Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

7 066 задач
Алгебра
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-119

Многочлени, що діляться на великий степінь

Нехай N=302015N = 30^{2015}. Знайдіть кількість впорядкованих четвірок цілих чисел (A,B,C,D)∈{1,2,…,N}4(A, B, C, D) \in \{1, 2, \ldots, N\}^4 (не обов’язково різних), таких, що для кожного цілого числа nn число An3+Bn2+2Cn+DA n^3 + B n^2 + 2 C n + D ділиться на NN.
10–11 класиІнші класи многочленів
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-087

Циклотомічний добуток за модулем 101

Нехай z=e2πi101z = e^{\frac{2\pi i}{101}} і ω=e2πi10\omega = e^{\frac{2\pi i}{10}}. Доведіть, що ∏a=09∏b=0100∏c=0100(ωa+zb+zc)\prod_{a=0}^{9} \prod_{b=0}^{100} \prod_{c=0}^{100} \left(\omega^{a} + z^{b} + z^{c}\right) є цілим числом, і знайдіть (з доведенням) його остачу від ділення на 101101.
10–11 класиМногочлени ділення кола2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-017

Дискримінант квадратного тричлена з трьома умовами

Нехай aa, bb, cc — цілі числа. Визначимо f(x)=ax2+bx+cf(x) = a x^{2} + b x + c. Припустімо, що існують попарно різні цілі числа uu, vv, ww такі, що f(u)=0f(u) = 0, f(v)=0f(v) = 0 і f(w)=2f(w) = 2. Знайдіть найбільше можливе значення дискримінанта b2−4acb^{2} - 4 a c функції ff.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-089

Сума з рекурентними послідовностями

Послідовності дійсних чисел {ai}i=1∞\{a_{i}\}_{i=1}^{\infty} і {bi}i=1∞\{b_{i}\}_{i=1}^{\infty} задовольняють співвідношення an+1=(an−1−1)(bn+1)a_{n+1} = (a_{n-1} - 1)(b_{n} + 1) і bn+1=anbn−1−1b_{n+1} = a_{n} b_{n-1} - 1 при n≥2n \geq 2, причому a1=a2=2015a_{1} = a_{2} = 2015 і b1=b2=2013b_{1} = b_{2} = 2013. Обчисліть з доведенням нескінченну суму ∑n=1∞bn(1an+1−1an+3)\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}\left(\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_{n+3}}\right)
10–11 класиСуми послідовностей
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-100

Ітерації функції з фіксованою кінцевою точкою

Нехай NN — кількість функцій f ⁣:{1,2,…,101}→{1,2,…,101}f\colon \{1,2, \ldots, 101\} \rightarrow \{1,2, \ldots, 101\} таких, що f101(1)=2f^{101}(1)=2. Знайдіть остачу від ділення NN на 103.
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-110

Очікуваний час випадкового поїдання буріто

Розглянемо дошку 10×1010 \times 10 клітинок. Одного дня Даніель кидає буріто у верхню ліву клітинку, де безкрилий голуб саме шукає їжу. Щохвилини, якщо голуб і буріто перебувають в одній клітинці, голуб з'їсть 10%10\% початкового розміру буріто і ненароком кине його у випадкову клітинку (можливо, у ту саму, в якій він уже є). Інакше голуб перейде до сусідньої клітинки, зменшуючи відстань між ним і буріто. Чому дорівнює математичне сподівання кількості хвилин, доки голуб не з'їсть усе буріто?
10–11 класиПравила суму та добутку
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-130

Дотична до множини з коренем

Нехай G\mathcal{G} — множина всіх точок (x,y)(x, y) на декартовій площині таких, що 0≤y≤80 \leq y \leq 8 і (x−3)2+31=(y−4)2+8y(8−y)(x-3)^{2}+31=(y-4)^{2}+8 \sqrt{y(8-y)} Існує єдина пряма ℓ\ell з від'ємним кутовим коефіцієнтом, дотична до множини G\mathcal{G}, що проходить через точку (0,4)(0,4). Припустимо, що ℓ\ell дотикається до множини G\mathcal{G} в єдиній точці PP. Знайдіть координати (α,β)(\alpha, \beta) точки PP.
10–11 класиЗаміни в виразах з радікалами
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-019

Старша цифра розкладу многочлена за основою

Нехай b(x)=x2+x+1b(x) = x^{2} + x + 1. Многочлен x2015+x2014+⋯+x+1x^{2015} + x^{2014} + \cdots + x + 1 має єдине подання за «основою b(x)b(x)» x2015+x2014+⋯+x+1=∑k=0Nak(x)b(x)kx^{2015} + x^{2014} + \cdots + x + 1 = \sum_{k=0}^{N} a_{k}(x) b(x)^{k} де - NN — невід'ємне ціле число; - кожна «цифра» ak(x)a_{k}(x) (при 0≤k≤N0 \leq k \leq N) — або нульовий многочлен (тобто ak(x)=0a_{k}(x) = 0), або ненульовий многочлен степеня, меншого за deg⁡b=2\operatorname{deg} b = 2; і - «старша цифра aN(x)a_{N}(x)» ненульова (тобто не нульовий многочлен). Знайдіть aN(0)a_{N}(0) («старшу цифру, обчислену в нулі»).
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-020

Нескінченна сума з цілою частиною

Знайдіть ∑k=0∞⌊1+20000004k2⌋\sum_{k=0}^{\infty}\left\lfloor\frac{1+\sqrt{\frac{2000000}{4^{k}}}}{2}\right\rfloor де ⌊x⌋\lfloor x\rfloor позначає найбільше ціле число, менше або рівне xx.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-021

Цілі показники в рівнянні суми степенів

Знайдіть усі цілі числа nn, не обов’язково додатні, для яких існують натуральні числа a,b,ca, b, c, що задовольняють рівність an+bn=cna^{n}+b^{n}=c^{n}.
10–11 класиРівняння вищих степенів та системи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-022

Пари подільності на сітці 5×5

Для цілих чисел a,b,c,da, b, c, d нехай f(a,b,c,d)f(a, b, c, d) позначає кількість впорядкованих пар цілих чисел (x,y)∈{1,2,3,4,5}2(x, y) \in \{1,2,3,4,5\}^{2} таких, що ax+bya x + b y і cx+dyc x + d y обидва діляться на 55. Знайдіть суму всіх можливих значень f(a,b,c,d)f(a, b, c, d).
10–11 класиЛінійні рівняння та системи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-024

Кубічний многочлен із цілими коренями та невід'ємністю

Нехай P(x)=x3+ax2+bx+2015P(x) = x^{3} + a x^{2} + b x + 2015 — многочлен, усі корені якого є цілими числами. Відомо, що P(x)≥0P(x) \geq 0 для всіх x≥0x \geq 0. Знайдіть суму всіх можливих значень P(−1)P(-1).
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-030

Цілі трійки з добутків дійсних чисел

Для скількох трійок (x,y,z)(x, y, z) цілих чисел від −10-10 до 1010 включно існують дійсні числа a,b,ca, b, c, які задовольняють ab=xac=ybc=z?\begin{gathered} a b = x \\ a c = y \\ b c = z ? \end{gathered}
10–11 класиКорені та степені
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-034

Функціональне рівняння з додатністю та умовою квадрата

Нехай f:Z→Zf: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} — функція така, що для довільних цілих чисел x,yx, y виконується f(x2−3y2)+f(x2+y2)=2(x+y)f(x−y)f\left(x^{2}-3 y^{2}\right)+f\left(x^{2}+y^{2}\right)=2(x+y) f(x-y) Припустимо, що f(n)>0f(n)>0 для всіх n>0n>0 і що f(2015)⋅f(2016)f(2015) \cdot f(2016) є повним квадратом. Знайдіть найменше можливе значення f(1)+f(2)f(1)+f(2).
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-036

Найменший степінь для подільності многочлена за модулем 3

Знайдіть найменше натуральне число nn таке, що многочлен (x+1)n−1(x+1)^{n}-1 «ділиться на x2+1x^{2}+1 за модулем 3», а точніше, виконується будь-яка з таких еквівалентних умов: - існують многочлени P,QP, Q з цілими коефіцієнтами такі, що (x+1)n−1=(x2+1)P(x)+3Q(x)(x+1)^{n}-1=\left(x^{2}+1\right) P(x)+3 Q(x); - або, більш концептуально, остача від ділення (многочлена) (x+1)n−1(x+1)^{n}-1 на (многочлен) x2+1x^{2}+1 є многочленом з (цілими) коефіцієнтами, усі з яких діляться на 3.
10–11 класиДілення многочленів з остачею
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-038

Добуток із косинусами степенів двійки

Знайдіть найбільше дійсне число θ\theta, менше за π\pi (тобто θ<π\theta<\pi), таке, що ∏k=010cos⁡(2kθ)≠0\prod_{k=0}^{10} \cos \left(2^{k} \theta\right) \neq 0 і ∏k=010(1+1cos⁡(2kθ))=1.\prod_{k=0}^{10}\left(1+\frac{1}{\cos \left(2^{k} \theta\right)}\right)=1.
10–11 класиПеретворення тригонометричних вир…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-041

Остання цифра в рекурентній послідовності

Визначимо послідовність ai,ja_{i, j} цілих чисел таку, що a1,n=nna_{1, n} = n^{n} для n≥1n \geq 1 і ai,j=ai−1,j+ai−1,j+1a_{i, j} = a_{i-1, j} + a_{i-1, j+1} для всіх i,j≥1i, j \geq 1. Знайдіть останню (десяткову) цифру числа a128,1a_{128,1}.
10–11 класиВластивості біноміальних коефіціє…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-042

Корені многочлена п'ятого степеня

Знайдіть усі корені многочлена x5−5x4+11x3−13x2+9x−3x^{5}-5 x^{4}+11 x^{3}-13 x^{2}+9 x-3.
10–11 класиЛінійні заміни (зведення до нуля,…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-044

Дробова частина кореня четвертого степеня

Обчисліть найменше натуральне число nn, для якого 0<n4−⌊n4⌋<120150 < \sqrt[4]{n} - \lfloor \sqrt[4]{n} \rfloor < \frac{1}{2015}
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-045

Підмножини степенів двійки із сумою-квадратом

Нехай S={1,2,4,8,16,32,64,128,256}S=\{1,2,4,8,16,32,64,128,256\}. Непорожня підмножина PP множини SS називається квадратною, якщо сума її елементів є повним квадратом. Квадратна множина QQ називається суперквадратною, якщо вона не є власною підмножиною жодної квадратної множини. Знайдіть кількість суперквадратних множин. (Множина AA називається власною підмножиною множини BB, якщо AA є підмножиною BB і A≠BA \neq B.)
10–11 класиСистеми числення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-047

Випадкові блукання по вершинах тетраедра

Три мурахи починають рух з трьох різних вершин тетраедра. Щосекунди кожна з них обирає одне з трьох ребер, що виходять з вершини, у якій вона перебуває, з однаковою ймовірністю та переходить до іншої вершини цього ребра. Вони всі зупиняються, коли будь-які дві мурахи опиняються в одній вершині одночасно. Яка ймовірність того, що всі три мурахи опиняться в одній вершині, коли вони зупиняться?
10–11 класиГеометрична прогресія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-048

Сума квадратів дійсних коренів

Нехай r1,…,rnr_{1}, \ldots, r_{n} — різні дійсні корені рівняння x8−14x4−8x3−x2+1=0x^{8}-14 x^{4}-8 x^{3}-x^{2}+1=0 Обчисліть r12+⋯+rn2r_{1}^{2}+\cdots+r_{n}^{2}.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-050

Неперервне функціональне рівняння на додатних дійсних

Нехай f:R+→Rf: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R} — неперервна функція, яка задовольняє рівність f(xy)=f(x)+f(y)+1f(x y)=f(x)+f(y)+1 для всіх додатних дійсних x,yx, y. Якщо f(2)=0f(2)=0, обчисліть f(2015)f(2015).
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-052

Очікуване значення остачі біноміального коефіцієнта за модулем 3

Нехай aa, bb — цілі числа, вибрані незалежно й рівномірно випадково з множини {0,1,2,…,80}\{0,1,2, \ldots, 80\}. Обчисліть математичне сподівання остачі від ділення біноміального коефіцієнта (ab)=a!b!(a−b)!\binom{a}{b}=\frac{a!}{b!(a-b)!} на 33. (Тут (00)=1\binom{0}{0}=1, а (ab)=0\binom{a}{b}=0, коли a<ba<b.)
10–11 класиФакторизація біноміальних коефіці…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-054

Сума кутів зі співвідношенням через тангенс і секанс

Нехай ww, xx, yy і zz — додатні дійсні числа такі, що 0≠cos⁡wcos⁡xcos⁡ycos⁡z2π=w+x+y+z3tg⁡w=k(1+sec⁡w)4tg⁡x=k(1+sec⁡x)5tg⁡y=k(1+sec⁡y)6tg⁡z=k(1+sec⁡z)\begin{aligned} 0 & \neq \cos w \cos x \cos y \cos z \\ 2 \pi & = w + x + y + z \\ 3 \operatorname{tg} w & = k(1 + \sec w) \\ 4 \operatorname{tg} x & = k(1 + \sec x) \\ 5 \operatorname{tg} y & = k(1 + \sec y) \\ 6 \operatorname{tg} z & = k(1 + \sec z) \end{aligned} (Тут sec⁡t\sec t позначає 1cos⁡t\frac{1}{\cos t}, коли cos⁡t≠0\cos t \neq 0.) Знайдіть kk.
10–11 класиПеретворення тригонометричних вир…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.