Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

743 задачі
АлгебраФункціональні рівняння та нерівності
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2024-052

Функції на многочленах, що зберігають подільність

Нехай Z[X]\mathbb{Z}[X] — множина многочленів із цілими коефіцієнтами. Знайдіть усі функції f:Z[X]→Z[X]f: \mathbb{Z}[X] \rightarrow \mathbb{Z}[X] такі, що для всіх P,Q∈Z[X]P, Q \in \mathbb{Z}[X] і r∈Zr \in \mathbb{Z} виконується P(r)∣Q(r)⟺(f(P))(r)∣(f(Q))(r)P(r)|Q(r) \Longleftrightarrow (f(P))(r)|(f(Q))(r)
10–11 класиДілення многочленів з остачею
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-095

Рівняння f(f(x)+ay)=af(y)+x на раціональних числах

Нехай Q\mathbb{Q} — множина раціональних чисел. Для раціонального числа a≠0a \neq 0 знайдіть з доведенням усі функції f:Q→Qf: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}, які задовольняють рівняння f(f(x)+ay)=af(y)+xf(f(x)+a y)=a f(y)+x для всіх x,y∈Qx, y \in \mathbb{Q}.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2024-006

f(f(m)f(n)) = mn з нерухомими точками 2024a + 1

Знайдіть усі функції f:Z>0→Z>0f: \mathbb{Z}_{>0} \to \mathbb{Z}_{>0} такі, що для всіх натуральних чисел mm, nn і aa виконується: 1. f(f(m)f(n))=mn;f(f(m)f(n)) = mn; 2. f(2024a+1)=2024a+1.f(2024a + 1) = 2024a + 1.
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Відбіркові тести на IMOTST-2024-007

Функціональна нерівність на невід'ємних дійсних числах

Знайдіть усі функції f:R≥0→Rf: \mathbb{R}_{\ge 0} \to \mathbb{R}, що задовольняють 2x3zf(z)+yf(y)≥3yz2f(x)2x^3zf(z) + yf(y) \geq 3yz^2f(x) для всіх x,y,z∈R≥0x, y, z \in \mathbb{R}_{\ge 0}.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2024-013

Функціональне рівняння з НСК на натуральних числах

Нехай NN позначає множину натуральних чисел. Знайдіть усі функції f:N→Nf : N \to N такі, що рівність НСК(m,f(m+f(n)))=НСК(f(m),f(m)+n)\text{НСК}(m, f(m + f(n))) = \text{НСК}(f(m), f(m) + n) справджується для будь-яких натуральних чисел mm і nn. Тут для натуральних чисел xx і yy через НСК(x,y)\text{НСК}(x, y) позначається їхнє найменше спільне кратне.
10–11 класиНСД та НСК
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2024-008

Кортежі з функціонального рівняння на невід'ємних цілих

Нехай N0N_0 — множина невід'ємних цілих чисел, а Z\mathbb{Z} — множина цілих чисел. Знайдіть кількість можливих кортежів (f(0),f(1),…,f(2024))(f(0), f(1), \dots, f(2024)) для функції f:N0→Zf: N_0 \to \mathbb{Z}, що задовольняє f(m+n)2=f(m∣f(n)∣)+f(n2)f(m+n)^2 = f(m|f(n)|) + f(n^2) для будь-яких m,n∈N0m, n \in N_0.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2024-010

Функція з трикутниками та найменша сума значень

Нехай NN — множина натуральних чисел. Функція f:N→Nf: N \to N задовольняє f(34)=2024f(34) = 2024, і для будь-яких натуральних чисел a,b,ca, b, c існує трикутник зі сторонами a+f(b)a+f(b), b+f(c)b+f(c), c+f(a)c+f(a). Знайдіть найменше можливе значення f(100)+f(101)+⋯+f(199)f(100) + f(101) + \dots + f(199) за цих умов. Зауважимо, що три точки, які лежать на одній прямій, не утворюють трикутника.
10–11 класиМетод допоміжних функцій: g(x) =…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-009

Ін'єктивна функція, що зберігає дійсні корені

Знайти всі ін'єктивні функції ff з N\mathbb{N} в N\mathbb{N} такі, що кожен многочлен ∑i=0naixi\sum_{i=0}^{n} a_{i} x^{i} має дійсний корінь тоді й лише тоді, коли многочлен ∑i=0naixf(i)\sum_{i=0}^{n} a_{i} x^{f(i)} має дійсний корінь.
10–11 класиВластивості монотонності або обме…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-094

Функціональне рівняння з квадратичним і лінійним членами

Нехай α≠0\alpha \neq 0. Знайдіть усі функції f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} такі, що для всіх дійсних x,yx, y, f(x2+y+f(y))=f(x)2+αyf\left(x^{2}+y+f(y)\right)=f(x)^{2}+\alpha y
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-096

Кількість різних дійсних коренів через ітерацію многочлена

Нехай P(X)P(X) — унітарний многочлен з дійсними коефіцієнтами степеня 20222022. Еміль грає в таку гру: він записує многочлен P(X)P(X) на дошці і на кожному кроці, якщо на дошці записано многочлен f(X)f(X), Еміль може замінити його на: - многочлен f(X)+cf(X)+c, де cc — дійсне число за його вибором, або - многочлен P(f(X))P(f(X)). Знайти всі невід'ємні цілі числа nn такі, що, незалежно від початкового многочлена PP, Еміль може знайти послідовність операцій так, щоб отриманий многочлен мав рівно nn різних дійсних коренів.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-001

Функціональне рівняння f(x)=f(x+y)+f(x+x²f(y))

Нехай Q+\mathbb{Q}^{+} позначає множину додатних раціональних чисел. Знайдіть із доведенням усі функції f:Q+→Q+f: \mathbb{Q}^{+} \rightarrow \mathbb{Q}^{+} такі, що для всіх додатних раціональних чисел xx і yy виконується f(x)=f(x+y)+f(x+x2f(y))f(x)=f(x+y)+f\left(x+x^{2} f(y)\right)
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Відбіркові тести на IMOTST-2023-004

Усі функції з нерівністю з f(a-b) f(c-d)

Знайдіть усі функції f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, для яких f(a−b)f(c−d)+f(a−d)f(b−c)≤(a−c)f(b−d)f(a-b) f(c-d)+f(a-d) f(b-c) \leq (a-c) f(b-d) виконується для всіх дійсних чисел a,b,ca, b, c і dd.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Відбіркові тести на IMOTST-2023-017

Рівняння з f(x + y) та f(xy) на Q+

Знайдіть усі функції f:Q+→Qf: \mathbb{Q}^{+} \rightarrow \mathbb{Q} такі, що f(x)+f(y)=(f(x+y)+1x+y)(1−xy+f(xy))f(x)+f(y)=\left(f(x+y)+\frac{1}{x+y}\right)(1-x y+f(x y)) для всіх x,y∈Q+x, y \in \mathbb{Q}^{+}.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Відбіркові тести на IMOTST-2023-029

Необмежена різниця ітерованої функції

Зафіксуймо функцію f:N→Nf: \mathbb{N} \to \mathbb{N} і для будь-яких m,n∈Nm, n \in \mathbb{N} визначимо Δ(m,n)=f(f(…f(m)… ))⏟f(n) разів−f(f(…f(n)… ))⏟f(m) разів.\Delta(m, n) = \underbrace{f(f(\dots f(m)\dots))}_{f(n) \text{ разів}} - \underbrace{f(f(\dots f(n)\dots))}_{f(m) \text{ разів}}. Припустімо, що Δ(m,n)≠0\Delta(m, n) \neq 0 для будь-яких різних m,n∈Nm, n \in \mathbb{N}. Доведіть, що Δ\Delta є необмеженою, тобто що для будь-якої сталої CC існують m,n∈Nm, n \in \mathbb{N}, для яких ∣Δ(m,n)∣>C|\Delta(m, n)| > C.
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2023-012

Монотонні функції з умовою на композицію

Нехай AA — множина функцій, визначених для цілих чисел від 11 до 20232023 і таких, що набувають цілих значень від 11 до 20232023. Припустимо, що AA задовольняє такі дві умови: Для будь-якої функції ff, що належить AA, і будь-яких цілих чисел xx та yy, для яких 1≤x<y≤20231 \le x < y \le 2023, маємо f(x)≥f(y)f(x) \ge f(y). Для будь-яких функцій ff і gg, що належать AA, і будь-якого цілого числа xx від 11 до 20232023 маємо f(g(x))=g(f(g(x)))f(g(x)) = g(f(g(x))). У цьому випадку знайдіть найбільшу можливу кількість елементів множини AA.
10–11 класиВластивості монотонності або обме…
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2023-002

Строго спадна функція на додатних дійсних числах

Нехай R+\mathbb{R}^+ — множина додатних дійсних чисел. Нехай f:R+→R+f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ — функція, яка задовольняє таку умову. Для кожного додатного дійсного числа xx існує y∈Ry \in \mathbb{R} таке, що (x+f(y))(y+f(x))≤4,(x + f(y))(y + f(x)) \leq 4, і кількість таких yy скінченна. Доведіть, що f(x)>f(y)f(x) > f(y) для кожної пари додатних дійсних чисел xx і yy з x<yx < y.
10–11 класиВластивості монотонності або обме…
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2023-013

Функціональне рівняння на множині без −1

Нехай DD — множина дійсних чисел, крім −1-1. Знайдіть усі функції f:D→Df: D \rightarrow D такі, що для всіх x,y∈Dx, y \in D, які задовольняють x≠0x \neq 0 і y≠−xy \neq -x, виконується рівність (f(f(x))+y)f(yx)+f(f(y))=x(f(f(x)) + y) f\left(\frac{y}{x}\right) + f(f(y)) = x
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-009

Кількість дільників та образи простих чисел

Нехай f:N⋆→N⋆f: \mathbb{N}^{\star} \rightarrow \mathbb{N}^{\star} — функція така, що для кожного цілого n⩾1n \geqslant 1, f(f(n))f(f(n)) дорівнює кількості додатних дільників числа nn. Доведіть, що якщо pp — просте число, то f(p)f(p) також просте число.
10–11 класиКількість дільників τ(n)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-085

Лінійні функції з умовою на композицію

Дві лінійні функції f(x)f(x) і g(x)g(x) задовольняють такі властивості для всіх xx: - f(x)+g(x)=2f(x) + g(x) = 2 - f(f(x))=g(g(x))f(f(x)) = g(g(x)) а також f(0)=2022f(0) = 2022. Обчисліть f(1)f(1).
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-097

Функціональне рівняння з одиничним добутком

Знайдіть, з доведенням, усі функції f:R∖{0}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R} такі, що f(x)2−f(y)f(z)=x(x+y+z)(f(x)+f(y)+f(z))f(x)^2 - f(y) f(z) = x(x+y+z)(f(x) + f(y) + f(z)) для всіх дійсних x,y,zx, y, z таких, що xyz=1x y z = 1.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-122

Монічний многочлен із функціональним рівнянням

Нехай P(x)P(x) — монічний многочлен степеня 20232023, такий, що P(k)=k2023P(1−1k)P(k) = k^{2023} P\left(1 - \frac{1}{k}\right) для кожного натурального числа 1≤k≤20231 \leq k \leq 2023. Тоді P(−1)=abP(-1) = \frac{a}{b}, де aa і bb — взаємно прості цілі числа. Знайдіть єдине ціле число 0≤n<20270 \leq n < 2027, таке, що bn−ab n - a ділиться на просте число 20272027.
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-038

Рівняння з цілою частиною двійкового логарифма

Обчисліть кількість додатних дійсних чисел xx, що задовольняють (3⋅2⌊log⁡2x⌋−x)16=2022x13\left(3 \cdot 2^{\left\lfloor\log _{2} x\right\rfloor}-x\right)^{16}=2022 x^{13}
10–11 класиВластивості монотонності або обме…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-061

Вписаний многокутник із двома довжинами сторін

Нехай a≠ba \neq b — додатні дійсні числа, а m,nm, n — натуральні числа. m+nm+n-кутник PP має властивість, що mm сторін мають довжину aa, а nn сторін мають довжину bb. Крім того, припустимо, що PP можна вписати в коло радіуса a+ba+b. Обчисліть кількість впорядкованих пар (m,n)(m, n), де m,n≤100m, n \leq 100, для яких такий многокутник PP існує при деяких різних значеннях aa та bb.
10–11 класиТригонометричні функції
Відбіркові тести на IMOTST-2022-024

Многочлен із умовою P(x²+x-n²) = P(x)²+P(x)

Нехай nn — натуральне число. Знайдіть усі многочлени PP з дійсними коефіцієнтами такі, що P(x2+x−n2)=P(x)2+P(x)P\left(x^{2}+x-n^{2}\right)=P(x)^{2}+P(x) для всіх дійсних чисел xx.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2022-025

Функціональне рівняння з виразом x+f(yf(x)+1)

Нехай R>0\mathbb{R}_{>0} позначає множину додатних дійсних чисел. Знайдіть усі функції f:R>0→R>0f: \mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}_{>0} такі, що x+f(yf(x)+1)=xf(x+y)+yf(yf(x))x+f(y f(x)+1)=x f(x+y)+y f(y f(x)) для всіх додатних дійсних чисел xx і yy.
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.