Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

644 задачі
Теорія чиселМетод математичної індукції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-024

Ітеративне розширення трикутника й межа площі

Весью — фермерка, і вона будує пасовище для цао (родича корови). Вона починає з трикутника A0A1A2A_{0} A_{1} A_{2}, у якому кут A0A_{0} становить 90∘90^{\circ}, кут A1A_{1} становить 60∘60^{\circ}, а A0A1A_{0} A_{1} дорівнює 11. Далі вона розширює пасовище. Спочатку вона продовжує A2A0A_{2} A_{0} до A3A_{3} так, щоб A3A0=12A2A0A_{3} A_{0} = \frac{1}{2} A_{2} A_{0}, і новим пасовищем стає трикутник A1A2A3A_{1} A_{2} A_{3}. Потім вона продовжує A3A1A_{3} A_{1} до A4A_{4} так, щоб A4A1=16A3A1A_{4} A_{1} = \frac{1}{6} A_{3} A_{1}. Вона продовжує далі, щоразу продовжуючи AnAn−2A_{n} A_{n-2} до An+1A_{n+1} так, щоб An+1An−2=12n−2AnAn−2A_{n+1} A_{n-2} = \frac{1}{2^{n} - 2} A_{n} A_{n-2}. Яке найменше KK таке, що її пасовище ніколи не перевищить площу KK?
10–11 класиВідношення площ трикутників
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-040

Послідовність зі зміною основи і додаванням двійки

Визначимо послідовність натуральних чисел {an}\{a_n\} так. Нехай a1=1a_1=1, a2=3a_2=3, а для кожного n>2n>2 нехай ana_n — результат такої процедури: запишемо an−1a_{n-1} у системі числення з основою n−1n-1, потім прочитаємо одержаний запис як число в системі числення з основою nn, потім додамо 22 (у системі з основою nn). Наприклад, a2=310=112a_2=3_{10}=11_2, тому a3=113+23=610a_3=11_3+2_3=6_{10}. Запишіть a2013a_{2013} у десятковій системі числення.
10–11 класиСистеми числення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-047

Оптимальне вгадування із заданою кількістю

Шеррі та Вел грають у гру. У Шеррі є колода, що містить 20112011 червоних карток і 20122012 чорних карток, перетасованих випадковим чином. Шеррі відкриває ці картки по одній, і перед тим, як вона відкриє кожну картку, Вел вгадує, червона вона чи чорна. Якщо Вел вгадує правильно, вона виграє 11 долар; інакше вона втрачає 11 долар. Крім того, Вел має назвати червоний колір рівно 20112011 разів. Якщо Вел грає оптимально, чому дорівнює її очікуваний виграш у цій грі?
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Відбіркові тести на IMOTST-2013-012

Ітероване перетворення трійки через суму-різницю

Дано трійку різних натуральних чисел (a,b,c)(a, b, c), для яких a+b+c=2013a+b+c=2013. Крок полягає в заміні трійки (x,y,z)(x, y, z) на трійку (y+z−x,z+x−y,x+y−z)(y+z-x, z+x-y, x+y-z). Доведіть, що, починаючи з трійки (a,b,c)(a, b, c), після 10 кроків дістанемо трійку, яка містить принаймні одне від’ємне число.
10–11 класиІнші інваріанти3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2013-043

Непарність частки суми степенів

Доведіть, що частка 11+33+55+⋯+(22012−1)(22012−1)22012\frac{1^1 + 3^3 + 5^5 + \dots + (2^{2012} - 1)^{(2^{2012} - 1)}}{2^{2012}} є непарним цілим числом.
10–11 класиМетод математичної індукції
Італійська математична олімпіадаITAMO-2013-003

Збалансоване розфарбування послідовних цілих чисел

Кожне ціле число пофарбовано в один із двох кольорів — червоний або синій. Відомо, що для кожної скінченної множини AA послідовних цілих чисел абсолютне значення різниці між кількістю червоних цілих чисел і кількістю синіх цілих чисел у множині AA не перевищує 1000. Доведіть, що існує множина з 2000 послідовних цілих чисел, серед яких рівно 1000 червоних чисел і 1000 синіх чисел.
10–11 класиПарність та непарність
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-004

Зростаюча послідовність із квадратними середніми

Нехай nn — ціле число, не менше за 22. Знайдіть найменше натуральне число mm, для якого існує послідовність a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n натуральних чисел, що задовольняє такі дві умови: a1<a2<⋯<an=ma_1 < a_2 < \dots < a_n = m. Усі n−1n-1 чисел a12+a222,…,an−12+an22\frac{a_1^2 + a_2^2}{2}, \dots, \frac{a_{n-1}^2 + a_n^2}{2} є повними квадратами.
10–11 класиМетод затискання між сусідніми зн…
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2013-003

Тотожність для множин інверсій перестановки

Нехай f:{1,2,…,n}→{1,2,…,n}f : \{1, 2, \dots, n\} \to \{1, 2, \dots, n\} — взаємно однозначна відповідність для деякого натурального числа nn. Визначимо чотири множини AA, BB, CC, DD так: A={i∣i>f(i)}A = \{i \mid i > f(i)\} B={(i,j)∣i<j≤f(j)<f(i) або f(j)<f(i)<i<j}B = \{(i, j) \mid i < j \le f(j) < f(i) \text{ або } f(j) < f(i) < i < j\} C={(i,j)∣i<j≤f(i)<f(j) або f(i)<f(j)<i<j}C = \{(i, j) \mid i < j \le f(i) < f(j) \text{ або } f(i) < f(j) < i < j\} D={(i,j)∣i<j і f(i)>f(j)}D = \{(i, j) \mid i < j \text{ і } f(i) > f(j)\} Доведіть, що ∣A∣+2∣B∣+∣C∣=∣D∣|A| + 2|B| + |C| = |D|, де ∣X∣|X| — кількість усіх елементів множини XX.
10–11 класиПерестановки
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-025

Квадрат суми цифр і його оцінки

Сержіу попросив Івана задумати натуральне число. Потім попросив Івана обчислити суму його цифр і, нарешті, піднести результат до квадрата. Не називаючи число, яке задумав спочатку, Іван повідомив, що як остаточний результат отримав xx. Покажіть Сержіу, як дійти таких висновків: a) Якщо Іван задумав число з 3 або менше цифр, то xx буде менше ніж 730. b) Якщо Іван задумав число з 4 цифр, то xx буде менше ніж число, яке задумав Іван. c) Якщо Іван задумав число з 5 або більше цифр, то xx буде менше ніж число, яке задумав Іван. Після цього Сержіу зробив таке: розглянув число xx, яке назвав Іван, обчислив суму його цифр і підніс результат до квадрата. Коли Сержіу повідомив Івану число, яке отримав, Іван здивовано сказав, що саме це число він і задумав. d) Знайдіть усі можливі значення числа, яке задумав Іван.
10–11 класиМетод математичної індукції
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2012-004

Сортування вставленням томів на своє місце

На полиці стоїть nn томів, позначених числами від 11 до nn у деякому порядку. Бібліотекар хоче поставити їх у правильному порядку в такий спосіб. Бібліотекар вибирає том, що стоїть занадто праворуч, скажімо, том з номером kk, виймає його і вставляє так, щоб він опинився на kk-му місці. Наприклад, якщо на полиці томи стоять у порядку 11, 33, 22, 44, бібліотекар може взяти том 22 і поставити його на друге місце. Тоді книги стоятимуть у правильному порядку 11, 22, 33, 44. a. Доведіть, що якщо повторювати цей процес, то, хоч би як бібліотекар робив вибір, усі томи зрештою опиняться у правильному порядку. b. Яка найбільша кількість кроків може знадобитися для цього процесу?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2012-014

Нерівність зі степенями та лінійними членами

Нехай aa — дійсне число, 0≤a≤10 \le a \le 1. Доведіть, що для будь-якого невід'ємного цілого числа nn виконується нерівність (n+1)a≤n+an+1(n+1)a \le n + a^{n+1}.
10–11 класиНерівність Коші3 розв’язки
Французька математична олімпіадаFRMO-2012-012

Єгипетський дріб зі 100 доданками

Знайдіть сто різних натуральних чисел n1,…,n100n_{1}, \ldots, n_{100} таких, що 1=1n1+1n2+⋯+1n1001=\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}+\cdots+\frac{1}{n_{100}}
8–10 класиМетод математичної індукції
Французька математична олімпіадаFRMO-2012-014

Незалежна множина в орієнтованому графі

Кожен із 400 депутатів парламенту дав ляпаса рівно одному іншому депутату. Доведіть, що можна створити парламентську комісію зі 134 депутатів так, щоб жоден член комісії не дав ляпаса жодному іншому її члену.
9–11 класиМетод математичної індукції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-002

Рекурентна послідовність із дробовим оновленням

Нехай a0,a1,a2,…a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots — послідовність дійсних чисел така, що a0=2a_{0}=2 і an+1=an1+ana_{n+1}=\frac{a_{n}}{1+a_{n}} для n≥0n \geq 0. Обчисліть a2012a_{2012}.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-109

Остання машина обирає крайнє місце

Паркувальний майданчик складається з 2012 місць для паркування, рівномірно розташованих у ряд і пронумерованих від 1 до 2012. Одне за одним 2012 автомобілів паркуються на цих місцях за такою процедурою: перший автомобіль обирає з 2012 місць рівноймовірно навмання, а кожен наступний автомобіль обирає рівноймовірно навмання серед усіх можливих варіантів, які максимізують мінімальну відстань до вже припаркованого автомобіля. Яка ймовірність того, що останній автомобіль буде змушений обрати місце 1?
10–11 класиРекурентний підрахунок
Відбіркові тести на IMOTST-2012-022

Середні пар у множині дійсних чисел

Нехай n≥6n \geq 6 — натуральне число. Розглянемо множину SS з nn різних дійсних чисел. Доведіть, що існує принаймні n−1n-1 різних двоелементних підмножин множини SS таких, що середнє арифметичне обох елементів у кожній із цих підмножин принаймні дорівнює середньому арифметичному всіх елементів множини SS.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові тести на IMOTST-2012-042

Симетричні різниці забарвлених множин

Нехай nn — натуральне число. Припустимо, що дано 2n+12^n + 1 різних множин, кожна з яких містить скінченну кількість об'єктів. Кожну множину віднесено до однієї з двох категорій — червоних множин і синіх множин — так, щоб у кожній категорії була принаймні одна множина. Визначимо симетричну різницю двох множин як множину об'єктів, що належать рівно одній з цих двох множин. Доведіть, що існує принаймні 2n2^n різних множин, які можна одержати як симетричну різницю червоної множини та синьої множини.
10–11 класиМетод математичної індукції
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-008

Квадратичне рекурентне співвідношення зі сталою послідовністю

Послідовність {xn∣n=0,1,2,…}\{x_{n} \mid n=0,1,2, \ldots\} дійсних чисел задано залежно від дійсного параметра aa так: {x0=axn+1=2−xn2 при n≥0\left\{ \begin{array}{l} x_{0}=a \\ x_{n+1}=2-x_{n}^{2} \quad \text{ при } n \geq 0 \end{array} \right. a. Знайдіть усі значення aa, для яких xnx_{n} є сталою (тобто виконується xn=ax_{n}=a для всіх nn). b. Доведіть, що для одного зі значень, знайдених у пункті (a) (позначимо його yy), якщо ∣a∣<∣y∣,∣xn∣<∣y∣|a|<|y|,\left|x_{n}\right|<|y| для всіх nn. c. Доведіть, що якщо ∣a∣>∣y∣,xn|a|>|y|, x_{n} є строго спадною.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2012-003

Підмножини чисел виду 2^x3^y з властивістю дільника

Нехай MM — множина натуральних чисел, які не діляться на жодне просте число, більше за 33. Для довільно вибраних підмножин A1,A2,A3,…A_1, A_2, A_3, \dots множини MM доведіть, що існують два різні натуральні числа ii і jj такі, що для кожного xx з множини AiA_i у множині AjA_j знайдеться дільник числа xx.
10–11 класиПринцип Діріхле (інші випадки)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-124

Вкладена бінарна операція на цілих числах

Нехай a⋆b=ab+a+ba \star b = a b + a + b для всіх цілих чисел aa та bb. Обчисліть 1⋆(2⋆(3⋆(4⋆…(99⋆100)…)))1 \star (2 \star (3 \star (4 \star \ldots (99 \star 100) \ldots))).
10–11 класиМетод математичної індукції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-101

Балансування орлів і решок у грі з монетами

У грі для одного гравця гравець починає з 4m4m чесних монет. На кожному з mm ходів гравець бере 4 невикористані монети, підкидає 3 з них випадково орлом чи решкою, а потім вибирає, чи буде 4-та монета орлом чи решкою (після цього ці чотири монети вважаються використаними). Після mm ходів, коли сторони всіх 4m4m монет визначено, якщо половина монет — орли, а половина — решки, гравець виграє; інакше гравець програє. Доведіть, що щоразу, коли гравець має обрати сторону монети, оптимальною стратегією є обрати орла, якщо решок визначено більше, ніж орлів, і обрати решку, якщо орлів визначено більше, ніж решок.
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-143

Рекурентні послідовності з кореневим рекурентним співвідношенням

Нехай {an}\{a_{n}\} і {bn}\{b_{n}\} — послідовності, задані рекурентно: a0=2;b0=2a_{0}=2 ; b_{0}=2, а an+1=an1+an2+bn2−bna_{n+1}=a_{n} \sqrt{1+a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}-b_{n}; bn+1=bn1+an2+bn2+anb_{n+1}=b_{n} \sqrt{1+a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}+a_{n}. Знайдіть трійковий запис (за основою 3) чисел a4a_{4} і b4b_{4}.
10–11 класиКомплексні числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-067

Послідовності з обмеженням на співвідношення

Знайдіть кількість послідовностей, що складаються зі 100100 літер RR і 20112011 літер SS, таких, що серед перших kk літер кількість літер SS строго більша за 2020-кратну кількість літер RR для всіх 1≤k≤21111 \leq k \leq 2111.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Відбіркові тести на IMOTST-2011-004

Розфарбування натуральних чисел з умовою на суму трьох

Усі натуральні числа пофарбовано в червоний або зелений колір так, що виконуються такі умови: - Існують як червоні, так і зелені числа. - Сума трьох (не обов'язково різних) червоних чисел є червоною. - Сума трьох (не обов'язково різних) зелених чисел є зеленою. Знайдіть усі можливі розфарбування, які задовольняють ці умови.
10–11 класиПарність та непарність
Відбіркові тести на IMOTST-2011-005

Шляхи заданої довжини у повному графі

Нехай n≥2n \geq 2 і k≥1k \geq 1 — цілі числа. У деякій країні є nn міст і між кожною парою міст є автобусне сполучення в обох напрямках. Нехай AA і BB — два різні міста. Доведіть, що кількість способів, якими можна дістатися з AA до BB, скориставшись рівно kk автобусами, дорівнює (n−1)k−(−1)kn\frac{(n-1)^{k}-(-1)^{k}}{n}
10–11 класиРекурентний підрахунок

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.