Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

7 066 задач
Алгебра
Відбіркові тести на IMOTST-2014-026

Цілочисловий многочлен із сюр'єктивними значеннями

Нехай P(x)P(x) — многочлен із цілими коефіцієнтами степеня n≤10n \leq 10, для якого для кожного k∈{1,2,…,10}k \in \{1,2, \ldots, 10\} існує ціле mm таке, що P(m)=kP(m)=k. Крім того, відомо, що ∣P(10)−P(0)∣<1000|P(10)-P(0)|<1000. Доведіть, що для кожного цілого kk існує ціле mm таке, що P(m)=kP(m)=k.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Відбіркові тести на IMOTST-2014-040

Функціональне рівняння з ітераціями на добутку abc

Нехай N\mathbb{N} — множина натуральних чисел. Знайдіть усі функції f:N→Nf : \mathbb{N} \to \mathbb{N}, які задовольняють рівняння fabc−a(abc)+fabc−b(abc)+fabc−c(abc)=a+b+cf^{abc-a}(abc) + f^{abc-b}(abc) + f^{abc-c}(abc) = a + b + c для всіх a,b,c≥2a, b, c \ge 2. (Тут f1(n)=f(n)f^1(n) = f(n) і fk(n)=f(fk−1(n))f^k(n) = f(f^{k-1}(n)) для кожного цілого kk, більшого за 1.)
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)
Відбіркові тести на IMOTST-2014-043

Раціональні косинуси та множини, інваріантні відносно повороту

Нехай rr — раціональне число з проміжку [−1,1][-1, 1], і нехай θ=cos⁡−1r\theta = \cos^{-1} r. Підмножину SS площини назвемо доброю, якщо SS не змінюється при повороті на кут θ\theta навколо довільної точки з SS (як за годинниковою стрілкою, так і проти неї). Знайдіть усі значення rr, що мають таку властивість: середина відрізка з кінцями в будь-яких двох точках доброї множини також належить цій множині.
10–11 класиКомплексні числа
Італійська математична олімпіадаITAMO-2014-001

Трицифрові числа з дільником після викреслення нулів

Для кожного трицифрового натурального числа nn (отже, з першою цифрою, відмінною від нуля) розглянемо число n0n_{0}, отримане з nn викресленням усіх його цифр, що дорівнюють нулю. Наприклад, якщо n=205n=205, то n0=25n_{0}=25. Визначити кількість трицифрових чисел nn, для яких n0n_{0} є дільником числа nn, відмінним від nn.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2014-008

Двоцифрове число зі змішаною подільністю

Алессандро, Даніеле і Мануела обговорюють натуральне двоцифрове число nn. Кожен із них робить два твердження, але оскільки всі вони трохи слабкі в математиці, кожен робить одне правдиве твердження й одне хибне. Алессандро каже: «nn — парне. Крім того, воно кратне 3.»; Даніеле відповідає: «Так, nn кратне 3. Крім того, цифра одиниць числа nn дорівнює 5.»; Мануела каже нарешті: «nn кратне 5. Сума його цифр дорівнює 12.». Скільки значень може набувати nn? (A) Такого nn не існує. (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4
9–11 класиОзнаки подільності на 2, 3, …
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2014-009

Степені четвірки з обмеженими цифрами в трійковій системі

Скільки існує натуральних чисел, які є степенем 44 і записуються в системі числення з основою 33 лише цифрами 00 і 11, причому 00 вживається скільки завгодно разів (можливо, жодного), а 11 — щонайбільше двічі? (A) 44 (B) 22 (C) 11 (D) 00 (E) Нескінченно багато.
9–11 класиСистеми числення
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2014-010

Дійсні розв'язки симетричної системи

Дано систему {x+y+z=7x2+y2+z2=27xyz=5\begin{cases} x + y + z = 7 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 27 \\ xyz = 5 \end{cases} Скільки впорядкованих трійок дійсних чисел (x,y,z)(x, y, z) є її розв'язками? (A) 6 (B) 3 (C) 2 (D) 0 (E) Нескінченно багато.
9–11 класиСиметричні системи рівнянь
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2014-012

Ненульові коефіцієнти добутку многочленів

Розглянемо многочлен p(x)=(1+x31)(1+x32)(1+x33)(1+x34)(1+x35)(1+x39)p(x)=\left(1+x^{3^{1}}\right)\left(1+x^{3^{2}}\right)\left(1+x^{3^{3}}\right)\left(1+x^{3^{4}}\right)\left(1+x^{3^{5}}\right)\left(1+x^{39}\right), і розкриємо добуток, отримавши вираз вигляду a0+a1x+a2x2+…+a402x402a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots+a_{402} x^{402}, де, наприклад, a0=a402=1a_{0}=a_{402}=1. Скільки серед коефіцієнтів a0,…,a402a_{0}, \ldots, a_{402} відмінних від нуля? (A) 52 (B) 56 (C) 60 (D) 64 (E) 376
9–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2014-010

Нулі у цілій частині частки

Нехай mm — натуральне число із 10001000 цифр, усі цифри якого ненульові. Для натурального числа nn розглянемо ⌊mn⌋\left\lfloor \frac{m}{n} \right\rfloor, де для будь-якого дійсного числа rr через ⌊r⌋\lfloor r \rfloor позначаємо найбільше ціле число, що не перевищує rr. Знайдіть найбільшу можливу кількість цифр, які дорівнюють 00, у числі ⌊mn⌋\left\lfloor \frac{m}{n} \right\rfloor, де 1≤n≤m1 \le n \le m.
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2014-001

Нерівність із симетричними сумами та кубами

Нехай xx, yy, zz — додатні дійсні числа, які задовольняють x+y+z=1x + y + z = 1. Доведіть, що (1+xy+yz+zx)(1+3x3+3y3+3z3)9(x+y)(y+z)(z+x)≥(x1+x3+9x24+y1+y3+9y24+z1+z3+9z24)2\frac{(1 + xy + yz + zx)(1 + 3x^3 + 3y^3 + 3z^3)}{9(x + y)(y + z)(z + x)} \ge \left( \frac{x\sqrt{1+x}}{\sqrt[4]{3+9x^2}} + \frac{y\sqrt{1+y}}{\sqrt[4]{3+9y^2}} + \frac{z\sqrt{1+z}}{\sqrt[4]{3+9z^2}} \right)^2
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2014-001

Найменший добуток зсунутих квадратів дійсних коренів

Нехай aa, bb, cc, dd — дійсні числа, для яких b−d≥5b - d \ge 5 і всі корені x1x_1, x2x_2, x3x_3, x4x_4 многочлена P(x)=x4+ax3+bx2+cx+dP(x) = x^4 + a x^3 + b x^2 + c x + d є дійсними. Знайдіть найменше значення, яке може набувати добуток (x12+1)(x22+1)(x32+1)(x42+1)(x_1^2 + 1)(x_2^2 + 1)(x_3^2 + 1)(x_4^2 + 1).
10–11 класиТеорема Вієта2 розв’язки
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2014-002

Колінеарні точки з умовою на суму індексів

Доведіть, що існує нескінченна множина точок …,P−3,P−2,P−1,P0,P1,P2,P3,…\dots, P_{-3}, P_{-2}, P_{-1}, P_0, P_1, P_2, P_3, \dots на площині з такою властивістю: для будь-яких трьох різних цілих чисел a,ba, b і cc точки Pa,PbP_a, P_b і PcP_c лежать на одній прямій тоді і лише тоді, коли a+b+c=2014a + b + c = 2014.
10–11 класиМетод координат2 розв’язки
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2014-005

Нижня оцінка для ґратки без взаємно простих пар

Доведіть, що існує стала c>0c > 0 з такою властивістю: якщо a,b,na, b, n — натуральні числа такі, що НСД(a+i,b+j)>1\text{НСД}(a + i, b + j) > 1 для всіх i,j∈{0,1,…,n}i, j \in \{0, 1, \dots, n\}, то min⁡{a,b}>cn⋅nn2.\min\{a, b\} > c^n \cdot n^{\frac{n}{2}}.
10–11 класиЧислові нерівності
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2013-001

Многочлен зі сталою різницею зі зсувом аргументу

Знайдіть усі многочлени P(x)P(x) з дійсними коефіцієнтами такі, що (x+1)P(x−1)−(x−1)P(x)(x + 1)P(x - 1) - (x - 1)P(x) є сталим многочленом.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…2 розв’язки
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2013-004

Сума виразів з мінімумом і параметром

Нехай nn — натуральне число. Для будь-якого натурального числа jj і додатного дійсного числа rr визначимо fj(r)f_j(r) і gj(r)g_j(r) як fj(r)=min⁡(jr,n)+min⁡(jr,n),іgj(r)=min⁡(⌈jr⌉,n)+min⁡(⌈jr⌉,n),f_j(r) = \min(jr, n) + \min\left(\frac{j}{r}, n\right), \quad \text{і} \quad g_j(r) = \min(\lceil jr \rceil, n) + \min\left(\left\lceil \frac{j}{r} \right\rceil, n\right), де ⌈x⌉\lceil x \rceil позначає найменше ціле число, не менше за xx. Доведіть, що ∑j=1nfj(r)≤n2+n≤∑j=1ngj(r)\sum_{j=1}^{n} f_j(r) \le n^2 + n \le \sum_{j=1}^{n} g_j(r) для всіх додатних дійсних чисел rr.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2013-005

Суми з мінімумами та верхніми цілими частинами

Нехай nn — натуральне число. Для будь-якого натурального числа jj і додатного дійсного числа rr визначимо fj(r)=min⁡(jr,n)+min⁡(jr,n),іgj(r)=min⁡(⌈jr⌉,n)+min⁡(⌈jr⌉,n),f_{j}(r)=\min (j r, n)+\min \left(\frac{j}{r}, n\right), \quad \text{і} \quad g_{j}(r)=\min (\lceil j r\rceil, n)+\min \left(\left\lceil\frac{j}{r}\right\rceil, n\right), де ⌈x⌉\lceil x\rceil позначає найменше ціле число, не менше за xx. Доведіть, що ∑j=1nfj(r)≤n2+n≤∑j=1ngj(r)\sum_{j=1}^{n} f_{j}(r) \leq n^{2}+n \leq \sum_{j=1}^{n} g_{j}(r)
10–11 класиЦіла та дробова частини числа2 розв’язки
Естонська математична олімпіадаESTMO-2013-003

Спізнення потяга та підвищена швидкість

Потяг вирушив зі станції на 12 хвилин пізніше від запланованого. Якби потяг їхав без зупинок і рухався із середньою швидкістю, що дорівнює середній швидкості руху між зупинками за розкладом, то він прибув би до пункту призначення точно вчасно. Але якби потяг зупинявся на кожній станції стільки ж часу, скільки було передбачено, то, щоб прибути до пункту призначення вчасно, між станціями він мав би рухатися із середньою швидкістю на 40% вищою, ніж раніше. Знайдіть час руху потяга за розкладом.
9 класЛінійні рівняння та системи
Естонська математична олімпіадаESTMO-2013-009

Сума цілих частин для послідовних чисел

Нехай aa і nn — натуральні числа. Доведіть, що ⌊an⌋+⌊a+1n⌋+⋯+⌊a+n−1n⌋=a.\lfloor \frac{a}{n} \rfloor + \lfloor \frac{a+1}{n} \rfloor + \dots + \lfloor \frac{a+n-1}{n} \rfloor = a.
10 класЦіла та дробова частини числа2 розв’язки
Естонська математична олімпіадаESTMO-2013-010

Нерівність для чисел з добутком 1

Нехай aa, bb і cc — дійсні числа, для яких abc=1abc = 1. Доведіть, що 11+a2014+11+b2014+11+c2014>1.\frac{1}{1+a^{2014}} + \frac{1}{1+b^{2014}} + \frac{1}{1+c^{2014}} > 1.
10 класЧислові нерівності3 розв’язки
Естонська математична олімпіадаESTMO-2013-013

Десятковий дріб, продовжений за сумою цифр за модулем 10

Нехай дано скінченний десятковий дріб. Юку починає дописувати до цього дробу цифри так, що кожна нова цифра дорівнює остачі від ділення суми всіх цифр, наявних на цей момент, на 1010. (Наприклад, якщо початковий дріб дорівнює 27.3527.35, то в кінець дописуються цифри 77, 44, 88 тощо.) Доведіть, що нескінченний десятковий дріб, одержаний таким чином, зображує раціональне число.
11 класПеріодичні і неперіодичні послідо…
Естонська математична олімпіадаESTMO-2013-021

Максимізація добутку попарних різниць

Дійсні числа x1x_1, x2x_2, x3x_3, x4x_4 з [0;1][0; 1] такі, що добуток K=∣x1−x2∣⋅∣x1−x3∣⋅∣x1−x4∣⋅∣x2−x3∣⋅∣x2−x4∣⋅∣x3−x4∣K = |x_1 - x_2| \cdot |x_1 - x_3| \cdot |x_1 - x_4| \cdot |x_2 - x_3| \cdot |x_2 - x_4| \cdot |x_3 - x_4| є найбільшим можливим. Доведіть, що 127>K>4243\frac{1}{27} > K > \frac{4}{243}.
11 класНерівність Коші2 розв’язки
Естонська математична олімпіадаESTMO-2013-025

Система із синусом і симетрією

Знайдіть усі пари дійсних чисел (x,y)(x, y), які задовольняють {x+sin⁡x=y,y+sin⁡y=x.\begin{cases} x + \sin x = y, \\ y + \sin y = x. \end{cases}
11 класВластивості монотонності або обме…2 розв’язки
Естонська математична олімпіадаESTMO-2013-026

Сума радіусів описаних кіл трикутників з інцентром

Нехай II — інцентр трикутника ABCABC. Нехай RAR_A, RBR_B і RCR_C — радіуси описаних кіл трикутників BICBIC, CIACIA і AIBAIB відповідно, а RR — радіус описаного кола трикутника ABCABC. Доведіть, що RA+RB+RC≤3RR_A + R_B + R_C \le 3R.
11 класІнші класичні нерівності
Естонська математична олімпіадаESTMO-2013-027

Експоненційна послідовність із подвоєнням кількостей

На дошку один раз записано натуральне число nn, потім число n−1n-1 записано на дошку двічі і т. д.; на кожному кроці число, менше за попереднє на 11, записують удвічі більше разів, ніж попереднє число. Після досягнення нулів цей процес зупиняють. Доведіть, що наприкінці сума чисел на дошці менша за 2n+12^{n+1}.
11 класГеометрична прогресія
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2013-003

Квадратне рівняння з цілими коренями та подільними коефіцієнтами

Учитель називає Юрі два ненульові цілі числа aa і bb такі, що bb ділиться на aa. Юрі має знайти ненульове ціле число cc таке, що cc ділиться на bb і всі розв'язки квадратного рівняння ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 є цілими числами. Чи зможе Юрі завжди розв'язати задачу?
8–10 класиКвадратні рівняння та системи

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.