Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

716 задач
ГеометріяВідношення відрізків
Італійська математична олімпіадаITAMO-2022-012

Коло, дотичне до трьох одиничних кіл

Три кола одиничного радіуса попарно дотикаються одне до одного, а четверте коло дотикається до всіх трьох і не містить їх усередині. Чому дорівнює радіус четвертого кола? (A) 3+124\frac{\sqrt{3}+1}{24} (B) 18\frac{1}{8} (C) 312\frac{\sqrt{3}}{12} (D) 233−1\frac{2 \sqrt{3}}{3}-1 (E) 3−14\frac{\sqrt{3}-1}{4}
10–11 класиКола, що дотикаються
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2022-001

Діаметр кола та відношення відрізків

Нехай kk — коло з центром MM, а ABA B — діаметр кола kk. Крім того, нехай CC — точка на колі kk така, що AC=AMA C = A M. Нехай DD — точка на прямій ACA C така, що CD=ABC D = A B і CC лежить між AA і DD. Нехай EE — друга точка перетину описаного кола трикутника BCDB C D з прямою ABA B, а FF — точка перетину прямих EDE D і BCB C. Пряма AFA F перетинає відрізок BDB D у точці XX. Знайдіть відношення BX/XDB X / X D.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола2 розв’язки
Американські математичні змагання 10 (AMC 10)AMC10-2021-025

Вершини шестикутника на похилій площині

Архітектор будує споруду, у якій вертикальні стовпи стоятимуть у вершинах правильного шестикутника ABCDEFABCDEF, що лежить горизонтально на землі. Шість стовпів триматимуть плоску сонячну панель, яка не буде паралельною до землі. Висоти стовпів у точках AA, BB і CC дорівнюють 1212, 99 і 1010 метрів відповідно. Яка висота, у метрах, стовпа в точці EE? (A) 99 (B) 636\sqrt{3} (C) 838\sqrt{3} (D) 1717 (E) 12312\sqrt{3}
8–10 класиПаралельні прямі і теорема Фалеса
Американські математичні змагання 10 (AMC 10)AMC10-2021-027

Рівні кулі, що дотикаються всередині конуса

Усередині прямого кругового конуса, радіус основи якого 55, а висота 1212, розміщено три рівні кулі, кожна радіуса rr. Кожна куля дотикається двох інших куль, а також основи й бічної поверхні конуса. Чому дорівнює rr? (A) 32\frac{3}{2} (B) 90−40311\frac{90 - 40\sqrt{3}}{11} (C) 22 (D) 144−25344\frac{144 - 25\sqrt{3}}{44} (E) 52\frac{5}{2}
8–10 класиОсновна властивість бісектриси
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2021-018

Подібні трикутники із серединами та перпендикулярами

У трикутнику ABCABC маємо ∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ. Точка MM — середина сторони ABAB. Пряма, що проходить через MM паралельно стороні BCBC, перетинає сторону ACAC в точці DD. Середина відрізка CDCD — точка EE. Прямі BDBD і CMCM перпендикулярні. Зауважте: рисунок виконано не в масштабі. a. Доведіть, що трикутники CMECME і ABDABD подібні. b. Доведіть, що прямі EMEM і ABAB перпендикулярні.
10–11 класиОзнаки подібності
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-025

Бісектриси в паралелограмі

Нехай ABCDABCD — паралелограм. Внутрішня бісектриса кута BAC^\widehat{BAC} перетинає відрізок [BC][BC] у точці EE, а його зовнішня бісектриса перетинає пряму (CD)(CD) у точці FF. Нехай MM — середина відрізка [AE][AE]. Доведіть, що прямі (EF)(EF) і (BM)(BM) паралельні.
9–11 класиОсновна властивість бісектриси4 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2021-013

Центроїди прямокутного трикутника і пряма PQ

Нехай ABCABC — прямокутний трикутник, у якому ∠C=90∘\angle C = 90^\circ, а DD — основа висоти, проведеної з CC. Нехай EE — точка перетину медіан трикутника ACDACD, а FF — точка перетину медіан трикутника BCDBCD. Точка PP задовольняє ∠CEP=90∘\angle CEP = 90^\circ і ∣CP∣=∣AP∣|CP| = |AP|, а точка QQ задовольняє ∠CFQ=90∘\angle CFQ = 90^\circ і ∣CQ∣=∣BQ∣|CQ| = |BQ|. Доведіть, що пряма PQPQ проходить через точку перетину медіан трикутника ABCABC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2021-021

Паралельна пряма, дотична до вписаного кола

Дано трикутник ABCA B C з властивістю, що ∣AB∣+∣AC∣=3∣BC∣|A B|+|A C|=3|B C|. Нехай TT — точка на відрізку ACA C така, що ∣AC∣=4∣AT∣|A C|=4|A T|. Нехай KK і LL — внутрішні точки відрізків ABA B і ACA C відповідно такі, що, по-перше, KL∥BCK L \| B C і, по-друге, KLK L дотикається до вписаного кола трикутника △ABC\triangle A B C. Нехай SS — точка перетину відрізків BTB T і KLK L. Знайдіть відношення ∣SL∣∣KL∣\frac{|S L|}{|K L|}.
10–11 класиВписане коло
Італійська математична олімпіадаITAMO-2021-010

Прямокутний трикутник з HD перпендикулярною BC і відношенням сторін

Нехай ABCABC — прямокутний трикутник з прямим кутом при BB. Нехай HH — основа висоти, проведеної з BB, а DD — перетин бісектриси кута при AA зі стороною BCBC. Припустімо, що відрізок HDHD перпендикулярний до BCBC. Чому дорівнює (ABBC)2\left(\frac{AB}{BC}\right)^2? (A) 52\frac{\sqrt{5}}{2} (B) 5−12\frac{\sqrt{5}-1}{2} (C) 5\sqrt{5} (D) 5+12\frac{\sqrt{5}+1}{2} (E) Такої конфігурації не існує.
10–11 класиПодібність в прямокутному трикутн…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2021-012

Сума кутів у трикутнику з рівними відрізками

У гострокутному трикутнику ABCABC точки DD і EE лежать на сторонах ABAB і ACAC відповідно та задовольняють рівність BD=CEBD = CE. Точка PP лежить на відрізку DEDE, а точка QQ лежить на дузі BCBC, яка не містить AA, описаного кола трикутника ABCABC. Ці точки задовольняють рівність BP:PC=EQ:QDBP : PC = EQ : QD, причому точки A,B,C,D,E,P,QA, B, C, D, E, P, Q усі різні. Доведіть, що ∠BPC=∠BAC+∠EQD\angle BPC = \angle BAC + \angle EQD. Вище через XYXY позначено довжину відрізка XYXY.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2021-005

Ортоцентри трикутників, що збігаються

У трикутнику ABCABC нехай PP і QQ — точки на стороні BCBC, причому ортоцентр трикутника ACPACP і ортоцентр трикутника ABQABQ збігаються. Відомо, що AB=10AB = 10, AC=11AC = 11, BP=5BP = 5, CQ=6CQ = 6. Знайдіть довжину BCBC.
10–11 класиТочка перетину висот
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2021-008

Відношення у вписаному чотирикутнику з рівністю кутів

У трикутнику ABCABC припустимо, що точки DD і EE лежать на відрізках ABAB і ACAC відповідно. Нехай DD, BB, CC, EE лежать на одному колі, а точка PP лежить всередині чотирикутника DBCEDBCE, причому ∠BDP=∠BPC=∠PEC\angle BDP = \angle BPC = \angle PEC. Обчисліть BPCP\frac{BP}{CP}, якщо AB=9AB = 9, AC=11AC = 11, DP=1DP = 1 і EP=3EP = 3.
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2021-007

Проєкції та середина в трикутнику

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з BC>ACBC > AC. Серединний перпендикуляр до сторони ABAB перетинає пряму BCBC у точці XX і пряму ACAC у точці YY. Нехай PP — проєкція точки XX на пряму ACAC, а QQ — проєкція точки YY на пряму BCBC. Доведіть, що пряма PQPQ перетинає відрізок ABAB у його середині.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)3 розв’язки
Відбірковий тест на BxMO та EGMOBXTST-2020-002

Коло відображень основи висоти у трикутнику

У гострокутному трикутнику ABCABC основу висоти з AA позначено DD. Нехай D1D_1 і D2D_2 — образи точки DD при симетрії відносно прямих ABAB і ACAC відповідно. Перетин прямої BCBC і прямої через D1D_1, паралельної до ABAB, позначено E1E_1. Перетин прямої BCBC і прямої через D2D_2, паралельної до ACAC, позначено E2E_2. Доведіть, що D1,D2,E1D_1, D_2, E_1 і E2E_2 лежать на колі, центр якого лежить на описаному колі △ABC\triangle ABC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2020-016

Спільна точка прямих у правильному п'ятикутнику

Коло cc з центром AA проходить через вершини BB і EE правильного п'ятикутника ABCDEABCDE. Пряма BCBC перетинає коло cc вдруге в точці FF. Точку GG на колі cc вибрано так, що FB=FGFB = FG і B≠GB \neq G. Доведіть, що прямі ABAB, EFEF і DGDG перетинаються в одній точці.
10–11 класиОзнаки подібності2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-100

Рівність DE=DF і точка перетину на описаному колі

Нехай ABCABC — різносторонній трикутник з бісектрисами ADAD, BEBE і CFCF, такими, що DD, EE і FF лежать на відрізках BCBC, CACA і ABAB відповідно. Нехай MM і NN — середини сторони BCBC і відрізка EFEF відповідно. Доведіть, що пряма ANAN і пряма через MM, паралельна ADAD, перетинаються на описаному колі трикутника ABCABC тоді й лише тоді, коли DE=DFDE = DF.
10–11 класиІнверсія2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-132

Радіус описаного кола через відрізки на бісектрисі

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з описаним колом Γ\Gamma. Нехай внутрішня бісектриса кута ∠BAC\angle BAC перетинає BCBC і Γ\Gamma у точках EE і NN відповідно. Нехай A′A' — точка на колі Γ\Gamma, діаметрально протилежна AA, а VV — точка перетину відрізка AA′AA' зі стороною BCBC. Відомо, що EV=6EV=6, VA′=7VA'=7 і A′N=9A'N=9. Обчисліть радіус кола Γ\Gamma.
10–11 класиОсновна властивість бісектриси2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-057

Вписаний чотирикутник із серединами сторін трикутника

У △ABC\triangle ABC точки DD і EE — середини сторін BCBC і CACA відповідно. Відрізки ADAD і BEBE перетинаються в точці GG. Відомо, що чотирикутник GECDGEC D вписаний, AB=41AB = 41, а AC=31AC = 31. Обчисліть довжину сторони BCBC.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові тести на IMOTST-2020-026

Колінеарність, породжена дотичними до кіл

Два кола Γ1\Gamma_1 і Γ2\Gamma_2 мають спільні зовнішні дотичні l1l_1 і l2l_2, що перетинаються в точці TT. Нехай l1l_1 дотикається до кола Γ1\Gamma_1 у точці AA, а l2l_2 дотикається до кола Γ2\Gamma_2 у точці BB. Коло Ω\Omega, що проходить через AA і BB, перетинає Γ1\Gamma_1 ще раз у точці CC, а Γ2\Gamma_2 ще раз у точці DD, причому чотирикутник ABCDABCD опуклий. Нехай прямі ACAC і BDBD перетинаються в точці XX, а прямі ADAD і BCBC — у точці YY. Доведіть, що точки TT, XX, YY лежать на одній прямій.
10–11 класиРадикальна вісь
Відбіркові тести на IMOTST-2020-027

Збіг інцентра трикутника з точкою дотику вписаного кола

Нехай ABCABC — різносторонній трикутник із центром вписаного кола II. Вписане коло трикутника ABCABC дотикається сторін BCBC, CACA, ABAB у точках DD, EE, FF відповідно. Нехай PP — основа висоти, опущеної з точки DD на пряму EFEF, а MM — середина сторони BCBC. Промені APAP і IPIP вдруге перетинають описане коло трикутника ABCABC у точках GG і QQ відповідно. Доведіть, що центр вписаного кола трикутника GQMGQM збігається з точкою DD.
10–11 класиІнверсія
Італійська математична олімпіадаITAMO-2020-014

Трикутник з бісектрисою і дотичним колом

Нехай ABCABC — трикутник, а DD — основа бісектриси, проведеної з вершини AA. Нехай ω\omega — коло, що дотикається до прямої ACAC в точці AA і проходить через DD. Нехай PP — друга точка перетину кола ω\omega з прямою BCBC. Відомо, що AC=54AC=54, AD=63AD=63 і CP=108CP=108. Знайдіть довжину відрізка ABAB. (A) 72 (B) 1472\frac{147}{2} (C) 98 (D) 99 (E) 102
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2020-002

Середина відрізка на діагоналі квадрата

Нехай ABCDABCD — квадрат, а XX — довільна точка на стороні BCBC між BB і CC. Нехай YY — точка на прямій CDCD така, що BX=YDBX = YD і DD лежить між CC і YY. Доведіть, що середина відрізка XYXY лежить на діагоналі BDBD.
10–11 класиМетод координат
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-032

Середини діагоналей трапеції

У трапеції ABCDABCD сторони ABAB і CDCD паралельні. Нехай MM — середина діагоналі ACAC, NN — середина діагоналі BDBD, а PP — середина сторони ABAB. Відомо, що AB=15 смAB = 15\ \text{см}, CD=24 смCD = 24\ \text{см}, а висота трапеції дорівнює h=14 смh = 14\ \text{см}. a) Обчисліть довжину відрізка MNMN. b) Обчисліть площу трикутника MNPMNP.
10–11 класиПаралельні прямі і теорема Фалеса
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-039

Квадрат з рівними відрізками на сторонах

Розглянемо квадрат ABCDABCD з центром OO. Нехай E,F,GE, F, G і HH — внутрішні точки сторін AB,BC,CDAB, BC, CD і DADA відповідно, такі, що AE=BF=CG=DHAE = BF = CG = DH. Відомо, що OAOA перетинає HEHE в точці XX, OBOB перетинає EFEF в точці YY, OCOC перетинає FGFG в точці ZZ і ODOD перетинає GHGH в точці WW. Нехай xx і yy — довжини відрізків AEAE і AHAH відповідно. а) Якщо площа (EFGH)=1 см2(EFGH) = 1\ \text{см}^2, обчисліть значення x2+y2x^2 + y^2. б) Доведіть, що HX=yx+yHX = \frac{y}{x+y}. Далі доведіть, що X,Y,ZX, Y, Z і WW — вершини квадрата. в) Обчисліть Площа (ABCD)⋅(ABCD) \cdot Площа (XYZW)(XYZW).
10–11 класиОсновна властивість бісектриси
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-003

Трикутник зі співвідношенням кутів і висотою

На малюнку нижче ∠CAB=2⋅∠CBA\angle C A B = 2 \cdot \angle C B A, ADA D — висота, а MM — середина сторони ABA B. Якщо AC=2 смA C = 2~\text{см}, знайдіть довжину відрізка DMD M.
10–11 класиОписане коло

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.