Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 627 задач
Геометрія
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-055

Паралельні прямі через перетини кіл

Нехай ABCABC — трикутник, Γ\Gamma — його описане коло, а Ω\Omega — інше коло, що проходить через точки AA і BB. Пряма (AC)(AC) перетинає коло Ω\Omega в точці DD, а дотична до кола Γ\Gamma в точці BB перетинає Ω\Omega в точці EE. Доведіть, що прямі (BC)(BC) і (DE)(DE) паралельні.
10–11 класиДотична кола
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-072

Точки на одному колі із симетрією відносно дотичної

Нехай ABCABC — трикутник. Нехай tt — дотична в AA до описаного кола трикутника ABCABC. Позначимо через A′A' точку прямої tt таку, що пряма (BC)(BC) перетинає відрізок [AA′][AA'] у його середині. Позначимо через C′C' точку, симетричну точці CC відносно прямої tt. Доведіть, що точки BB, AA, C′C' і A′A' лежать на одному колі.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-056

Колінеарність, породжена перетинами вписаного чотирикутника

Нехай AA, BB, CC і DD — чотири точки на колі в такому порядку. Нехай UU — точка перетину прямих (AB)(AB) і (CD)(CD), а VV — точка перетину прямих (BC)(BC) і (DA)(DA). Нехай KK — точка перетину бісектриси, проведеної з UU в трикутнику AUCAUC, і бісектриси, проведеної з VV в трикутнику AVCAVC. Нехай LL — точка перетину серединного перпендикуляра до відрізка [KU][KU] і серединного перпендикуляра до відрізка [KV][KV]. Доведіть, що точки UU, VV і LL лежать на одній прямій.
10–11 класиТочка перетину серединних перпенд…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-058

Центр квадрата на бісектрисі кута

Нехай BCDEBCDE — квадрат, а OO — його центр. Нехай AA — точка поза квадратом BCDEBCDE така, що трикутник ABCABC прямокутний з прямим кутом при вершині AA. Доведіть, що точка OO належить бісектрисі кута BAC^\widehat{BAC}.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-059

Основа висоти з інцентра на описаному колі

Нехай ABCABC — трикутник, не рівнобедрений при вершині AA, а II — центр його вписаного кола. Позначимо через DD точку прямої (BC)(BC) таку, що DIA^=90∘\widehat{DIA} = 90^{\circ}. Позначимо через EE основу висоти, проведеної з II у трикутнику ADIADI. Доведіть, що точка EE лежить на описаному колі трикутника ABCABC.
10–11 класиРадикальна вісь
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-116

Нерухома точка на серединному перпендикулярі

Нехай Ω\Omega і Γ\Gamma — два кола, що перетинаються. Позначимо через AA одну з їхніх точок перетину. Нехай dd — довільна пряма, що проходить через точку AA. Позначимо через PP і QQ точки перетину прямої dd з колами Ω\Omega і Γ\Gamma відповідно, відмінні від AA. Доведіть, що існує точка, незалежна від вибору прямої dd, яка завжди належить серединному перпендикуляру до відрізка [PQ][PQ].
10–11 класиПаралельний перенос
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-114

Дотичні до описаного кола та кути в трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник, а Ω\Omega — його описане коло. Позначимо через XX точку перетину дотичних до кола Ω\Omega в точках BB і CC. Позначимо через φ\varphi кут BAX^\widehat{B A X}, а через μ\mu — кут XAC^\widehat{X A C}. Позначимо через YY точку прямої (AX)(A X) таку, що ACY^=φ\widehat{A C Y}=\varphi. Доведіть, що ABY^=μ\widehat{A B Y}=\mu.
10–11 класиІнверсія2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-060

Ортоцентр трикутника на описаному колі

Нехай ABCABC — трикутник, HH — його ортоцентр, а MM — середина відрізка [BC][BC]. Нехай dd — пряма, що проходить через точку MM. Припустимо, що dd перетинає коло з діаметром [AH][AH] у точках PP і QQ. Доведіть, що ортоцентр трикутника APQAPQ лежить на описаному колі трикутника ABCABC.
10–11 класиТочка перетину висот
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-061

Рівні діагоналі чотирикутника AC = BD і дотик кіл

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник такий, що AC=BDAC = BD, причому сторони ABAB і CDCD не паралельні. Нехай PP — точка перетину діагоналей (AC)(AC) і (BD)(BD). Нехай EE і FF — точки відповідно на відрізках [BP][BP] і [AP][AP] такі, що PC=PEPC = PE і PD=PFPD = PF. Доведіть, що коло, описане навколо трикутника, утвореного прямими (AB)(AB), (CD)(CD) і (EF)(EF), дотикається до кола, описаного навколо трикутника ABPABP.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-073

Середини відрізків на перпендикулярних прямих через ортоцентр

Нехай ABCABC — трикутник і HH — його ортоцентр. Позначимо через ℓ1\ell_{1} і ℓ2\ell_{2} дві прямі, що проходять через HH і перпендикулярні між собою. Позначимо через X1,Y1X_{1}, Y_{1} і Z1Z_{1} точки перетину прямої ℓ1\ell_{1} з прямими (BC)(BC), (CA)(CA) і (AB)(AB) відповідно. Позначимо також через X2,Y2X_{2}, Y_{2} і Z2Z_{2} точки перетину прямої ℓ2\ell_{2} з прямими (BC)(BC), (CA)(CA) і (AB)(AB) відповідно. Доведіть, що середини відрізків [X1X2],[Y1Y2][X_{1}X_{2}], [Y_{1}Y_{2}] і [Z1Z2][Z_{1}Z_{2}] лежать на одній прямій.
10–11 класиРадикальна вісь
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-049

Центр описаного кола AIT на прямій BC

Нехай ABCABC — трикутник, а II — центр його вписаного кола. Перпендикуляр до прямої (AI)(AI), що проходить через точку II, перетинає пряму (AB)(AB) у точці DD і пряму (AC)(AC) у точці EE. Припустимо, що існують дві точки FF і GG на відрізку [BC][BC] такі, що BA=BFBA = BF і CA=CGCA = CG. Нехай TT — точка перетину описаних кіл трикутників ADFADF і AEGAEG. Доведіть, що центр описаного кола трикутника AITAIT лежить на прямій (BC)(BC).
10–11 класиТеорема Менелая
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-062

Конкурентність у конфігурації з вписаним колом

Нехай ABCABC — трикутник, а ω\omega — його вписане коло, точки дотику якого зі сторонами [BC][BC], [CA][CA] і [AB][AB] — відповідно DD, EE і FF. Позначимо через Ω\Omega коло, дотичне до кола ω\omega і таке, що проходить через BB і CC, а через TT — точку дотику цих двох кіл. Позначимо через XX і YY середини відрізків [DE][DE] і [DF][DF]. Позначимо через UU і VV другі точки перетину прямих (TX)(TX) і (TY)(TY) з колом Ω\Omega. Позначимо також через ZZ і WW другі точки перетину прямих (AB)(AB) і (AC)(AC) з колом Ω\Omega. Доведіть, що прямі (ZU)(ZU), (WV)(WV), (XY)(XY) і бісектриса кута BAC^\widehat{BAC} перетинаються в одній точці.
10–11 класиКола, що дотикаються
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-051

Перетин прямих на описаному колі

Нехай ABCABC — трикутник, OO — центр його описаного кола. Нехай II — центр вписаного кола трикутника ABCABC, а DD — точка дотику цього кола з відрізком [AC][AC]. Прямі (OI)(OI) і (AB)(AB) перетинаються в точці PP. Нехай MM — середина дуги ACAC, що не містить BB, а NN — середина дуги BCBC, що містить AA. Доведіть, що прямі (MD)(MD) і (NP)(NP) перетинаються на описаному колі трикутника ABCABC.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Відбіркові тести на IMOTST-0000-002

Рівні площі трикутника та чотирикутника

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з центром описаного кола OO. Перпендикуляр з AA на BCBC перетинає описане коло в точці D≠AD \neq A, а пряма BOBO перетинає описане коло в точці E≠BE \neq B. Доведіть, що трикутник ABCABC і чотирикутник BDCEBDCE мають однакову площу.
10–11 класиПлоща трикутника
Італійська математична олімпіадаITAMO-0000-001

Відношення відрізків гіпотенузи, утворених висотою

Нехай ABCABC — прямокутний трикутник з гіпотенузою ACAC, і нехай HH — основа висоти, проведеної з вершини BB на гіпотенузу ACAC. Відомо, що довжини відрізків ABAB, BCBC і BHBH утворюють сторони нового прямокутного трикутника. Визначте можливі значення відношення AHCH\frac{AH}{CH}.
10–11 класиПодібність в прямокутному трикутн…
Італійська математична олімпіадаITAMO-0000-002

Проєкції на бісектриси кутів

Нехай ABCABC — трикутник, а DD і EE — проєкції точки AA на бісектриси, що виходять з BB і CC. Доведіть, що пряма DEDE паралельна BCBC.
10–11 класиПаралельні прямі і теорема Фалеса3 розв’язки
Італійська математична олімпіадаITAMO-0000-009

Чотирикутник з рівними кутами

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник такий, що CAB^=CDA^\widehat{CAB} = \widehat{CDA} і BCA^=ACD^\widehat{BCA} = \widehat{ACD}. Нехай MM — середина сторони ABAB. Доведіть, що BCM^=DBA^\widehat{BCM} = \widehat{DBA}.
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників3 розв’язки
Італійська математична олімпіадаITAMO-0000-012

Зовнівписане коло і прямий кут

Нехай Γ\Gamma — зовнівписане коло трикутника ABCABC, протилежне вершині AA, тобто коло, дотичне до сторони BCBC та до продовжень сторін ABAB і ACAC з боку BB і CC. Нехай DD — центр кола Γ\Gamma, а EE та FF — відповідно точки дотику кола Γ\Gamma з продовженнями сторін ABAB та ACAC. Нехай JJ — перетин відрізків BDBD та EFEF. Доведіть, що кут ∠CJB\angle CJB прямий.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Італійська математична олімпіадаITAMO-0000-013

Вписаний чотирикутник, побудований за центроїдом

Нехай ABCABC — трикутник з центроїдом GG. Нехай D≠AD \neq A — точка на прямій AGAG така, що AG=GDAG = GD, і нехай E≠BE \neq B — точка на прямій GBGB така, що GB=GEGB = GE. Нехай, нарешті, MM — середина сторони ABAB. Доведіть, що чотирикутник BMCDBMC D є вписаним у коло тоді й лише тоді, коли BA=BEBA = BE.
10–11 класиТочка перетину медіан
Італійська математична олімпіадаITAMO-0000-016

Конгруентні розбиття трикутників у трапеції

У трапеції ABCDABCD сторони ABAB і CDCD паралельні, а кути ABC^\widehat{ABC} і BAD^\widehat{BAD} — гострі. Доведіть, що можна поділити трикутник ABCABC на 4 трикутники X1,…,X4X_{1}, \ldots, X_{4}, що попарно не перетинаються, а трикутник ABDABD — на 4 трикутники Y1,…,Y4Y_{1}, \ldots, Y_{4}, що попарно не перетинаються, так, щоб трикутники XiX_{i} і YiY_{i} були конгруентними для кожного ii.
10–11 класиСиметрія
Італійська математична олімпіадаITAMO-0000-019

Перетин перпендикулярів і чевіани в рівнобедреному трикутнику

Нехай ABCABC — рівнобедрений трикутник, у якому AB=ACAB = AC і BAC^<60∘\widehat{BAC} < 60^\circ, нехай DD — точка на стороні ACAC така, що DBC^=BAC^\widehat{DBC} = \widehat{BAC}, нехай EE — перетин серединного перпендикуляра до відрізка BDBD з прямою, паралельною прямій BCBC, що проходить через AA, і нехай FF — точка на прямій ACAC, з боку AA відносно CC, така, що довжина відрізка FAFA вдвічі більша за довжину відрізка ACAC. Нарешті, нехай rr — перпендикуляр до прямої ABAB, проведений через FF, ss — перпендикуляр до прямої ACAC, проведений через EE, а tt — пряма BDBD. Доведіть, що: (a) прямі EBEB і ACAC паралельні; (b) прямі rr, ss і tt перетинаються в одній точці.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Італійська математична олімпіадаITAMO-0000-023

Поділ дуги кола навпіл через центри двох кіл

Нехай на площині дано два кола γ1\gamma_{1} і γ2\gamma_{2} з центрами AA і BB відповідно, які перетинаються у двох точках CC і DD. Припустімо, що коло, яке проходить через AA, BB і CC, перетинає γ1\gamma_{1} і γ2\gamma_{2} ще раз у точках EE та FF відповідно, і що дуга EFE F, яка не містить CC, лежить поза двома кругами, обмеженими колами γ1\gamma_{1} і γ2\gamma_{2}. Доведіть, що дуга EFE F, яка не містить CC, ділиться навпіл прямою CDC D.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Інші змаганняMISC-0000-130

Кут при паралельних відрізках

На рисунку нижче відрізки ABAB і CDCD паралельні. Якщо ∠CIJ=10β\angle CIJ = 10\beta, ∠AGJ=10α\angle AGJ = 10\alpha, ∠CEJ=6α\angle CEJ = 6\alpha і ∠JFG=6β\angle JFG = 6\beta, визначте величину кута ∠IJK\angle IJK.
8–9 класиПаралельні прямі і січна
Інші змаганняMISC-0000-131

Нерівність трикутника для довжин сторін

a) У трикутнику зі сторонами aa, bb і cc сума двох сторін завжди більша за третю сторону. Наприклад, у поданому нижче трикутнику зі сторонами aa, bb і cc, виконується нерівність a<b+ca < b + c. Крім того, виконуються ще дві нерівності. Які саме? b) На рисунку нижче можна побачити прямокутник, менша сторона якого дорівнює 3, а більша сторона дорівнює 8. Припустімо, що a≠ba \neq b. Доведіть, що a+b>10a + b > 10. Підказка: скопіюйте такий самий прямокутник зверху на намальований! c) На кожній стороні квадрата вибрано точку. Далі ці точки сполучено так, що утворився чотирикутник, як показано на рисунку нижче: Доведіть, що периметр цього чотирикутника (сума довжин сторін) не менший за подвоєну довжину діагоналі квадрата. Підказка: намалюйте кілька квадратів, рівних даному квадрату!
8–9 класиНерівність трикутника
Інші змаганняMISC-0000-176

Перекроєння хреста у квадрат

Діогу вирізав із картону хрест, як показано нижче. У цьому хресті всі сторони мають довжину 1 см1~\text{см}, а всі кути — прямі. Фернанда запропонувала Діогу зробити два прямолінійні розрізи цього хреста так, щоб утворилися чотири частини, які можна скласти заново, щоб утворити квадрат. a) Якою буде площа отриманого квадрата? b) Якою буде сторона отриманого квадрата? c) Покажіть, як Діогу може зробити ці два прямолінійні розрізи, щоб з отриманих розрізанням чотирьох частин можна було скласти квадрат!
10–11 класиРозрізання, склеювання та рівноск…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.