Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

710 задач
ГеометріяЦентральні і вписані кути
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-019

Симетрія і перетин описаних кіл

Нехай ABCABC — трикутник, і нехай EE та FF — дві точки, що належать відповідно прямим (AB)(AB) та (AC)(AC), відмінні від AA, BB та CC. Нехай також Ω\Omega — описане коло трикутника ABCABC, нехай OO — центр кола Ω\Omega, а Γ\Gamma — описане коло трикутника AEFAEF. Нарешті, нехай PP — точка перетину кіл Γ\Gamma і Ω\Omega, відмінна від AA, а QQ — точка, симетрична PP відносно прямої (EF)(EF). Доведіть, що QQ належить прямій (BC)(BC) тоді й лише тоді, коли OO належить колу Γ\Gamma.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-001

Пряма Ейлера і коло через дві вершини та інцентр

Нехай ABCABC — гострокутний різносторонній трикутник з інцентром II. Доведіть, що описане коло трикутника BICBIC перетинає пряму Ейлера трикутника ABCABC у двох різних точках. (Нагадаємо, що пряма Ейлера різностороннього трикутника — це пряма, яка проходить через центр його описаного кола, центроїд, ортоцентр і центр кола дев'яти точок.)
10–11 класиПряма Ейлера
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-112

Лазерні відбиття та освітлені точки

Вілл стоїть у точці PP на краю круглої кімнати з ідеально відбивними стінами. Він світить у кімнату двома лазерними указками, які утворюють кути n∘n^{\circ} і (n+1)∘(n+1)^{\circ} з дотичною в точці PP, де nn — натуральне число, менше за 9090. Лазери відбиваються від стін, підсвічуючи точки, в які вони влучають на стінах, доки знову не досягнуть PP. (PP наприкінці також підсвічується.) Яка найменша можлива кількість підсвічених точок на стінах кімнати?
10–11 класиНСД та НСК
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-066

Рівнокутні многокутники у правильному стокутнику

Натуральне число nn називається безпомилковим, якщо можна вибрати nn вершин правильного 100-кутника так, щоб вони утворювали опуклий nn-кутник без самоперетинів з усіма рівними кутами. Знайдіть суму всіх безпомилкових чисел nn від 3 до 100 включно.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-090

Точки кола з дотичним описаним колом

Коло Γ\Gamma з центром OO має радіус 1. Розглянемо пари (A,B)(A, B) точок таких, що AA лежить усередині кола, а BB — на його межі. Описане коло Ω\Omega трикутника OABO A B перетинає Γ\Gamma ще раз у точці C≠BC \neq B, а пряма ACA C перетинає Γ\Gamma ще раз у точці X≠CX \neq C. Пару (A,B)(A, B) називають текі, якщо пряма OXO X дотикається до кола Ω\Omega. Знайдіть площу області точок AA, для яких існує точка BB, така, що (A,B)(A, B) є текі.
10–11 класиДотична кола
Відбіркові тести на IMOTST-2019-006

Центр вписаного кола і бісектриса кута

Нехай ABCABC — трикутник і нехай II — центр вписаного кола цього трикутника. Пряма через II, перпендикулярна до AIAI, перетинає описане коло △ABC\triangle ABC в точках PP і QQ, причому PP лежить з того самого боку від прямої AIAI, що й BB. Нехай SS — друга точка перетину описаних кіл △BIP\triangle BIP і △CIQ\triangle CIQ. Доведіть, що SISI є бісектрисою ∠PSQ\angle PSQ.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Відбіркові тести на IMOTST-2019-012

Перетин прямих на колі від дзеркальних образів точки

Розглянемо трикутник ABCABC і точку PP в його внутрішній області. Точки, симетричні точці PP відносно сторін BC‾\overline{BC}, CA‾\overline{CA} і AB‾\overline{AB}, позначимо через A1A_1, B1B_1 і C1C_1. Далі нехай Ω\Omega — описане коло трикутника A1B1C1A_1B_1C_1, а A2A_2, B2B_2 і C2C_2 — другі точки перетину прямих A1PA_1P, B1PB_1P і C1PC_1P з колом Ω\Omega. Доведіть, що три прямі AA2AA_2, BB2BB_2 і CC2CC_2 перетинаються на колі Ω\Omega.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Відбіркові тести на IMOTST-2019-013

Спільна точка кола та прямих у трикутнику з паралелограмом

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, OO — центр його описаного кола. Точка QQ лежить на описаному колі △BOC\triangle BOC так, що OQOQ — діаметр. Точка MM лежить на прямій CQCQ, а точка NN лежить всередині відрізка BCBC так, що ANCMANC M — паралелограм. Доведіть, що описане коло △BOC\triangle BOC та прямі AQAQ і NMNM проходять через одну точку.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Італійська математична олімпіадаITAMO-2019-007

Рівнобедрений трикутник з колом на бісектрисі

Луїджі накреслив у своєму зошиті рівнобедрений трикутник ABCABC, у якому рівні сторони, що виходять з AA, і, провівши внутрішню бісектрису кута ABC^\widehat{ABC}, яка перетинає сторону ACAC в точці PP, помітив, що коло, яке проходить через B,P,CB, P, C, проходить також через середину сторони ABAB. Тоді він замислився над тим, чому дорівнює кут BAC^\widehat{BAC}. Яка відповідь правильна? (A) 30∘30^\circ (B) 45∘45^\circ (C) 60∘60^\circ (D) 90∘90^\circ (E) 105∘105^\circ
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2019-004

Вписана трапеція з перпендикулярними діагоналями

Нехай ABCDABCD — трапеція з основами ABAB і CDCD, вписана в коло Γ\Gamma, така, що діагоналі ACAC і BDBD перпендикулярні. Нехай PP — точка перетину діагоналей ACAC і BDBD. Чому дорівнює відношення площі круга, обмеженого колом Γ\Gamma, до суми площ трикутників APBAPB і CPDCPD? (A) 1 (B) π/2\pi / 2 (C) π\pi (D) 2π2\pi (E) Даних недостатньо, щоб його визначити
9–11 класиЦентральні і вписані кути
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2019-007

Периметр об'єднання кіл у вершинах-квадратах

План замку побудовано в такий спосіб: розглянемо коло довжиною 20192019 метрів із вписаним правильним многокутником з 20192019 вершинами. Після нумерації вершин многокутника від 11 до 20192019 за годинниковою стрілкою проведемо кола довжиною 20192019 м з центрами в кожній точці, пронумерованій повним квадратом. План замку складається з об'єднання всіх накреслених кругів. Скільки метрів становить периметр замку? (A) 2692 (B) 4038 (C) 4627 (D) 293702π\frac{29370}{2 \pi} (E) 2019π2019 \pi
9–11 класиЦентральні і вписані кути
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2019-009

Позначення вершин правильного 120-кутника без трикутника з кутом 18°

Деякі з вершин правильного 120120-кутника позначено ∗*. Яка найбільша можлива кількість вершин, позначених ∗*, якщо має виконуватися така умова? Не існує рівнобедреного трикутника з кутом 18∘18^\circ при вершині, утвореного позначеними ∗* вершинами 120120-кутника.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2019-007

Шестикутник із конгруентними вписаними прямокутниками

Нехай ABCDEFABCDEF — опуклий шестикутник, що містить у своїй внутрішності точку PP таку, що PABCPABC і PDEFPDEF — конгруентні прямокутники, причому PA=BC=PD=EFPA = BC = PD = EF (а AB=PC=DE=PFAB = PC = DE = PF). Нехай ℓ\ell — пряма, що проходить через середину відрізка AFAF і центр описаного кола трикутника PCDPCD. Доведіть, що пряма ℓ\ell проходить через PP.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2019-048

Перпендикулярні хорди і діаметр кола

На наведеному малюнку хорди DEDE і BCBC перпендикулярні, причому BCBC — діаметр кола з центром у AA. Крім того, ∠CGF=40∘\angle CGF = 40^\circ і GH=2 смGH = 2\ \text{см}. a) Визначте величину кута ∠CHF\angle CHF. b) Знайдіть довжину HJHJ.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2019-002

Бісектриса кута перетинає коло на прямій AC

Нехай kk — коло з центром OO, а AA, BB і CC — три точки на колі kk такі, що ∠ABC>90∘\angle ABC > 90^{\circ}. Бісектриса кута ∠AOB\angle AOB перетинає описане коло трикутника BOCBOC вдруге в точці DD. Доведіть, що DD лежить на прямій ACAC.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2019-001

Незалежність точки D від вибору B і C

Нехай AA — точка, а kk — коло, яке проходить через AA. Нехай BB і CC — дві інші точки на колі kk. Далі нехай XX — точка перетину бісектриси кута ∠ABC\angle A B C з колом kk, а YY — точка, симетрична AA відносно XX. Нехай DD — точка перетину прямої YCY C з колом kk. Доведіть, що точка DD не залежить від вибору точок BB і CC на колі kk.
10–11 класиТеорема про тризуб4 розв’язки
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2019-006

Дотичні кола і поділ хорди навпіл

Нехай k1k_{1} — коло, а ll — пряма, яка перетинає k1k_{1} у двох різних точках AA і BB. Нехай k2k_{2} — інше коло поза колом k1k_{1}, яке дотикається до кола k1k_{1} в точці CC і до прямої ll в точці DD. Нехай TT — друга точка перетину кола k1k_{1} з прямою CDCD. Доведіть, що AT=TBAT = TB.
10–11 класиКола, що дотикаються3 розв’язки
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2019-013

Трикутник зі співвідношенням кутів і точкою всередині

Нехай ABCABC — трикутник, у якому ∠CAB=2⋅∠ABC\angle CAB = 2 \cdot \angle ABC. Припустимо, що існує точка DD всередині трикутника ABCABC така, що AD=BDAD = BD і CD=ACCD = AC. Доведіть, що ∠ACB=3⋅∠DCB\angle ACB = 3 \cdot \angle DCB.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2018-002

Хорди кола і перпендикулярність

Нехай п'ять точок на колі позначено AA, BB, CC, DD і EE за годинниковою стрілкою. Припустімо, що AE=DEA E = D E, і нехай PP — перетин прямих ACA C і BDB D. Нехай QQ — точка на прямій, що проходить через AA і BB, така, що AA лежить між BB і QQ і AQ=DPA Q = D P. Аналогічно, нехай RR — точка на прямій, що проходить через CC і DD, така, що DD лежить між CC і RR і DR=APD R = A P. Доведіть, що пряма PEP E перпендикулярна до прямої QRQ R.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-122

Вписаний чотирикутник із трикутниками рівної площі

У чотирикутнику MAREM A R E, вписаному в одиничне коло ω\omega, AMA M — діаметр кола ω\omega, а EE лежить на бісектрисі кута ∠RAM\angle R A M. Трикутники RAMR A M і REMR E M мають однакову площу. Знайдіть площу чотирикутника MAREM A R E.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-078

Вписані многокутники з цілими квадратами сторін

Назвемо многокутник нормальним, якщо його можна вписати в одиничне коло. Скільки існує попарно нерівних нормальних многокутників, у яких квадрат довжини кожної сторони є натуральним числом?
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-030

Перпендикуляр із точки перетину зовнішньої бісектриси з колом

Нехай сторони △ABC\triangle ABC мають довжини AB=5AB = 5, BC=8BC = 8 і CA=7CA = 7, а ω\omega — описане коло △ABC\triangle ABC. Нехай XX — друга точка перетину зовнішньої бісектриси кута ∠B\angle B з колом ω\omega, а YY — основа перпендикуляра, опущеного з XX на сторону BCBC. Знайдіть довжину відрізка YCYC.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-043

Точки на бісектрисі з прямим кутом

Трикутник △ABC\triangle ABC має AB=21AB = 21, BC=55BC = 55 і CA=56CA = 56. Є дві точки PP у площині △ABC\triangle ABC, для яких ∠BAP=∠CAP\angle BAP = \angle CAP і ∠BPC=90∘\angle BPC = 90^{\circ}. Знайдіть відстань між ними.
10–11 класиОсновна властивість бісектриси
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-067

Довжина дотичної з вершини трикутника

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=20AB = 20, BC=10BC = 10, CA=15CA = 15. Нехай II — інцентр трикутника ABCABC, а BIBI перетинає ACAC у точці EE, а CICI перетинає ABAB у точці FF. Припустімо, що описані кола трикутників BIFBIF і CIECIE перетинаються в точці DD, відмінній від II. Знайдіть довжину дотичної з точки AA до описаного кола трикутника DEFDEF.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2018-017

Сума кутів у трикутнику з бісектрисою і центром описаного кола

У нерівнобедреному трикутнику △ABC\triangle A B C виконується ∠BAC=60∘\angle B A C=60^{\circ}. Нехай DD — точка перетину бісектриси кута ∠BAC\angle B A C зі стороною BCB C, OO — центр описаного кола трикутника △ABC\triangle A B C, а EE — точка перетину прямої AOA O з прямою BCB C. Доведіть, що ∠AED+∠ADO=90∘\angle A E D+\angle A D O=90^{\circ}.
10–11 класиЦентральні і вписані кути

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.