Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 352 задачі
АлгебраПослідовності і суми
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-17-18-018

Додатні числа з умовою на максимум і гострокутний трикутник

Знайдіть усі натуральні n⩾3n \geqslant 3 такі, що серед довільних nn додатних дійсних чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n, за умови max⁡(a1,a2,…,an)⩽nmin⁡(a1,a2,…,an)\max(a_1, a_2, \ldots, a_n) \leqslant n \min(a_1, a_2, \ldots, a_n), існують попарно різні індекси i,j,ki, j, k, для яких ai,aj,aka_i, a_j, a_k — сторони гострокутного трикутника.
10–11 класиЧисла Фібоначі
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-17-18-008

Послідовність з максимумом сум при великих n

Послідовність дійсних чисел a1,a2,…a_1, a_2, \ldots задовольняє умову an=−max⁡i+j=n(ai+aj)a_n = -\max\limits_{i+j=n}(a_i + a_j) при довільному n>2018n > 2018. Доведіть, що ця послідовність обмежена.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-15-16-016

Рекурентна послідовність і сума перших n членів

Послідовність (an)(a_n) додатних дійсних чисел при довільному натуральному kk задовольняє умову ak+1=kakak2+(k−1)a_{k+1}=\dfrac{ka_k}{a_k^2+(k-1)}. Доведіть, що a1+a2+…+an⩾na_1+a_2+\ldots+a_n\geqslant n для кожного натурального n⩾2n\geqslant 2.
7–9 класиСуми послідовностей
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-15-16-002

Функціональне рівняння з умовою 2ab = c² + d²

Знайдіть усі функції f:Z+→Z+f : \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{Z}^+ такі, що рівність f(a+b)=f(a)+f(b)+f(c)+f(d)f(a+b) = f(a) + f(b) + f(c) + f(d) виконується для довільних a,b,c,d∈Z+a, b, c, d \in \mathbb{Z}^+ таких, що 2ab=c2+d22ab = c^2 + d^2.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-15-16-006

Найбільша сума з 2n обмеженими змінними

Задано натуральне число nn. Знайдіть найбільше значення, якого може набувати сума ∑1⩽r<s⩽2n(s−r−n) xrxs\sum\limits_{1\leqslant r<s\leqslant 2n}(s-r-n)\,x_r x_s при −1⩽xi⩽1-1\leqslant x_i\leqslant 1 для довільного i=1,2,…,2ni = 1, 2, \ldots, 2n.
10–11 класиСуми послідовностей
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-15-16-012

Послідовності через НСД і НСК та періодичність

Припустимо, що a0a_0, a1a_1, …\ldots і b0b_0, b1b_1, …\ldots — дві послідовності натуральних чисел, що задовольняють умови a0,b0⩾2a_0, b_0 \geqslant 2 і an+1=НСД(an,bn)+1,bn+1=НСК(an,bn)−1,a_{n+1} = \text{НСД}(a_n, b_n) + 1, \quad b_{n+1} = \text{НСК}(a_n, b_n) - 1, для довільного n⩾0n \geqslant 0. Доведіть, що послідовність (an)(a_n) стає періодичною починаючи з деякого моменту; іншими словами, існують цілі числа N⩾0N \geqslant 0 і t>0t > 0 такі, що an+t=ana_{n+t} = a_n для довільного n⩾Nn \geqslant N.
10–11 класиНСД та НСК
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-002

Кускова функція та різні знаки послідовних приростів

Функція f(x):(0,1)→(0,1)f(x) : (0,1) \to (0,1) визначена таким чином: f(x)={x+12,x<12,x2,x⩾12.f(x) = \begin{cases} x + \dfrac{1}{2}, & x < \dfrac{1}{2}, \\ x^2, & x \geqslant \dfrac{1}{2}. \end{cases} Нехай aa і bb — два довільних дійсних числа таких, що 0<a<b<10 < a < b < 1. Визначимо послідовності ana_n і bnb_n таким чином: a0=aa_0 = a, b0=bb_0 = b і an=f(an−1)a_n = f(a_{n-1}), bn=f(bn−1)b_n = f(b_{n-1}) при n>0n > 0. Доведіть, що існує додатне значення nn таке, що (an−an−1)(bn−bn−1)<0(a_n - a_{n-1})(b_n - b_{n-1}) < 0.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-14-15-007

Добуток двох множин як скінченна арифметична прогресія

Нехай AA і BB — дві множини, що складаються з дійсних чисел. Припустимо, що елементи множини AB={ab:a∈A,b∈B}AB = \{ab : a \in A, b \in B\} утворюють скінченну арифметичну прогресію. Доведіть, що одна із цих множин містить не більше трьох елементів.
10–11 класиНСД та НСК
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-14-15-012

Трьохелементна арифметична прогресія у великій підмножині

Для заданого натурального nn розглянемо множину A⊂{1,2,…,n}A \subset \{1, 2, \ldots, n\}, яка складається хоча б із [n+12]\left[\dfrac{n+1}{2}\right] елементів. Доведіть, що при n⩾2015n \geqslant 2015 множина AA містить трьохелементну арифметичну послідовність.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-13-14-008

Пари многочленів з різницею дробів 1/x(x+α)

Задано дійсне число α\alpha. Знайдіть усі пари таких многочленів (P,Q)(P, Q) з дійсними коефіцієнтами, що рівність P(x)Q(x)−P(x+1)Q(x+1)=1x(x+α)\frac{P(x)}{Q(x)} - \frac{P(x+1)}{Q(x+1)} = \frac{1}{x(x+\alpha)} виконується для нескінченної кількості x∈Rx \in \mathbb{R}.
10–11 класиРаціональні функції
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-13-14-014

Відношення сусідніх членів послідовності та раціональні числа

Визначимо послідовність {an}\{a_n\} таким чином: a0=1a_0 = 1, a2n+1=ana_{2n+1} = a_n і a2n+2=an+1+ana_{2n+2} = a_{n+1} + a_n для всіх n⩾0n \geqslant 0. Доведіть, що кожне раціональне число трапляється в множині A={an−1an  |  n∈N}.A = \left\{ \frac{a_{n-1}}{a_n} \;\middle|\; n \in \mathbb{N} \right\}.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-13-14-015

Найбільші прості дільники сусідніх значень n⁴+n²+1

Доведіть, що існує нескінченна кількість натуральних nn таких, що найбільший простий дільник числа n4+n2+1n^4+n^2+1 дорівнює найбільшому простому дільнику (n+1)4+(n+1)2+1(n+1)^4+(n+1)^2+1.
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-11-12-008

Перетворення від’ємного розташування по колу в себе

Розташування по колу m⩾3m \geqslant 3 чисел −1-1 назвемо mm-від’ємним (інших чисел на колі немає). На першому кроці відмінник Андрійко вибирає одне з чисел на колі та множить його на −1-1. Далі на кожному кроці він, замість наступного за ходом годинникової стрілки числа на колі, записує його добуток з числом, записаним на попередньому кроці. Доведіть, що коли для деякого nn за kk кроків nn-від’ємне розташування перетворюється в себе, то за 2k−12^k-1 кроків (2n−1)(2^n-1)-від’ємне розташування також перетворюється в себе.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-10-11-003

n чисел між сусідніми n-ми степенями з добутком-степенем

Задано натуральне число n>2n > 2. Доведіть, що існує натуральне KK таке, що для всіх цілих k⩾Kk \geqslant K на відкритому інтервалі (kn,(k+1)n)(k^n, (k + 1)^n) існують nn різних цілих чисел, добуток яких є nn-м степенем цілого числа.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-10-11-004

Найбільша і найменша суми після замін у наборі

Нехай задано впорядкований набір (a1;a2;…;an)(a_1; a_2; \ldots; a_n) дійсних чисел, n⩾3n \geqslant 3. Дозволяється замінити число aia_i, i=2,n−1‾i = \overline{2, n - 1} на таке число ai∗a_i^*, що ai+ai∗=ai−1+ai+1a_i + a_i^* = a_{i - 1} + a_{i + 1}. Нехай (b1;b2;…;bn)(b_1; b_2; \ldots; b_n) — набір з найбільшою сумою чисел, який можна отримати з даного, а (c1;c2;…;cn)(c_1; c_2; \ldots; c_n) — аналогічний набір з найменшою сумою. Для непарного n⩾3n \geqslant 3 і набору (1;3;…;n;2;4;…;n−1)(1; 3; \ldots; n; 2; 4; \ldots; n - 1) знайдіть значення виразів b1+b2+…+bnb_1 + b_2 + \ldots + b_n і c1+c2+…+cnc_1 + c_2 + \ldots + c_n.
10–11 класиАрифметична прогресія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-07-08-012

Многочлен із біноміальними коефіцієнтами та дійсні корені

Довести, що для будь-яких натуральних m,nm, n многочлен ∑i=0mCn+in⋅xi\sum\limits_{i=0}^{m} C_{n+i}^{n} \cdot x^i має не більше одного дійсного кореня.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-05-06-004

Нерівність для обернених квадратів членів арифметичної прогресії

Нехай n∈Nn \in \mathbb{N}, n≥2n \ge 2, a1,a2,…,an,an+1a_1, a_2, \ldots, a_n, a_{n+1} — додатні дійсні числа, які задовольняють умову a2−a1=a3−a2=…=an+1−an≥0a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = \ldots = a_{n+1} - a_n \ge 0. Доведіть, що 1a22+1a32+…+1an2≤n−12⋅a1an+a2an+1a1a2anan+1.\frac{1}{a_2^2} + \frac{1}{a_3^2} + \ldots + \frac{1}{a_n^2} \le \frac{n - 1}{2} \cdot \frac{a_1 a_n + a_2 a_{n+1}}{a_1 a_2 a_n a_{n+1}}. З'ясуйте, коли в цій нерівності досягається рівність.
10–11 класиСуми послідовностей
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-05-06-011

Нерівність для членів рекурентної послідовності

Нехай {an}n=1∞\left\{a_n\right\}_{n=1}^{\infty} — така послідовність натуральних чисел, що a1=a2=1a_1 = a_2 = 1, для всіх n≥3n \ge 3 an−1<na_{n-1} < n і an=aan−1+an−an−1a_n = a_{a_{n-1}} + a_{n - a_{n-1}}. Доведіть, що a2n≤2ana_{2n} \le 2a_n для всіх натуральних nn.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-03-04-005

Трійки натуральних чисел зі степеневою рівністю

Знайдіть усі такі трійки натуральних чисел mm, nn, kk, що mk+(m+n)k=(m+2n)km^k + \left(m + n\right)^k = \left(m + 2n\right)^k.
10–11 класиФормула біном Ньютона
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-02-03-007

Найменше m для кратності (m+1)^m - 1 на n

Відомо, що для даного натурального числа nn найменшим з натуральних чисел mm, для яких число (m+1)m−1(m + 1)^m - 1 ділиться без остачі на nn, є число n−2n - 2. Доведіть, що n=2pn = 2p, де pp є простим числом.
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-00-01-003

Кількість ідеалів невід’ємних чисел для p і q

Нехай pp і qq — задані взаємно прості натуральні числа. Підмножина S⊂{0;1;2;…}S \subset \{0; 1; 2; \ldots\} називається ідеалом множини {0;1;2;…}\{0; 1; 2; \ldots\}, якщо 0∈S0 \in S та для будь-якого n∈Sn \in S числа n+pn + p та n+qn + q обидва належать SS. Для даних pp і qq знайдіть кількість ідеалів множини {0;1;2;…}\{0; 1; 2; \ldots\}.
10–11 класиВластивості біноміальних коефіціє…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2025-002

Послідовність зі спільними членами всіх центральних

Нескінченна зростаюча послідовність натуральних чисел a1<a2<a3<…a_1 < a_2 < a_3 < \ldots називається центральною, якщо для довільного натурального числа nn, середнє арифметичне перших ana_n членів послідовності дорівнює ana_n. Доведіть, що існує така нескінченна послідовність натуральних чисел b1,b2,b3,…b_1, b_2, b_3, \ldots, що для довільної центральної послідовності a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \ldots існує нескінченно багато таких натуральних чисел nn, що an=bna_n = b_n.
10–11 класиСуми послідовностей
Балтійський шляхBW-2024-005

Обмеженість послідовності з параметром λ і середнім

Знайдіть усі додатні дійсні числа λ\lambda такі, що кожна послідовність a1,a2,…a_1, a_2, \ldots додатних дійсних чисел така, що an+1=λ⋅a1+a2+…+anna_{n+1} = \lambda \cdot \frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n} для всіх n⩾20242024n \geqslant 2024^{2024}, є обмеженою.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2024-002

Порівняння кількості чудових конфігурацій

Для натурального числа nn назвемо nn-конфігурацією сім’ю множин (Ai,j)1⩽i,j⩽n(A_{i,j})_{1 \leqslant i, j \leqslant n}. Деяку nn-конфігурацію (Ai,j)1⩽i,j⩽n(A_{i,j})_{1 \leqslant i, j \leqslant n} назвемо чудовою, якщо для будь-якої пари індексів (i,j)(i, j) з 1⩽i⩽n−11 \leqslant i \leqslant n-1 та 1⩽j⩽n1 \leqslant j \leqslant n ми маємо Ai,j⊂Ai+1,jA_{i,j} \subset A_{i+1,j} і Aj,i⊂Aj,i+1A_{j,i} \subset A_{j,i+1}. Нехай f(n,k)f(n, k) — це кількість чудових nn-конфігурацій таких, що An,n⊂{1,2,…,k}A_{n,n} \subset \{1, 2, \ldots, k\}. З’ясуйте, яке із чисел є більшим: f(2024,20242)f(2024, 2024^2) чи f(20242,2024)f(2024^2, 2024).
10–11 класиБієкції
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2024-006

Трійки натуральних чисел і подільність цілої частини на p

З’ясуйте, чи існує нескінченно багато трійок (a,b,c)(a, b, c) натуральних чисел таких, що число pp ділить число ⌊(a+b2024)p⌋−c\left\lfloor (a+b\sqrt{2024})^p \right\rfloor - c для кожного простого числа pp. Примітка. Тут ⌊x⌋\lfloor x \rfloor позначає найбільше ціле число, що не перевищує xx.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.