Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

849 задач
ГеометріяПодібність (без кіл та площ)
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2021-001

Рівнобедрений трикутник з основами перпендикулярів

Нехай PP — точка всередині рівнобедреного трикутника ABCABC, у якому AB=ACAB = AC, а D,E,FD, E, F — основи перпендикулярів, опущених з PP на сторони BC,CA,ABBC, CA, AB відповідно. Якщо BD=9BD = 9, CD=5CD = 5, PE=2PE = 2, PF=5PF = 5, знайдіть довжину сторони ABAB.
10–11 класиОзнаки подібності
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2021-008

Відношення у вписаному чотирикутнику з рівністю кутів

У трикутнику ABCABC припустимо, що точки DD і EE лежать на відрізках ABAB і ACAC відповідно. Нехай DD, BB, CC, EE лежать на одному колі, а точка PP лежить всередині чотирикутника DBCEDBCE, причому ∠BDP=∠BPC=∠PEC\angle BDP = \angle BPC = \angle PEC. Обчисліть BPCP\frac{BP}{CP}, якщо AB=9AB = 9, AC=11AC = 11, DP=1DP = 1 і EP=3EP = 3.
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2021-008

Кути у конструкції з дотичним колом

Нехай ABAB — хорда кола Γ\Gamma. Нехай OO — центр кола, яке дотикається до хорди ABAB в CC і внутрішньо дотикається до кола Γ\Gamma в PP. Точка CC лежить між AA і BB. Нехай описане коло трикутника POCPOC перетинає Γ\Gamma у різних точках PP і QQ. Доведіть, що ∠AQP=∠CQB\angle AQP = \angle CQB.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2020-016

Спільна точка прямих у правильному п'ятикутнику

Коло cc з центром AA проходить через вершини BB і EE правильного п'ятикутника ABCDEABCDE. Пряма BCBC перетинає коло cc вдруге в точці FF. Точку GG на колі cc вибрано так, що FB=FGFB = FG і B≠GB \neq G. Доведіть, що прямі ABAB, EFEF і DGDG перетинаються в одній точці.
10–11 класиОзнаки подібності2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-031

Паралельні прямі через вершини трикутника і три центри кіл

Нехай ABCABC — трикутник, а ω\omega — його описане коло. Нехай ℓB\ell_{B} і ℓC\ell_{C} — дві прямі, паралельні одна одній, що проходять відповідно через точки BB і CC. Позначимо через DD точку перетину, відмінну від BB, між колом ω\omega і прямою ℓB\ell_{B}. Так само позначимо через EE точку перетину, відмінну від CC, між колом ω\omega і прямою ℓC\ell_{C}. Припустимо, що прямі ℓC\ell_{C} і (AD)(AD) перетинаються в точці FF, а прямі ℓB\ell_{B} і (AE)(AE) перетинаються в точці GG. Позначимо далі через O,O1O, O_{1} і O2O_{2} центри відповідно описаних кіл трикутників ABCABC, ADGADG і AEFAEF. Нарешті, позначимо через PP центр описаного кола трикутника OO1O2OO_{1}O_{2}. Доведіть, що пряма (OP)(OP) паралельна обом прямим ℓB\ell_{B} і ℓC\ell_{C}.
8–10 класиГомотерія і подібність
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-032

Точки на одному колі з перетину висот з описаним колом

Нехай ABCABC — трикутник з гострими кутами. Висота, проведена з AA, вдруге перетинає описане коло трикутника ABCABC у точці DD. Висота, проведена з BB, вдруге перетинає описане коло трикутника ABCABC у точці EE. Пряма (ED)(ED) перетинає сторони [AC][AC] і [BC][BC] відповідно в точках PP і QQ. Доведіть, що точки P,Q,BP, Q, B і AA лежать на одному колі.
8–10 класиЦентральні і вписані кути
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-126

Правильний шестикутник, вписаний у трикутник

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=5AB = 5, AC=8AC = 8 і кутом ∠BAC=60∘\angle BAC = 60^\circ. Нехай UVWXYZUVWXYZ — правильний шестикутник, вписаний усередину трикутника ABCABC так, що UU і VV лежать на стороні BABA, WW і XX лежать на стороні ACAC, а ZZ лежить на стороні CBCB. Чому дорівнює довжина сторони шестикутника UVWXYZUVWXYZ?
10–11 класиВідношення відрізків в подібних т…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-107

Перетин тросів із затримкою в часі

У майбутньому МІТ привабив стільки студентів, що його корпуси стали хмарочосами. Бен і Джеррі вирішують разом покататися на зіплайні. Бен стартує з верхівки будівлі Green і спускається на зіплайні до підніжжя центру Stata. Почекавши aa секунд, Джеррі стартує з верхівки центру Stata і спускається на зіплайні до підніжжя будівлі Green. Будівля Green заввишки 160 метрів, центр Stata заввишки 90 метрів, а відстань між двома будівлями становить 120 метрів. Ба більше, обидва рухаються на зіплайні зі швидкістю 10 метрів за секунду. Відомо, що Бен і Джеррі зустрічаються в точці, де перетинаються два троси. Обчисліть 100a100 a.
10–11 класиВідношення відрізків в подібних т…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-096

Шестикутник, обмежений дотичними до кіл

Правильний шестикутник P1P2P3P4P5P6P_{1} P_{2} P_{3} P_{4} P_{5} P_{6} має довжину сторони 22. Для 1≤i≤61 \leq i \leq 6 нехай CiC_{i} — одиничне коло з центром у PiP_{i}, а ℓi\ell_{i} — одна з внутрішніх спільних дотичних до кіл CiC_{i} і Ci+2C_{i+2}, де C7=C1C_{7}=C_{1} і C8=C2C_{8}=C_{2}. Припустимо, що прямі {ℓ1,ℓ2,ℓ3,ℓ4,ℓ5,ℓ6}\{\ell_{1}, \ell_{2}, \ell_{3}, \ell_{4}, \ell_{5}, \ell_{6}\} обмежують правильний шестикутник. Площу цього шестикутника можна записати як ab\sqrt{\frac{a}{b}}, де aa і bb — взаємно прості натуральні числа. Обчисліть 100a+b100a+b.
10–11 класиДотична кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-082

Відбиття інцентра і поділ відрізка навпіл

У трикутнику ABCABC, де AB=8AB=8 і AC=10AC=10, інцентр II відображено симетрично відносно сторони ABAB у точку XX та відносно сторони ACAC у точку YY. Відомо, що відрізок XYXY ділить AIAI навпіл. Обчисліть BC2BC^{2}. (Інцентр II — це центр вписаного кола трикутника ABCABC.)
10–11 класиСиметрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-131

Відрізок дотичної у вкладених колах

Нехай Γ\Gamma — коло, а ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} — два кола, що не перетинаються, всередині Γ\Gamma, які дотикаються до кола Γ\Gamma внутрішньо в точках X1X_{1} і X2X_{2} відповідно. Нехай одна зі спільних внутрішніх дотичних до кіл ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} дотикається до кіл ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} в точках T1T_{1} і T2T_{2} відповідно, перетинаючи при цьому Γ\Gamma у двох точках AA і BB. Відомо, що 2X1T1=X2T22 X_{1} T_{1}=X_{2} T_{2} і що кола ω1,ω2\omega_{1}, \omega_{2} і Γ\Gamma мають радіуси 2, 3 і 12 відповідно, обчисліть довжину відрізка ABA B.
10–11 класиГомотерія і подібність2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-030

Хорда описаного кола, утворена трисектрисами кута

Нехай △ABC\triangle ABC — трикутник зі сторонами AB=7AB = 7, BC=1BC = 1 і CA=43CA = 4\sqrt{3}. Трисектриси кута CC перетинають AB‾\overline{AB} у точках DD і EE, а прямі AC‾\overline{AC} і BC‾\overline{BC} перетинають описане коло трикутника △CDE\triangle CDE повторно в точках XX і YY відповідно. Знайдіть довжину відрізка XYXY.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-038

Трикутник із вписаним колом, дотичним до серединного перпендикуляра

Нехай ABCABC — трикутник, вписане коло якого дотикається до серединного перпендикуляра до сторони BCBC. Якщо BC=AE=20BC = AE = 20, де EE — точка дотику AA-зовнівписаного кола до сторони BCBC, обчисліть площу △ABC\triangle ABC.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-070

Чотирикутник з відношеннями кутів і площ

У чотирикутнику ABCDA B C D існує точка EE на відрізку ADA D така, що AEED=19\frac{A E}{E D}=\frac{1}{9} і ∠BEC\angle B E C — прямий кут. Крім того, площа трикутника CEDC E D у 27 разів більша за площу трикутника AEBA E B. Якщо ∠EBC=∠EAB\angle E B C=\angle E A B, ∠ECB=∠EDC\angle E C B=\angle E D C і BC=6B C=6, обчисліть значення AD2A D^{2}.
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників
Відбіркові тести на IMOTST-2020-016

Пряма AP і точки X та Y з перпендикулярів

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а PP — перетин дотичних у точках BB і CC до описаного кола трикутника △ABC\triangle ABC. Пряма через точку AA, перпендикулярна до ABAB, і пряма через точку CC, перпендикулярна до ACAC, перетинаються в точці XX. Пряма через точку AA, перпендикулярна до ACAC, і пряма через точку BB, перпендикулярна до ABAB, перетинаються в точці YY. Доведіть, що AP⊥XYAP \perp XY.
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників
Відбіркові тести на IMOTST-2020-019

Точки перетину перпендикулярів і пряма AP

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а PP — перетин дотичних у BB і CC до описаного кола трикутника △ABC\triangle ABC. Пряма через AA перпендикулярно до ABAB і пряма через CC перпендикулярно до ACAC перетинаються в точці XX. Пряма через AA перпендикулярно до ACAC і пряма через BB перпендикулярно до ABAB перетинаються в точці YY. Доведіть, що AP⊥XYAP \perp XY.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Італійська математична олімпіадаITAMO-2020-004

Прямокутники з самоподібним розбиттям

Якщо аркуш A4 розрізати точно навпіл уздовж прямої, паралельної коротшій стороні, утворяться два аркуші, які мають ту саму форму, що й початковий, тобто отримуються з нього поворотом і зменшенням масштабу. Цього року назвемо прямокутний аркуш «сучасним», якщо, розрізавши його на 2020 рівних частин розрізами, паралельними його коротшій стороні, отримаємо 2020 прямокутників, які мають ту саму форму, що й початковий. Якщо коротка сторона сучасного аркуша дорівнює 1, яка довжина іншої сторони? (A) 2020\sqrt{2020} (B) 20203/22020^{3 / 2} (C) 20212\frac{2021}{2} (D) 2020 (E) Жодна з попередніх
10–11 класиГомотерія і подібність
Італійська математична олімпіадаITAMO-2020-007

Перетин сторони квадрата прямою через коло

Лучія, накресливши квадрат ABCDABCD з одиничною стороною, проводить коло з центром CC і радіусом, що дорівнює стороні квадрата. Далі позначає через XX перетин діагоналі ACAC з колом, а через YY — перетин прямої DXDX зі стороною ABAB. Чому дорівнює довжина відрізка AYAY? (A) 2+16\frac{\sqrt{2}+1}{6} (B) 2−1\sqrt{2}-1 (C) 23\frac{\sqrt{2}}{3} (D) 3+28\frac{3+\sqrt{2}}{8} (E) 22\frac{\sqrt{2}}{2}
10–11 класиОзнаки подібності
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2020-010

Бісектриса кута при внутрішньому дотику кіл

Нехай Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} — кола, що дотикаються внутрішньо в точці AA, причому Γ1\Gamma_{1} лежить усередині кола Γ2\Gamma_{2}. Нехай BCBC — хорда кола Γ2\Gamma_{2}, яка дотикається до кола Γ1\Gamma_{1} в точці DD. Доведіть, що пряма ADAD є бісектрисою кута ∠BAC\angle BAC.
10–11 класиГомотерія і подібність2 розв’язки
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-036

Паралелограм з бісектрисою і перпендикулярами

У паралелограмі ABCDA B C D кут BADB A D гострий, а сторона ADA D менша за сторону ABA B. Бісектриса кута ∠BAD\angle B A D перетинає сторону CDC D в EE. Через DD проведено перпендикуляр до прямої AEA E, який перетинає AEA E в PP і ABA B в FF. Через EE проведено перпендикуляр до прямої AEA E, який перетинає сторону BCB C в QQ. Крім того, відрізок PQP Q паралельний стороні ABA B, а довжина сторони ABA B дорівнює 20 см20 \text{ см}. а) Знайдіть значення CQAD\frac{C Q}{A D}. б) Знайдіть довжину сторони ADA D.
10–11 класиРівнобедрений та рівносторонній т…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-014

Найкоротший шлях до намету через річку

Жука — скаут, який досліджує околиці свого табору. Зібравши фрукти та дрова, він має набрати води в річці й повернутися до свого намету. На рисунку позначимо Жуку літерою JJ, річку — літерою rr, а його намет — літерою BB. Відстань між основами перпендикулярів CC і EE, проведених до rr з точок JJ і BB, становить 180 м180\ \text{м}. Яка найменша відстань, яку Жука може пройти, щоб повернутися до свого намету, зайшовши до річки?
8–9 класиСиметрія
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-041

Перпендикуляр до діаметра півкола з двома вписаними трикутниками

Трикутники ABCA B C і ABDA B D вписані в те саме півколо з діаметром ABA B, що дорівнює 15 см15~\text{см}. Через DD проведено перпендикуляр до діаметра ABA B, який перетинає ABA B у точці PP, відрізок ACA C у точці QQ і продовження сторони BCB C у точці RR. Крім того, PR=403 смP R=\frac{40}{3}~\text{см} і PQ=154 смP Q=\frac{15}{4}~\text{см}. a) Перевірте, що PQ⋅PR=BP⋅APP Q \cdot P R=B P \cdot A P. b) Знайдіть довжину відрізка DPD P.
10–11 класиОзнаки подібності
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-002

Пряма через інцентр прямокутного трикутника

Нехай ABCABC — прямокутний трикутник, у якому ∠BAC=90∘\angle BAC = 90^{\circ} та II — точка перетину його бісектрис. Пряма, що проходить через II, перетинає сторони ABAB та ACAC у точках PP та QQ відповідно. Вписане коло трикутника дотикається до сторін ABAB та ACAC у точках MM та NN відповідно. Відстань від II до сторони BCBC дорівнює 1 см1~\text{см}. a) Знайдіть значення PM⋅NQPM \cdot NQ. b) Визначте мінімально можливе значення площі трикутника APQAPQ. Підказка: Якщо xx та yy — два невід’ємні дійсні числа, то x+y≥2xyx+y \geq 2 \sqrt{x y}.
10–11 класиОзнаки подібності
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-049

Подібні трикутники в прямокутнику з перпендикулярами

Нехай ABCDABCD — прямокутник з BC=2⋅ABBC = 2 \cdot AB. Нехай EE — середина сторони BCBC, а PP — довільна внутрішня точка сторони ADAD. Нехай FF і GG — основи перпендикулярів, проведених із AA до прямої BPBP та із DD до прямої CPCP. Відомо, що ∠BPC=85∘\angle BPC = 85^\circ. a) Доведіть, що трикутники BEFBEF і BEPBEP подібні. b) Знайдіть значення суми кутів ∠BEF+∠CEG\angle BEF + \angle CEG.
10–11 класиПодібність в прямокутному трикутн…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-053

Квадрат з перетином діагоналей і площа чотирикутника

Квадрат ABCDA B C D зі стороною 1 см1~\text{см} вписано в коло з центром OO. Точка MM лежить на дузі BCB C, відрізок AMA M перетинає BDB D в точці PP, відрізок DMD M перетинає ACA C в точці QQ. a) Перевірте, що ∠AQD=∠PAD\angle A Q D=\angle P A D. b) Знайдіть площу чотирикутника APQDA P Q D.
10–11 класиОзнаки подібності

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.