь-яка із сум поділиться на pp. Чи може хтось із гравців гарантувати собі перемогу незалежно від ходів суперника і якщо так, то хто саме?
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-034

Показник простого числа у факторіалі за модулем

Для простого числа pp і натурального числа nn позначимо через f(p,n)f(p, n) найбільше ціле число kk таке, що pk∣n!p^k \mid n!. Нехай pp — задане просте число, а mm і cc — задані натуральні числа. Доведіть, що існує нескінченно багато натуральних чисел nn таких, що f(p,n)−cf(p, n) - c ділиться на mm.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Кіберпросторове математичне змагання (CMC)CMC-2020-002

Прості дільники добутку значень 3x²+1

Нехай f(x)=3x2+1f(x)=3x^2+1. Доведіть, що для довільного натурального nn добуток f(1)⋅f(2)⋅…⋅f(n)f(1)\cdot f(2)\cdot\ldots\cdot f(n) має не більше ніж nn різних простих дільників.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Європейський математичний кубокEMC-2020-007

Гра з додаванням і множенням до кратності простому числу

Нехай pp — просте число. Трой та Абед грають у таку гру. Трой записує натуральне число XX на дошці та задає для Абеда послідовність натуральних чисел (an)(a_n). Після цього Абед робить послідовність ходів, nn-й хід є таким: записане на дошці число YY замінив на число Y+anY + a_n або на число Y⋅anY \cdot a_n. Абед перемагає, якщо в певний момент число, що записане на дошці, кратне pp. Визначте, чи може Абед виграти незалежно від вибору Троя, якщо: а) p=109+7p = 10^9 + 7; б) p=109+9p = 10^9 + 9. Примітка. Обидва числа p=109+7p = 10^9 + 7 та p=109+9p = 10^9 + 9 є простими.
10–11 класиРозв’язування конгруенцій ax ≡ b…
Міжнародна Жаутиковська олімпіада (IZhO)IZHO-2020-001

Числа 2^a 3^b + 1 та 2^c + 3^d

Натуральне число nn таке, що ні при яких натуральних aa, bb число 2a3b+12^a 3^b + 1 не ділиться на nn. Доведіть, що число 2c+3d2^c + 3^d не ділиться на nn ні при яких натуральних cc, dd.
10–11 класиТеорема Ейлера
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-040

Ферзі, що не атакують, на тороїдальній дошці

Шахівниця має форму тора розміром n×nn \times n, де n=22k+1n = 2^{2k} + 1. Доведіть, що nn ферзів у клітинках (i,2k⋅i)(i, 2^k \cdot i) (1≤i≤n1 \le i \le n, множення за модулем nn) не атакують один одного.
10–11 класиРозв’язування конгруенцій ax ≡ b…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2019-005

Наступники чисел з різними остачами та малою сумою

Нехай n⩾2n \geqslant 2 є цілим числом та нехай a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n є натуральними числами. Доведіть, що існують натуральні числа b1,b2,…,bnb_1, b_2, \ldots, b_n, що задовольняють такі три умови: а) ai⩽bia_i \leqslant b_i, i=1,n‾i = \overline{1, n}; б) остачі від ділення чисел b1,b2,…,bnb_1, b_2, \ldots, b_n на число nn є попарно різними; в) b1+b2+…+bn⩽n(n−12+[a1+a2+…+ann])b_1 + b_2 + \ldots + b_n \leqslant n\left(\dfrac{n-1}{2} + \left[\dfrac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n}\right]\right). Примітка. Через [x][x] позначено цілу частину числа xx, тобто найбільше ціле число, що не перевищує xx.
10–11 класиЖадібний алгоритм
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-019

Простота числа з біноміальної подільності

Нехай aa — натуральне число. Будемо казати, що натуральне число bb є aa-хорошим, якщо (anb)−1\binom{a n}{b}-1 ділиться на an+1a n+1 для всіх натуральних чисел nn, для яких an⩾ba n \geqslant b. Припустимо, що bb — натуральне число таке, що bb є aa-хорошим, але b+2b+2 не є aa-хорошим. Доведіть, що b+1b+1 — просте число.
10–11 класиФакторизація біноміальних коефіці…2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-021

Сума попарно взаємно простих степенів

Доведіть, що існує стала c>0c>0 і нескінченно багато натуральних чисел nn з такою властивістю: існує нескінченно багато натуральних чисел, які не можна подати у вигляді суми менше ніж cnlog⁡(n)c n \log (n) попарно взаємно простих n-хn^{\text{-х}} степенів.
10–11 класиТеорема Ейлера
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2018-009

Досяжність цілих чисел квадратичними стрибками

Коник стрибає вздовж множини Z\mathbb{Z} цілих чисел. Він стартує з початку координат, і для кожного стрибка він може вирішувати, стрибати ліворуч чи праворуч. Для кожного n∈N0n \in \mathbb{N}_0 довжина nn-го стрибка дорівнює n2n^2. Доведіть або спростуйте, що для кожного k∈Zk \in \mathbb{Z} коник може потрапити в kk, починаючи з початку координат.
10–11 класиКонструкція через періодичність
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2018-002

Добутки елементів множини 1 + 1/k

Розглянемо множину A={1+1k∣k=1,2,3,…}A = \left\{ 1 + \dfrac{1}{k} \mid k = 1, 2, 3, \ldots \right\}. а) Доведіть, що довільне ціле число x⩾2x \geqslant 2 можна подати у вигляді добутку одного або декількох (не обов'язково різних) елементів із множини AA. б) Для кожного цілого x⩾2x \geqslant 2 позначимо через f(x)f(x) мінімальне ціле число таке, що xx можна буде подати у вигляді добутку f(x)f(x) елементів (не обов'язково різних) із множини AA. Доведіть, що існує нескінченно багато пар цілих чисел (x,y)(x, y), для яких x⩾2x \geqslant 2, y⩾2y \geqslant 2 та f(xy)<f(x)+f(y)f(xy) < f(x) + f(y). Примітка. Пари (x1,y1)(x_1, y_1) та (x2,y2)(x_2, y_2) різні тоді й тільки тоді, коли x1≠y1x_1 \neq y_1 або x2≠y2x_2 \neq y_2.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист IMOIMOSL-2018-009

Добутки рядків і стовпців таблиці

Нехай n>1n > 1 — натуральне число. Кожна клітинка таблиці n×nn \times n містить ціле число. Припустімо, що виконуються такі умови: (i) Кожне число в таблиці порівнянне з 11 за модулем nn; (ii) Сума чисел у будь-якому рядку, а також сума чисел у будь-якому стовпці, порівнянна з nn за модулем n2n^{2}. Нехай RiR_{i} — добуток чисел i-гоi^{\text{-го}} рядка, а CjC_{j} — добуток чисел j-гоj^{\text{-го}} стовпця. Доведіть, що суми R1+⋯+RnR_{1} + \cdots + R_{n} і C1+⋯+CnC_{1} + \cdots + C_{n} порівнянні за модулем n4n^{4}.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2018-010

Арифметична прогресія з різних дробів

Нехай n⩾2018n \geqslant 2018 — ціле число, і нехай a1,a2,…,an,b1,b2,…,bna_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n} — попарно різні натуральні числа, що не перевищують 5n5n. Припустимо, що послідовність a1b1,a2b2,…,anbn\frac{a_{1}}{b_{1}}, \frac{a_{2}}{b_{2}}, \ldots, \frac{a_{n}}{b_{n}} утворює арифметичну прогресію. Доведіть, що всі члени послідовності рівні.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2018-004

Значення НСД двох лінійних виразів

Нехай a,b,c,da, b, c, d — натуральні числа такі, що ad≠bcad \neq bc та НСД(a,b,c,d)=1(a, b, c, d) = 1. Нехай SS — множина всіх значень, яких набуває вираз НСД(an+b,cn+d)(an + b, cn + d), коли nn пробігає всі натуральні числа. Доведіть, що SS є множиною всіх натуральних дільників деякого натурального числа.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.