Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

683 задачі
ГеометріяАлгебраїчні методи в геометрії
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-055

Трапеція, вписана в параболу

Трапеція ABCDABCD вписана в параболу y=x2y = x^{2} так, що A=(a,a2)A = (a, a^{2}), B=(b,b2)B = (b, b^{2}), C=(−b,b2)C = (-b, b^{2}) і D=(−a,a2)D = (-a, a^{2}) для деяких додатних дійсних a,ba, b де a>ba > b. Якщо AD+BC=AB+CDAD + BC = AB + CD, а AB=34AB = \frac{3}{4}, знайдіть aa.
10–11 класиМетод координат
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-064

Ортоцентри у вписаному чотирикутнику

Нехай ABCDABCD — чотирикутник, вписаний в одиничне коло з центром OO. Припустимо, що ∠AOB=∠COD=135∘\angle AOB = \angle COD = 135^{\circ}, BC=1BC = 1. Нехай B′B' і C′C' — образи точки AA при симетрії відносно прямих BOBO і COCO відповідно. Нехай H1H_1 і H2H_2 — ортоцентри трикутників AB′C′AB'C' і BCDBCD відповідно. Якщо MM — середина відрізка OH1OH_1, а O′O' — образ точки OO при симетрії відносно середини відрізка MH2MH_2, обчисліть довжину відрізка OO′OO'.
10–11 класиКомплексні числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-065

Прямокутник у колі з перпендикулярними хордами

Хорди AB‾\overline{AB} і CD‾\overline{CD} кола ω\omega перетинаються в точці EE так, що AE=8AE=8, BE=2BE=2, CD=10CD=10 і ∠AEC=90∘\angle AEC=90^{\circ}. Нехай RR — прямокутник усередині кола ω\omega зі сторонами, паралельними AB‾\overline{AB} і CD‾\overline{CD}, такий, що жодна внутрішня точка RR не лежить на AB‾\overline{AB}, CD‾\overline{CD} чи на межі кола ω\omega. Знайдіть найбільшу можливу площу прямокутника RR.
10–11 класиМетод координат
Відбіркові тести на IMOTST-2013-030

Оцінка кута вписаного ромба

У гострокутному трикутнику ABCABC внутрішні кути α,β,γ\alpha, \beta, \gamma позначено, як зазвичай. Далі через DD позначено перетин бісектриси кута α\alpha зі стороною BCBC, а через EE — перетин бісектриси кута β\beta зі стороною ACAC. У чотирикутник ABDEABDE вписано ромб так, що всі вершини цього ромба лежать на різних сторонах чотирикутника. Нетупі внутрішні кути цього ромба позначено через φ\varphi. Доведіть, що φ≤max⁡(α,β)\varphi \leq \max (\alpha, \beta).
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Відбіркові тести на IMOTST-2013-031

Рівні відрізки від середини сторони гострокутного трикутника

У гострокутному трикутнику основи висот, проведених з вершин AA і BB, — це DD і EE відповідно. Нехай MM — середина сторони ABAB. Пряма CMCM перетинає описане коло трикутника CDECDE вдруге в точці PP, а описане коло трикутника CABCAB вдруге — у точці QQ. Доведіть, що ∣MP∣=∣MQ∣.|MP| = |MQ|.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-008

Коло, дотичне до чотирьох кіл з центрами у вершинах

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник, у якому відрізки ACAC і BDBD перетинаються перпендикулярно в точці XX. Припустімо, що виконано AX=5AX = 5, BX=6BX = 6 і CX=20CX = 20. Позначимо через O1,O2,O3O_1, O_2, O_3 і O4O_4 відповідно коло з центром у точці AA і радіусом AXAX, коло з центром у точці BB і радіусом BXBX, коло з центром у точці CC і радіусом CXCX та коло з центром у точці DD і радіусом DXDX. Знайдіть значення DXDX, якщо існує коло, яке дотикається до всіх кіл O1,O2,O3O_1, O_2, O_3 і O4O_4. Тут через YZYZ позначено довжину відрізка YZYZ.
10–11 класиМетод координат
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-006

Чотирикутник у рівносторонньому трикутнику

Трикутник ABCABC нижче — рівносторонній, тобто має три сторони однакової довжини й усі його кути дорівнюють 60∘60^{\circ}. Пан Сімас позначає довільну точку HH на стороні BCBC трикутника. Далі він проводить відрізок, паралельний стороні ACAC, починаючи в HH і закінчуючи в точці II на стороні ABAB. Потім він проводить відрізок, паралельний стороні ABAB, починаючи в HH і закінчуючи в точці JJ на стороні ACAC, як показано на рисунку нижче: a) Знаючи, що сторона ABAB має довжину 1, обчисліть периметр чотирикутника AIHJAIHJ. b) Пан Сімас продовжує креслити, як показано на рисунку нижче, вибирає точку LL на відрізку IBIB і точку MM на відрізку JCJC та проводить відрізки LOLO і MPMP перпендикулярно до сторони BCBC (точки OO і PP лежать на стороні BCBC). Нехай dd — довжина відрізка ILIL, нехай ff — довжина відрізка JMJM і нехай xx — довжина відрізка OPOP. Доведіть, що x=1+d+f2x=\frac{1+d+f}{2}
10–11 класиРівнобедрений та рівносторонній т…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-066

Перетин висоти та бісектриси кута

У трикутнику ABCABC маємо AB=5AB = 5, BC=32BC = 3\sqrt{2} і AC=1AC = 1. Якщо висота з BB на сторону ACAC і бісектриса кута AA перетинаються в точці DD, знайдіть довжину відрізка BDBD.
10–11 класиОсновна властивість бісектриси
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-083

Довжина графіка ітерованого тент-відображення

Нехай ff — функція така, що f(x)={2x якщо x≤122−2x якщо x>12f(x)= \begin{cases}2x & \text{ якщо } x \leq \frac{1}{2} \\ 2-2x & \text{ якщо } x > \frac{1}{2}\end{cases} Чому дорівнює загальна довжина графіка f(f(…f⏟2012 f-ів(x)…))\underbrace{f(f(\ldots f}_{2012\ f\text{-ів}}(x) \ldots)) від x=0x=0 до x=1x=1?
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-001

Найдовша діагональ п’ятикутника із зовнішньою точкою

Квадрат ABCDABCD має сторону завдовжки 22, а XX — точка поза квадратом така, що AX=XB=2AX = XB = \sqrt{2}. Яка довжина найдовшої діагоналі п’ятикутника AXBCDAXB C D?
10–11 класиКути прямокутного трикутника
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-086

Степені комплексного числа з фіксованою відстанню

На вихідних Елі розвозить молоко в комплексній площині. У суботу він починає з zz і розвозить молоко до будинків, розташованих у точках z3,z5,z7,…,z2013z^{3}, z^{5}, z^{7}, \ldots, z^{2013}, у цьому порядку; у неділю він починає з 11 і розвозить молоко до будинків, розташованих у точках z2,z4,z6,…,z2012z^{2}, z^{4}, z^{6}, \ldots, z^{2012}, у цьому порядку. Елі завжди йде безпосередньо (по прямій) між двома будинками. Якщо відстань, яку він має пройти від початкової точки до останнього будинку, становить 2012\sqrt{2012} в обидва дні, знайдіть дійсну частину числа z2z^{2}.
10–11 класиКомплексні числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-041

Відношення площ подібних паралелограмів

ABCDABCD — паралелограм, у якому AB=7AB = 7, BC=2BC = 2 та ∠DAB=120∘\angle DAB = 120^\circ. Паралелограм ECFAECFA міститься в паралелограмі ABCDABCD і подібний до нього. Знайдіть відношення площі ECFAECFA до площі ABCDABCD.
10–11 класиПлощі подібних фігур
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-099

Вершини крос-політопа та куба

Нехай SS — множина точок (x1,x2,…,x2012)(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{2012}) у 2012-вимірному просторі таких, що ∣x1∣+∣x2∣+⋯+∣x2012∣≤1|x_{1}| + |x_{2}| + \cdots + |x_{2012}| \leq 1. Нехай TT — множина точок у 2012-вимірному просторі таких, що max⁡i=12012∣xi∣=2\max_{i=1}^{2012} |x_{i}| = 2. Нехай pp — випадково вибрана точка множини TT. Яка ймовірність того, що найближча до pp точка множини SS є вершиною SS?
10–11 класиВекторний метод
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-090

Рекурентна послідовність за модулем 100

Нехай x1=y1=x2=y2=1x_{1} = y_{1} = x_{2} = y_{2} = 1, а для n≥3n \geq 3 нехай xn=xn−1yn−2+xn−2yn−1x_{n} = x_{n-1} y_{n-2} + x_{n-2} y_{n-1} і yn=yn−1yn−2−xn−1xn−2y_{n} = y_{n-1} y_{n-2} - x_{n-1} x_{n-2}. Які останні дві цифри числа ∣x2012∣\left|x_{2012}\right|?
10–11 класиКомплексні числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-045

Мінімум суми квадратів тригонометричних виразів

Нехай α\alpha і β\beta — дійсні числа. Знайдіть найменше можливе значення (2cos⁡α+5sin⁡β−8)2+(2sin⁡α+5cos⁡β−15)2.(2 \cos \alpha + 5 \sin \beta - 8)^2 + (2 \sin \alpha + 5 \cos \beta - 15)^2.
10–11 класиВекторний метод
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-055

Дотичні до описаного кола трикутника

У трикутнику ABCABC маємо AB=4AB = 4, BC=5BC = 5 і CA=6CA = 6. Точки A′A', B′B', C′C' такі, що відрізок B′C′B'C' дотикається до описаного кола △ABC\triangle ABC у точці AA, відрізок C′A′C'A' дотикається до описаного кола у точці BB, а відрізок A′B′A'B' дотикається до описаного кола у точці CC. Знайдіть довжину відрізка B′C′B'C'.
10–11 класиДотична кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-022

Відстані між перетинами концентричних кіл

Для кожного натурального числа nn є коло з центром у початку координат радіуса nn. Рейнбоу Деш стартує десь на площині, але не на колі. Вона рушає в деякому напрямку прямолінійним шляхом. Вона проходить 55\frac{\sqrt{5}}{5} одиниць, перш ніж перетнути коло, потім 5\sqrt{5} одиниць, потім 355\frac{3 \sqrt{5}}{5} одиниць. Яку відстань вона пройде, перш ніж перетне наступне коло?
10–11 класиМетричні співвідношення в колі
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-028

Гранична точка на вкладених дисках, що обертаються

Аліса сидить на атракціоні «кружляючі чашечки», що складається з нескінченно багатьох шарів дисків, які обертаються. Найбільший диск має радіус 55. Центр кожного наступного диска прикріплений до точки на колі попереднього диска, а його радіус дорівнює 2/32/3 радіуса попереднього. Кожен диск обертається навколо свого центра (відносно диска, до якого він прикріплений) з кутовою швидкістю π/6\pi/6 радіана за секунду. Спочатку, в момент t=0t=0, центри дисків лежать на одній прямій, що йде назовні. Аліса сидить у граничній точці всіх цих дисків. Яку довжину має траєкторія, яку Аліса описала за 1212 секунд?
10–11 класиКомплексні числа
Відбіркові тести на IMOTST-2012-002

Нерухома точка на описаному колі

У гострокутному трикутнику ABCABC виконуються нерівності ∠A<∠B\angle A < \angle B і ∠A<∠C\angle A < \angle C. Нехай PP — змінна точка на стороні BCBC. Точки DD і EE лежать на сторонах ABAB і ACAC відповідно так, що BP=PDBP = PD і CP=PECP = PE. Доведіть, що коли PP рухається вздовж сторони BCBC, описане коло трикутника ADEADE проходить через нерухому точку, відмінну від AA.
10–11 класиОписане коло2 розв’язки
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2012-016

Ортоцентр і середина центрів кіл

Трикутники PABPAB і PCDPCD розміщено на площині. Припустимо, що виконуються рівності PA=PBPA = PB, PC=PDPC = PD і що 3 точки PP, AA, CC лежать на одній прямій у цьому порядку, і те саме справджується для 3 точок BB, PP, DD. Припустимо далі, що коло S1S_1, яке проходить через AA, CC, і коло S2S_2, яке проходить через BB, DD, перетинаються у 2 різних точках XX і YY. Доведіть, що ортоцентр трикутника PXYPXY збігається із серединою відрізка, що сполучає центри кіл S1S_1 і S2S_2. Тут для відрізка ZWZW його довжину також позначаємо через ZWZW.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2012-007

Центр описаного кола як середина відрізка

Нехай OO — центр описаного кола трикутника ABCABC. Точки DD і EE вибрано на відрізках ABAB і ACAC відповідно так, що середина відрізка DEDE збігається з точкою OO. Якщо AD=8AD = 8, BD=3BD = 3 і AO=7AO = 7, визначте значення CECE. Тут для відрізка XYXY через XYXY також позначаємо його довжину.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2012-004

Відбиття і колінеарність у трикутнику

Нехай PP — точка в площині трикутника ABCABC, а γ\gamma — пряма, що проходить через PP. Нехай A′A', B′B', C′C' — точки, в яких образи прямих PAPA, PBPB, PCPC при відбитті відносно прямої γ\gamma перетинають прямі BCBC, ACAC, ABAB відповідно. Доведіть, що точки A′A', B′B', C′C' лежать на одній прямій.
10–11 класиТеорема Менелая2 розв’язки
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2012-005

Симетричні чевіани та колінеарність

Нехай PP — точка в площині трикутника ABCABC, а γ\gamma — пряма, що проходить через PP. Нехай A′A', B′B', C′C' — точки, в яких відбиття прямих PAPA, PBPB, PCPC відносно прямої γ\gamma перетинають прямі BCBC, ACAC, ABAB відповідно. Доведіть, що точки A′A', B′B', C′C' колінеарні.
10–11 класиТеорема Менелая
Естонська математична олімпіадаESTMO-2011-015

Рівність площ при розфарбуванні правильного многокутника

Усередині правильного 2n2n-кутника вибрано довільну точку, яку сполучено з кожною вершиною 2n2n-кутника. Утворені трикутники пофарбовано по черзі в чорний і білий кольори так, щоб трикутники зі спільною стороною мали різні кольори. Доведіть, що сума площ усіх білих трикутників дорівнює сумі площ усіх чорних трикутників.
11 класВідношення площ трикутників2 розв’язки
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2011-008

Довжина хорди через перпендикулярні проєкції

Розглянемо гострокутний трикутник ABCABC та його описане коло. Нехай DD — точка на дузі ABAB, яка не містить точку CC, а A1A_1 і B1B_1 — точки на прямих DADA і DBDB відповідно, такі, що CA1⊥DACA_1 \perp DA і CB1⊥DBCB_1 \perp DB. Доведіть, що ∣AB∣≥∣A1B1∣|AB| \ge |A_1B_1|.
10–11 класиПоворотна гомотетія

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.