Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

7 066 задач
Алгебра
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-065

Очікувана кількість очок у випадковому бейсболі

Новинка цього року на HMNT: захоплива гра RNGR N G бейсбол! У RNG-бейсболі команда з нескінченно багатьох гравців грає на квадратному полі, з базою в кожній вершині; зокрема, одна з баз називається домашньою базою. Кожного ходу новий гравець стає на домашню базу і вибирає число nn рівномірно випадково з {0,1,2,3,4}\{0,1,2,3,4\}. Потім відбувається таке: - Якщо n>0n>0, то гравець і всі інші, хто зараз на полі, рухаються (проти годинникової стрілки) квадратом на nn баз. Однак якщо при цьому хтось із гравців повертається на домашню базу або проходить повз неї, він/вона одразу залишає поле, а команда набирає одне очко. - Якщо n=0n=0 (страйкаут), то гра одразу закінчується; команда більше не набирає очок. Яке математичне сподівання кількості очок, яку набере дана команда в цій грі?
10–11 класиГеометрична прогресія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-050

Період чисел Фібоначчі за модулем 127

Послідовність Фібоначчі визначається так: F0=0F_{0}=0, F1=1F_{1}=1 і Fn=Fn−1+Fn−2F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2} для всіх цілих чисел n≥2n \geq 2. Знайдіть найменше натуральне число mm таке, що Fm≡0(mod127)F_{m} \equiv 0 \pmod{127} і Fm+1≡1(mod127)F_{m+1} \equiv 1 \pmod{127}.
10–11 класиЧисла Фібоначі
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-045

Мінімум виразу з вкладеними коренями

Знайдіть найменше можливе значення 58−42x+149−1401−x2\sqrt{58-42x} + \sqrt{149-140\sqrt{1-x^{2}}} де −1≤x≤1-1 \leq x \leq 1.
10–11 класиНерівність трикутника
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-066

Двійкові рядки з фіксованим значенням у системі числення з основою φ

Позначимо ϕ=1+52\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2} і розглянемо множину всіх скінченних двійкових рядків без початкових нулів. Кожен рядок SS має значення в системі числення з основою ϕ\phi, яке позначимо p(S)p(S). Наприклад, p(1101)=ϕ3+ϕ2+1p(1101)=\phi^{3}+\phi^{2}+1. Для будь-якого натурального числа nn нехай f(n)f(n) — кількість таких рядків SS, що задовольняють p(S)=ϕ48n−1ϕ48−1p(S)=\frac{\phi^{48 n}-1}{\phi^{48}-1}. Послідовність дробів f(n+1)f(n)\frac{f(n+1)}{f(n)} прямує до дійсного числа cc, коли nn прямує до нескінченності. Знайдіть значення cc.
10–11 класиСистеми числення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-015

Система з пропорційними дробами

Обчисліть xw\frac{x}{w}, якщо w≠0w \neq 0 і x+6y−3z−3x+4w=−2y+zx−w=23\frac{x+6y-3z}{-3x+4w}=\frac{-2y+z}{x-w}=\frac{2}{3}.
10–11 класиЛінійні рівняння та системи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-016

Вкладені рівняння з цілою та дробовою частинами

Знайдіть суму всіх дійсних чисел xx, для яких ⌊⌊⋯⌊⌊⌊x⌋+x⌋+x⌋⋯ ⌋+x⌋=2017 і {⋯{{{x}+x}+x}⋯ }+x}=12017\lfloor\lfloor\cdots\lfloor\lfloor\lfloor x\rfloor+x\rfloor+x\rfloor \cdots\rfloor+x\rfloor=2017 \text{ і }\{\cdots\{\{\{x\}+x\}+x\} \cdots\}+x\} = \frac{1}{2017} де в обох рівняннях міститься 20172017 входжень xx. (⌊x⌋\lfloor x\rfloor — ціла частина числа xx, а {x}\{x\} — дробова частина числа xx.) Суму подайте у вигляді мішаного числа.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-012

Сума показників різноманіття за спеціальностями

У певному коледжі, де навчається 10001000 студентів, кожен студент може обрати своєю спеціальністю рівно одну з чотирьох дисциплін: математику, інформатику, фінанси або англійську мову. Показником різноманіття d(s)d(s) студента ss називається кількість студентів, що навчаються на інших спеціальностях, ніж ss, поділена на кількість студентів тієї самої спеціальності, що й ss (включно із самим ss). Різноманіттям DD коледжу називається сума всіх показників різноманіття d(s)d(s). Знайдіть усі можливі значення DD.
10–11 класиСуми послідовностей
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-018

Колінеарні точки з умовою на відношення

Точки AA, BB, CC і DD лежать на прямій у вказаному порядку, причому ABBC=DACD\frac{AB}{BC}=\frac{DA}{CD}. Якщо AC=3AC=3 і BD=4BD=4, знайдіть довжину відрізка ADAD.
10–11 класиКвадратні рівняння та системи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-015

Послідовність, що уникає сум двох різних членів

Спочатку запишіть на дошці цілі числа 1,2,4,61,2,4,6. На кожному кроці записуйте на дошці найменше натуральне число nn, що задовольняє обидві такі умови: - nn більше за будь-яке з чисел, записаних на дошці в цей момент. - nn не можна подати у вигляді суми двох різних чисел, записаних на дошці. Знайдіть соте число, яке ви записуєте на дошці. Нагадуємо, що на початку на дошці вже записано 4 числа.
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-020

Суми різних реп'юнітів

Реп'юніт — це натуральне число, усі цифри якого дорівнюють 11. Нехай a1<a2<a3<…a_{1} < a_{2} < a_{3} < \ldots — список усіх натуральних чисел, які можна подати у вигляді суми різних реп'юнітів. Обчисліть a111a_{111}.
10–11 класиСистеми числення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-025

Послідовність зі співвідношенням суми кубів і квадрата суми

Послідовність натуральних чисел a1,a2,…,a2017a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2017} така, що для всіх цілих mm, 1≤m≤20171 \leq m \leq 2017, виконується рівність 3(∑i=1mai)2=∑i=1mai33\left(\sum_{i=1}^{m} a_{i}\right)^{2}=\sum_{i=1}^{m} a_{i}^{3}. Обчисліть a1337a_{1337}.
10–11 класиМетод математичної індукції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-024

Кубічне рівняння з кубічним коренем

Знайдіть усі дійсні числа xx, що задовольняють рівняння x3−8=16x+13x^{3}-8=16 \sqrt[3]{x+1}.
10–11 класиОборотні функції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-028

Вплив округлення на об'єм коробки

Фісіка й Рітмо знайшли шматок ноталіуму у формі прямокутного паралелепіпеда й захотіли знайти його об'єм. Для цього Фісіка виміряла три його виміри лінійкою з нескінченною точністю, перемножила результати й округлила добуток до найближчого кубічного сантиметра, отримавши 20172017 кубічних сантиметрів. Рітмо ж виміряв кожен вимір з точністю до найближчого сантиметра й перемножив округлені виміри, отримавши результат VV кубічних сантиметрів. Знайдіть додатну різницю між найменшим і найбільшим можливими додатними значеннями VV.
10–11 класиНаближення дійсних чисел і оцінки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-025

Математичне сподівання числа повернень до нуля у випадковому блуканні

Жаба Кельвін стрибає по числовій прямій (нескінченній в обох напрямках). Кельвін починає в точці 00. Щохвилини з ймовірністю 13\frac{1}{3} він рухається на 11 одиницю вліво, з ймовірністю 13\frac{1}{3} — на 11 одиницю вправо, а з ймовірністю 13\frac{1}{3} його з'їдають. Знайдіть математичне сподівання кількості повернень Кельвіна в точку 00 (не рахуючи початкового моменту) до того, як його з'їдять.
10–11 класиВластивості біноміальних коефіціє…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-026

Найменший розв'язок рівняння Пелля

Знайдіть найменше можливе значення x+yx+y, де x,y≥1x, y \geq 1, а xx і yy — цілі числа, які задовольняють рівняння x2−29y2=1x^{2}-29 y^{2}=1.
10–11 класиРівняння Пелля
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-027

Сума ряду з рекурентно заданою послідовністю

Нехай …,a−1,a0,a1,a2,…\ldots, a_{-1}, a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots — послідовність натуральних чисел, яка задовольняє такі співвідношення: an=0a_{n}=0 для n<0n<0, a0=1a_{0}=1, а для n≥1n \geq 1, an=an−1+2(n−1)an−2+9(n−1)(n−2)an−3+8(n−1)(n−2)(n−3)an−4.a_{n}=a_{n-1}+2(n-1) a_{n-2}+9(n-1)(n-2) a_{n-3}+8(n-1)(n-2)(n-3) a_{n-4} . Обчисліть ∑n≥010nann!\sum_{n \geq 0} \frac{10^{n} a_{n}}{n!}
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-032

Рекурентна послідовність з раціональними членами

Розглянемо послідовність xnx_{n} таку, що x1=x2=1x_{1}=x_{2}=1, x3=23x_{3} = \frac{2}{3}. Припустимо, що xn=xn−12xn−22xn−22−xn−1xn−3x_{n} = \frac{x_{n-1}^{2} x_{n-2}}{2 x_{n-2}^{2} - x_{n-1} x_{n-3}} для всіх n≥4n \geq 4. Знайдіть найменше nn таке, що xn≤1106x_{n} \leq \frac{1}{10^{6}}.
10–11 класиЗаміни в однорідних виразах
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-033

Мінімальний модуль у квадратичній рекурентній послідовності

Нехай zz — комплексне число, визначимо послідовність z0,z1,z2,…z_{0}, z_{1}, z_{2}, \ldots рівностями z0=zz_{0}=z і zn+1=2zn2+2znz_{n+1}=2 z_{n}^{2}+2 z_{n} при n≥0n \geq 0. Відомо, що z10=2017z_{10}=2017. Знайдіть найменше можливе значення ∣z∣|z|.
10–11 класиКомплексні числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-034

Перпендикулярні відрізки в одиничному квадраті

В одиничному квадраті ABCDABCD точки E,F,GE, F, G вибрано на сторонах BC,CD,DABC, CD, DA відповідно так, що AEAE перпендикулярна до EFEF, а EFEF перпендикулярна до FGFG. Відомо, що GA=4041331GA=\frac{404}{1331}. Знайдіть усі можливі значення довжини BEBE.
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-035

Значення многочлена з цілими коефіцієнтами

Нехай PP — многочлен із цілими коефіцієнтами такий, що P(0)+P(90)=2018P(0)+P(90)=2018. Знайдіть найменше можливе значення ∣P(20)+P(70)∣|P(20)+P(70)|.
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-031

Мінімум зваженої симетричної суми

Нехай aa, bb, cc — невід'ємні дійсні числа, для яких ab+bc+ca=3ab + bc + ca = 3. Нехай також a3b+b3c+c3a+2abc(a+b+c)=92a^3 b + b^3 c + c^3 a + 2abc(a + b + c) = \frac{9}{2} Яке найменше можливе значення виразу ab3+bc3+ca3ab^3 + bc^3 + ca^3?
10–11 класиІнші класичні нерівності
Відбіркові тести на IMOTST-2017-005

Повні набори з цілими крайніми сумами

Нехай nn — парне натуральне число. Набір з nn дійсних чисел назвемо повним, якщо для кожного цілого mm, 1≤m≤n1 \leq m \leq n, сума перших mm членів або сума останніх mm членів набору є цілою. Визначте мінімальну кількість цілих чисел у повному наборі з nn чисел.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2017-001

Цілочислова функція з умовою подільності на прості числа

Знайдіть усі функції f:Z→Zf: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} такі, що: (i) f(p)>0f(p)>0 для будь-якого простого числа pp, (ii) p∣(f(x)+f(p))f(p)−xp \mid (f(x)+f(p))^{f(p)}-x для будь-якого простого числа pp і для будь-якого x∈Zx \in \mathbb{Z}.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Відбіркові тести на IMOTST-2017-018

Екстремальні відношення серед п'яти дійсних чисел

Знайдіть найменшу дійсну сталу CC таку, що для будь-яких додатних дійсних чисел a1,a2,a3,a4a_1, a_2, a_3, a_4 і a5a_5 (не обов'язково різних) завжди можна вибрати різні індекси i,j,ki, j, k і ll такі, що ∣aiaj−akal∣≤C\left|\frac{a_i}{a_j} - \frac{a_k}{a_l}\right| \le C.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2017-015

Послідовність із нульовою сумою та її часткові суми

Нехай a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} — послідовність дійсних чисел така, що a1+⋯+an=0a_{1}+\cdots+a_{n}=0, і покладемо bi=a1+⋯+aib_{i}=a_{1}+\cdots+a_{i} для 1≤i≤n1 \leq i \leq n. Припустімо, що bi(aj+1−ai+1)≥0b_{i}\left(a_{j+1}-a_{i+1}\right) \geq 0 для всіх 1≤i≤j≤n−11 \leq i \leq j \leq n-1. Доведіть, що max⁡1≤ℓ≤n∣aℓ∣≥max⁡1≤m≤n∣bm∣\max _{1 \leq \ell \leq n}\left|a_{\ell}\right| \geq \max _{1 \leq m \leq n}\left|b_{m}\right|
10–11 класиСуми послідовностей

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.