Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 010 задач
КомбінаторикаІгри і стратегії
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2024-001

Два початкові числа на дошці та всі цілі числа

На дошці написано два різних цілих числа uu та vv. Ми виконуємо послідовність кроків. На кожному кроці робимо одну з таких двох операцій: - якщо aa та bb — різні цілі числа, написані на дошці, то ми можемо дописати число a+ba + b, якщо його там ще немає; - якщо aa, bb та cc — три попарно різних цілих числа на дошці та ціле число xx є коренем рівняння ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0, то ми можемо дописати число xx, якщо його там ще немає. Знайдіть усі пари початкових чисел (u,v)(u, v), що для них будь-яке ціле число може бути написане на дошці після скінченної кількості кроків.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2024-003

Нескінченна послідовність з умовою на кількість повторень

Нехай a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \ldots — нескінченна послідовність натуральних чисел та нехай NN — деяке натуральне число. Відомо, що для кожного натурального числа n>Nn > N число an−1a_{n-1} трапляється поміж чисел a1,a2,…,an−1a_1, a_2, \ldots, a_{n-1} рівно ana_n разів. Доведіть, що принаймні одна з послідовностей — a1,a3,a5,…a_1, a_3, a_5, \ldots або a2,a4,a6,…a_2, a_4, a_6, \ldots — стає періодичною, починаючи з деякого номера. Примітка. Нескінченну послідовність b1,b2,b3,…b_1, b_2, b_3, \ldots називають періодичною, починаючи з деякого номера, якщо існують такі натуральні числа pp та MM, коли рівність bm+p=bmb_{m+p} = b_m справджується при всіх натуральних числах m⩾Mm \geqslant M.
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Шорт-лист IMOIMOSL-2024-007

Максимальна сума балів за забіги

Нехай nn — натуральне число. Клас з nn учнів проводить nn забігів, у кожному з яких учні посідають місця без нічиїх. Учень може претендувати на рейтинг (a,b)(a, b) для натуральних чисел aa і bb, якщо він потрапляє до перших bb місць принаймні в aa забігах. Його підсумковий бал — це найбільше можливе значення a−ba-b серед усіх рейтингів, на які він може претендувати. Знайдіть найбільшу можливу суму всіх балів nn учнів.
10–11 класиПідрахунок двома способами4 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2024-009

Виграшна стратегія у грі зі стиранням чисел

Нехай NN — натуральне число. Джефф і Сері грають у гру, в якій спочатку записують на дошці числа 1,2,…,N1, 2, \ldots, N. Потім вони ходять по черзі, починає Джефф. Кожен хід полягає у виборі пари цілих чисел (k,n)(k, n), де k⩾0k \geqslant 0 і nn — одне з чисел на дошці, а потім стирання кожного числа ss на дошці такого, що 2k∣n−s2^{k} \mid n-s. Гра триває, доки дошка не стане порожньою. Гравець, який стирає останнє число на дошці, програє. Визначте всі значення NN, для яких Джефф може гарантувати собі перемогу, як би не грала Сері.
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Шорт-лист IMOIMOSL-2024-001

Періодичність послідовності, заданої середніми

Нехай a0,a1,a2,…a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots — нескінченна строго зростаюча послідовність натуральних чисел така, що для кожного n⩾1n \geqslant 1 виконується an∈{an−1+an+12,an−1⋅an+1}a_{n} \in\left\{\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}, \sqrt{a_{n-1} \cdot a_{n+1}}\right\} Нехай b1,b2,…b_{1}, b_{2}, \ldots — нескінченна послідовність літер, визначена як bn={A, якщо an=12(an−1+an+1)G, інакше b_{n}= \begin{cases}A, & \text{ якщо } a_{n}=\frac{1}{2}\left(a_{n-1}+a_{n+1}\right) \\ G, & \text{ інакше }\end{cases} Доведіть, що існують натуральні числа n0n_{0} і dd такі, що для всіх n⩾n0n \geqslant n_{0} виконується bn+d=bnb_{n+d}=b_{n}.
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Шорт-лист IMOIMOSL-2024-010

Перекладання кульок з обмеженим дисбалансом

Нехай nn і TT — натуральні числа. Джеймс має 4n4 n кульок вагою 1,2,…,4n1,2, \ldots, 4 n. Він кладе їх на шальки терезів так, щоб ваги обох шальок були рівні. Ендрю може перекладати кульку з однієї шальки терезів на іншу так, щоб абсолютна різниця ваг двох шальок залишалася не більшою за TT. Знайдіть залежно від nn найменше натуральне число TT таке, що Ендрю може виконати послідовність ходів, після якої кожна кулька опиниться на протилежній шальці, незалежно від того, як Джеймс спочатку розклав кульки.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Балканська юніорська математична олімпіада (JBMO)JBMO-2024-004

Гра трьох з купками та гравці, що не програють

Троє друзів — Андрій, Богдана й Валя — грають у гру. На початку гри кожен гравець має купку з 20242024 камінців. Андрій робить перший хід, Богдана ходить другою, а Валя ходить третьою, і далі вони продовжують гру в тому самому порядку. Щоб зробити свій хід, гравець мусить вибрати натуральне число nn, більше за всі числа, попередньо вибрані будь-ким із гравців, узяти 2n2n камінців зі своєї купки та розділити їх порівну між двома іншими. Якщо гравець не може зробити хід, то гра закінчується, і цей гравець програє. Визначте всіх гравців, що мають стратегію, яка дозволяє не програти, незалежно від дій інших гравців.
7–9 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-036

Нім із простими або квадратними ходами

У купі лежить п'ятдесят кульок. Альфред і Боділ по черзі забирають додатну кількість кульок, починає Альфред, і на кожному ході кількість забраних кульок має бути простим числом або квадратом. Переможцем є той, хто спорожнить купу. Хто переможе, якщо обидва грають оптимально?
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2023-004

Равлик на колі та ніколи не пройдена точка

Равлик Степан сидить у деякій точці кола завдовжки 11. Задано нескінченну послідовність додатних дійсних чисел c1,c2,c3,…c_1, c_2, c_3, \ldots. Равлик Степан послідовно проповзає відстані c1,c2,c3,…c_1, c_2, c_3, \ldots вздовж кола, щоразу вибираючи, повзти йому за рухом годинникової стрілки чи проти руху годинникової стрілки. Наприклад, якщо послідовність c1,c2,c3,…c_1, c_2, c_3, \ldots задано як числа 0,40{,}4, 0,60{,}6, 0,30{,}3, …\ldots, то Степан може повзти таким чином, як це показано на рис. 9.1. Визначте найбільшу сталу C>0C > 0 з такою властивістю: для довільної послідовності додатних дійсних чисел c1,c2,c3,…c_1, c_2, c_3, \ldots такої, що ci<Cc_i < C для всіх натуральних ii, Степан може (після дослідження послідовності) гарантувати, що на колі знайдеться точка, у якій він ніколи не зупинявся та не проповзав над нею.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2023-005

Великодні числа та поява одиниці в послідовності

Задано натуральне число s⩾2s \geqslant 2. Для кожного натурального kk його Великодним числом назвемо число k′k', яке визначається в такий спосіб: запишемо kk як суму as+bas + b, де aa, bb — цілі невід’ємні числа, а b<sb < s, тоді k′=bs+ak' = bs + a. Для натурального числа nn розглянемо нескінченну послідовність d1,d2,d3,…d_1, d_2, d_3, \ldots, де di+1d_{i+1} є Великодним числом числа did_i для кожного натурального ii. Доведіть, що ця послідовність містить 11 тоді й тільки тоді, коли остача від ділення числа nn на s2−1s^2 - 1 дорівнює 11 або ss.
10–11 класиОстача від ділення
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2023-004

Шлях ніндзя з найменшою кількістю сірих кружків

Дано натуральне число nn. Японський трикутник складається з 1+2+…+n1 + 2 + \ldots + n кружків, розташованих у формі рівностороннього трикутника так, що для кожного i=1,n‾i = \overline{1, n} ii-й рядок містить ii кружків та рівно один із них пофарбовано сірим кольором. Шляхом ніндзя в японському трикутнику назвемо довільну послідовність із nn кружків, яку отримано в такий спосіб: починаємо з єдиного кружка у верхньому рядку та послідовно спускаємося з нього до одного з двох кружків, що знаходяться одразу під даним, та закінчуємо кружком у нижньому рядку. На рис. 6.1 зображено приклад японського трикутника для n=6n = 6 разом із прикладом шляху ніндзя для цього трикутника, який містить два сірих кружки. Знайдіть залежно від nn найбільше натуральне kk таке, щоб у довільному японському трикутнику існував шлях ніндзя, який містить найменшу кількість kk сірих кружків.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист IMOIMOSL-2023-009

Скрині зі скарбами з обмеженою різницею

Еліза має 2023 скрині зі скарбами, усі вони спочатку відімкнені й порожні. Щодня Еліза додає новий самоцвіт в одну з відімкнених скринь на свій вибір, а після цього фея діє за такими правилами: - якщо відімкнено більше ніж одну скриню, вона замикає одну з них, або - якщо відімкнена лише одна скриня, вона відмикає всі скрині. Відомо, що цей процес триває нескінченно довго. Доведіть, що існує стала CC з такою властивістю: Еліза може забезпечити, щоб різниця між кількостями самоцвітів у будь-яких двох скринях ніколи не перевищувала CC, незалежно від того, як фея вибирає скрині для замикання.
10–11 класиЖадібний алгоритм2 розв’язки
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2023-002

Чудові та гарні трикутники на n точках

Зафіксуємо натуральне число n⩾3n \geqslant 3. Нехай SS — це множина nn точок на площині, жодні три з яких не є колінеарними. Для попарно різних точок AA, BB, CC із множини SS назвемо трикутник ABCABC чудовим для сторони ABAB, якщо SABC⩽SABXS_{ABC} \leqslant S_{ABX} для будь-якої точки XX із множини SS, що відмінна від точок AA та BB. Трикутник назвемо гарним, якщо його вершини належать множині SS і він є чудовим принаймні для двох його сторін. Доведіть, що існує щонайменше 12(n−1)\frac{1}{2}(n-1) гарних трикутників. Примітка. Для одного відрізка ABAB може бути декілька чудових трикутників.
10–11 класиГеометричні конфігурації точок
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2022-001

Гра на клітчастій дошці з квадратами k × k

Задано натуральне число k⩽2022k \leqslant 2022. Анна та Богдан грають у таку гру на клітчастій дошці розміром 2022×20222022 \times 2022 клітинки. На початку гри всі клітинки є білими. Гравці роблять ходи по черзі, починає Анна. У свій хід Анна може або пофарбувати одну білу клітинку в жовтий колір, або пропустити свій хід, а Богдан у свій хід може або пофарбувати квадрат розміром k×kk \times k клітинок, усі клітинки якого є білими, у синій колір, або пропустити свій хід. Як тільки обидва гравці пропускають свій хід, гра завершується, і того, хто зафарбував більше клітинок, оголошують переможцем (у грі можлива нічия). Для кожного 1⩽k⩽20221 \leqslant k \leqslant 2022 визначте, чи має хтось із гравців виграшну стратегію, і якщо так, то хто саме.
10–11 класиГеометричні розфарбування
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2022-005

Непарність кількості розбиттів дошки n × 2k на доміно

Для всіх натуральних nn та kk через f(n,2k)f(n, 2k) позначимо кількість способів розбити дошку розміром n×2kn \times 2k клітинки на nknk кісточок доміно розміром 2×12 \times 1 клітинку (наприклад, f(2,2)=2f(2, 2) = 2 та f(3,2)=3f(3, 2) = 3). Знайдіть усі такі натуральні nn, що для кожного натурального kk число f(n,2k)f(n, 2k) є непарним.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2022-001

Ряд монет двох типів і перші n монет

Ощадбанк Осло випускає монети двох типів: алюмінієві (їх позначають як AA) та бронзові (їх позначають як BB). У Михайлини є nn алюмінієвих та nn бронзових монет, які деяким чином викладено в рядок. Ланцюжком назвемо будь-яку послідовну групу монет одного типу. Для фіксованого натурального числа k⩽2nk \leqslant 2n Михайлина повторює таку операцію: вона вибирає найдовший ланцюжок, що містить kk-ту монету зліва, і переміщує всі монети із цього ланцюжка до лівого краю рядка. Наприклад, процес для n=k=4n = k = 4, починаючи з рядка AABBBABA, мав би вигляд AABBBABA→BBBAAABA→AAABBBBA→BBBBAAAA.AABBBABA \to BBBAAABA \to AAABBBBA \to BBBBAAAA. Знайдіть усі такі пари натуральних чисел (n,k)(n, k) з 1⩽k⩽2n1 \leqslant k \leqslant 2n, що для довільного можливого початкового розташування монет у рядок, у деякий момент перші nn монет будуть одного типу.
10–11 класиНапівінваріанти
Шорт-лист IMOIMOSL-2022-009

Мінімальна кількість купок при рівних перекладаннях

Нехай nn — натуральне число. Починаємо з nn купок камінців, у кожній спочатку по одному камінцю. Можна виконувати ходи такого вигляду: вибрати дві купки, взяти з кожної купки однакову кількість камінців і утворити з цих камінців нову купку. Для кожного натурального числа nn знайдіть найменшу кількість непорожніх купок, яку можна отримати, виконавши скінченну послідовність ходів такого вигляду.
10–11 класиІнші інваріанти3 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2022-010

Породження цілочисельних наборів сумою та максимумом

Люсі спочатку записує на дошку ss цілочисельних 2022-наборів. Після цього вона може взяти будь-які два (не обов'язково різні) набори v=(v1,…,v2022)\mathbf{v} = (v_1, \ldots, v_{2022}) і w=(w1,…,w2022)\mathbf{w} = (w_1, \ldots, w_{2022}), які вона вже записала, і застосувати до них одну з таких операцій, щоб отримати новий набір: v+w=(v1+w1,…,v2022+w2022)v∨w=(max⁡(v1,w1),…,max⁡(v2022,w2022))\begin{aligned} & \mathbf{v} + \mathbf{w} = (v_1 + w_1, \ldots, v_{2022} + w_{2022}) \\ & \mathbf{v} \vee \mathbf{w} = (\max(v_1, w_1), \ldots, \max(v_{2022}, w_{2022})) \end{aligned} а потім записати цей набір на дошку. Виявляється, що в такий спосіб Люсі може за скінченну кількість кроків записати на дошку будь-який цілочисельний 2022-набір. Яке найменше можливе число ss наборів, які вона записала спочатку?
10–11 класиІнші інваріанти
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2022-003

Гра з розбиттям чисел та умовою за модулем n

Антон і Брітта грають у гру з множиною M={1,2,3,…,n−1}M=\{1,2,3, \ldots, n-1\}, де n≥5n \geq 5 — непарне ціле число. На кожному кроці Антон вилучає число з множини MM і додає його до своєї множини AA, а Брітта вилучає число з множини MM і додає його до своєї множини BB (спочатку AA і BB порожні). Коли MM стає порожньою, Антон вибирає два різні числа x1,x2x_{1}, x_{2} з множини AA і показує їх Брітті. Потім Брітта вибирає два різні числа y1,y2y_{1}, y_{2} з множини BB. Брітта виграє, якщо (x1x2(x1−y1)(x2−y2))n−12≡1 mod n\left(x_{1} x_{2}\left(x_{1}-y_{1}\right)\left(x_{2}-y_{2}\right)\right)^{\frac{n-1}{2}} \equiv 1 \quad \bmod n інакше виграє Антон. Знайдіть усі nn, для яких Брітта має виграшну стратегію.
10–11 класиМала теорема Ферма
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2021-024

Рух фішки на шестикутній дошці

Анна, Еллі та Майло грають у гру на шестикутній дошці, викладеній шестикутниками, n>2n > 2 шестикутників на кожній стороні. Гра починається з фішки на клітинці в одному з кутів дошки. Еллі та Майло в одній команді, грають проти Анни, і вони виграють, якщо фішка потрапить у центр дошки. Анна, Еллі та Майло по черзі рухають фішку, починає Анна, потім Еллі, а потім Майло. Ходи відбуваються так: Анна має пересунути фішку в сусідній шестикутник у будь-якому напрямку. Еллі має пересунути фішку на два шестикутники в будь-якому з 6 можливих напрямків. Майло може пропустити хід або пересунути фішку на три шестикутники в будь-якому з 6 можливих напрямків. Знайдіть усі n>2n > 2, для яких Еллі та Майло мають виграшну стратегію. Рисунок 1: Дошка з 5 шестикутниками на кожній стороні.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2021-007

Цілочислова послідовність із квадратичним рекурентним співвідношенням

Знайдіть усі послідовності (a1,a2,...)(a_1, a_2, ...) натуральних чисел, що задовольняють an+12=1+(n+2021)ana_{n+1}^2 = 1 + (n + 2021)a_n для всіх n≥1n \ge 1.
10–11 класиМетод затискання між сусідніми зн…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2021-030

Розбиття чисел з відрізка на частини з близькими сумами

Джон має смужку паперу, де в ряд написано nn дійсних чисел ai∈[0,1]a_i \in [0, 1], для всіх i∈{1,…,n}i \in \{1, \dots, n\}. Доведіть, що для будь-якого заданого k<nk < n він може розрізати смужку паперу на kk частин, між сусідніми числами, так, щоб суми чисел на кожній частині відрізнялися одна від одної не більше ніж на 1.
10–11 класиНапівінваріанти
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2021-005

Обміни горішків-сусідів у ямках навколо дерева

Івасик і Телесик зібрали на зиму 20212021 горішок. Івасик пронумерував горішки числами від 11 до 20212021 та вирив 20212021 ямку навколо їхнього улюбленого дерева. Наступного ранку він побачив, що Телесик поклав у кожну ямку по одному горішку, геть не турбуючись про порядок горішків. Івасик засмутився та вирішив упорядкувати горішки через таку послідовність з 20212021 дії: протягом kk-ї дії він міняє місцями горішки, що є сусідніми з горішком за номером kk. Доведіть, що знайдеться таке kk, коли впродовж kk-ї дії помінялися місцями горішки з номерами aa і bb, де a<k<ba < k < b.
10–11 класиПарність і непарність
Міжнародна Жаутиковська олімпіада (IZhO)IZHO-2021-003

Таблиця n × n з невід’ємними туровими сумами

Задано натуральне число n⩾2n \geqslant 2. В Елвіна є таблиця розміром n×nn \times n, що заповнена дійсними числами (у кожній клітинці рівно одне число). Назвемо туровою множину з nn клітинок, що розташовані в nn різних рядках та в nn різних стовпцях. Припустимо, що сума чисел у клітинках довільної турової множини невід’ємна. За один хід Елвін вибирає рядок і стовпець, а також дійсне число aa. Далі він додає до кожного числа у вибраному рядку число aa, віднімає від кожного числа вибраного стовпця число aa (тобто число, що розташоване на перетині рядка та стовпця, не змінюється). Доведіть, що за скінченну кількість ходів Елвін може досягти того, щоб усі числа в таблиці стали невід’ємними.
10–11 класиДвочасткові графи
Міжнародна Жаутиковська олімпіада (IZhO)IZHO-2021-005

Гра з 99 стільцями по колу і найбільше k

На вечірку прийшли 9999 гостей. Двоє ведучих — Ганна та Боб, що не входять до складу гостей, грають у таку гру. По колу розставлено 9999 стільців, і спочатку гості ходять навколо них. Ганна та Боб роблять ходи по черзі, кожним ходом ведучий вибирає гостя, що стоїть, і вказує йому на вільний стілець cc, на який той має сісти. Якщо при цьому принаймні один зі стільців, що є сусіднім до стільця cc, зайнятий, то гість, котрий на ньому сидить, має підвестися. Якщо зайнято обидва стільці, то ведучий вибирає одного з двох гостей, хто має підвестися. Ганна, яка розпочинає гру першою, прагне, щоб після її деякого ходу були зайнятими принаймні kk стільців. При якому найбільшому значенні kk, незалежно від того, як гратиме Боб, вона зможе цього досягти?
10–11 класиНапівінваріанти

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.