Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

6 505 задач
Теорія чисел
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2011-013

Суми підмножин, вільні від квадратів

Емералд записала список натуральних чисел. Ренан помітив, що кожне число зі списку та будь-яка сума будь-якої кількості різних чисел зі списку є вільними від квадратів (тобто не діляться на жодний повний квадрат, крім, звичайно, 1). Яка найбільша можлива кількість чисел у списку Емералд?
8–9 класиМіркування за модулем
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2011-004

Послідовність з НСД, що дорівнює різниці

Чи існують 20112011 натуральних чисел a1<a2<⋯<a2011a_1 < a_2 < \dots < a_{2011} таких, що НСД(ai,aj)=aj−ai\text{НСД}(a_i, a_j) = a_j - a_i для будь-яких i,ji, j таких, що 1≤i<j≤20111 \le i < j \le 2011?
10–11 класиНСД та НСК
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2011-010

Суми в таблиці 3×3 за модулем 3

Емералд записує цілі числа від 11 до 99 у таблицю 3×33 \times 3, по одному числу в кожній клітинці, кожне число трапляється рівно один раз. Потім вона обчислює вісім сум: суми трьох чисел у кожному рядку, суми трьох чисел у кожному стовпці та суми трьох чисел на обох діагоналях. a. Наведіть таблицю, у якій рівно три з восьми сум кратні 33. b. Чи можливо, щоб жодна з восьми сум не була кратною 33?
6–7 класиАрифметика остач (базові властиво…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2011-015

Розбиття цифр і добуткова рівність

Для кожного натурального числа NN з 2k2k цифр нехай непарне(N)\text{непарне}(N) — це kk-цифрове число, утворене записом цифр числа NN, що стоять на непарних позиціях, а парне(N)\text{парне}(N) — це kk-цифрове число, утворене записом цифр числа NN, що стоять на парних позиціях (позиції нумеруються справа наліво, починаючи з цифри одиниць). Наприклад, непарне(249035)=405\text{непарне}(249035) = 405 і парне(249035)=293\text{парне}(249035) = 293. Доведіть, що не існує натурального числа NN з 2k2k цифр такого, що N=непарне(N)⋅парне(N)N = \text{непарне}(N) \cdot \text{парне}(N).
8–9 класиМетод математичної індукції
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2011-001

Солітерне перетворення на вершинах п'ятикутника

Кожній вершині правильного п'ятикутника приписано ціле число так, що сума п'яти чисел дорівнює 20112011. Хід пасьянсу полягає у відніманні цілого числа mm від чисел у двох сусідніх вершинах і додаванні 2m2m до протилежної вершини, яка не є сусідньою з жодною з перших двох вершин. (Величина mm і вибрані вершини можуть змінюватися від ходу до ходу.) Кажуть, що гру виграно у певній вершині, якщо після деякої кількості ходів ця вершина має число 20112011, а інші чотири вершини мають число 00. Доведіть, що для будь-якого вибору початкових цілих чисел існує рівно одна вершина, в якій гру можна виграти.
10–11 класиОстача від ділення
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2011-003

Остача від ділення 2^{2n} на 2^n - 1

Розглянемо твердження про те, що для кожного натурального числа n≥2n \ge 2 остача від ділення 22n2^{2n} на 2n−12^n - 1 є степенем числа 4. Або доведіть твердження, або знайдіть (з доведенням) контрприклад.
10–11 класиОстачі від великих степенів
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2010-002

Обгони ковзанярів з різними швидкостями

Троє ковзанярів влаштували дружні «перегони» на овальній ковзанці. Усі вони стартують з однієї точки й рухаються в одному напрямку, але з різними швидкостями, яких дотримуються протягом усієї гонки. Найповільніший ковзаняр робить 11 коло за хвилину, найшвидший — 3.143.14 кола за хвилину, а середній — LL кола за хвилину для деякого 1<L<3.141 < L < 3.14. Гонка завершується в момент, коли всі троє ковзанярів знову опиняються разом в одній точці овалу (яка може відрізнятися від стартової точки). Знайдіть, скільки існує різних варіантів вибору LL, за яких до кінця гонки відбувається рівно 117117 обгонів. (Обгоном вважається момент, коли один ковзаняр обганяє іншого. Початок і кінець гонки, коли всі троє ковзанярів разом, обгонами не вважаються.)
10–11 класиФункція Ейлера φ(n)2 розв’язки
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2010-003

Перемикання кольорів вершин графа

Кожну вершину скінченного графа можна пофарбувати або в чорний, або в білий колір. Спочатку всі вершини чорні. Дозволено вибрати вершину PP і змінити колір вершини PP та всіх її сусідів. Чи можна послідовністю операцій такого типу змінити колір кожної вершини з чорного на білий?
10–11 класиМетод математичної індукції
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2010-004

Цілі значення многочленів на факторіальній послідовності

Нехай P(x)P(x) і Q(x)Q(x) — многочлени з цілими коефіцієнтами. Нехай an=n!+na_n = n! + n. Доведіть, що якщо P(an)/Q(an)P(a_n)/Q(a_n) є цілим числом для кожного nn, то P(n)/Q(n)P(n)/Q(n) є цілим числом для кожного цілого nn, такого, що Q(n)≠0Q(n) \neq 0.
10–11 класиДілення многочленів з остачею
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2010-001

Строго зростаюча послідовність натуральних чисел з нерівністю на суми

Розгляньмо послідовності натуральних чисел a1,a2,a3,…a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots. Знайдіть найменше можливе значення a2010a_{2010}, якщо відомо, що: (i) an<an+1a_{n}<a_{n+1} для всіх n≥1n \geq 1, (ii) ai+al>aj+aka_{i}+a_{l}>a_{j}+a_{k} для всіх четвірок (i,j,k,l)(i, j, k, l) таких, що 1≤i<j≤k<l1 \leq i<j \leq k<l.
10–11 класиМетод математичної індукції
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2010-004

Квадратичний многочлен із послідовними нулями

Многочлен A(x)=x2+ax+bA(x)=x^{2}+a x+b з цілими коефіцієнтами має властивість, що для кожного простого числа pp існує ціле число kk таке, що A(k)A(k) і A(k+1)A(k+1) обидва діляться на pp. Доведіть, що існує ціле число mm таке, що A(m)=A(m+1)=0A(m)=A(m+1)=0.
10–11 класиМіркування за модулем
Естонська математична олімпіадаESTMO-2010-010

Сума степенів, що дає повний квадрат

Знайдіть усі натуральні числа nn такі, що 1+22+33+4n1 + 2^2 + 3^3 + 4^n є повним квадратом.
8–10 класиМетод затискання між сусідніми зн…3 розв’язки
Естонська математична олімпіадаESTMO-2010-033

Найменше значення добутку за умов подільності

Нехай aa, bb і cc — натуральні числа такі, що abab ділиться на 2c2c, bcbc ділиться на 3a3a і caca ділиться на 5b5b. Знайдіть найменше можливе значення abcabc.
9 класДільники та кратні (базові власти…
Естонська математична олімпіадаESTMO-2010-012

Схильні до простих числа з викресленням останньої цифри

Назвемо натуральне число nn схильним до простих, якщо існує щонайменше три прості числа, з яких можна отримати nn викресленням останньої цифри. Доведіть, що будь-які два схильні до простих натуральні числа відрізняються одне від одного щонайменше на 33. (Молодша ліга.)
8–10 класиМіркування за модулем
Естонська математична олімпіадаESTMO-2010-015

Прості числа-близнюки в кубічній послідовності

Чи існує таке просте число pp, що обидва числа p3+2008p^3 + 2008 і p3+2010p^3 + 2010 також є простими?
10–11 класиМіркування за модулем
Естонська математична олімпіадаESTMO-2010-022

Повні квадрати з квадратичної умови

Нехай xx, yy і zz — натуральні числа, для яких НСД(x,y,z)=1\text{НСД}(x, y, z) = 1. Доведіть, що якщо (y2−x2)−(z2−y2)=((y−x)−(z−y))2(y^2 - x^2) - (z^2 - y^2) = ((y - x) - (z - y))^2, то xx і zz є повними квадратами.
11 класОсновна теорема арифметики
Естонська математична олімпіадаESTMO-2010-007

Знакова сума з обмеженими доданками

Нехай n≥2n \ge 2. Дано натуральні числа a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n з парною сумою, які задовольняють ai≤ia_i \le i для кожного i=1,2,…,ni = 1, 2, \dots, n. Доведіть, що можна вибрати знаки у виразі a1±a2±⋯±ana_1 \pm a_2 \pm \dots \pm a_n так, щоб його значення стало 00. (Старша ліга.)
10–11 класиМетод математичної індукції3 розв’язки
Естонська математична олімпіадаESTMO-2010-018

Чисті числа у послідовності за парністю

Назвемо чистим будь-яке натуральне число nn, яке не трапляється в жодній цілочисельній послідовності c0,c1,c2,…c_0, c_1, c_2, \dots, де 0<c0<n0 < c_0 < n і ci={12ci−1якщо ci−1 парне,3ci−1−1якщо ci−1 непарне,c_i = \begin{cases} \frac{1}{2}c_{i-1} & \text{якщо } c_{i-1} \text{ парне,} \\ 3c_{i-1} - 1 & \text{якщо } c_{i-1} \text{ непарне,} \end{cases} для кожного i≥1i \ge 1. (Наприклад, 1010 не є чистим, оскільки воно трапляється в послідовності 5,14,7,20,10,…5, 14, 7, 20, 10, \ldots...) a) Чи є кожне додатне кратне числа 33 чистим? b) Доведіть, що якщо ціле число n>1n > 1 є чистим, але не ділиться на 33, то n+1n + 1 ділиться на 66. (Старша ліга.)
10–11 класиМіркування за модулем
Естонська математична олімпіадаESTMO-2010-024

Подільність у рекурентно заданій послідовності

Послідовність (an)(a_n) задано умовами a1=1a_1 = 1 і an=n⋅(a1+⋯+an−1)a_n = n \cdot (a_1 + \dots + a_{n-1}) для всіх n>1n > 1. Знайдіть усі індекси nn, для яких ana_n ділиться на 1⋅2⋅⋯⋅n1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n. (12 клас.)
11 класСуми послідовностей
Естонська математична олімпіадаESTMO-2010-031

Рух трамваїв з періодичними проміжками

У координатному місті є n≥3n \ge 3 трамвайних ліній, паралельних до осі xx, таких, що кожна лінія починається в точці з координатою xx, що дорівнює 00, і закінчується в точці з координатою xx, що дорівнює nn. На кожній лінії рухається рівно один трамвай довжини 11: на першій лінії зі швидкістю 11, на другій лінії зі швидкістю 22 і т. д., аж до останньої лінії зі швидкістю nn. Коли трамвай досягає кінця своєї лінії, він миттєво починає рухатися назад, не розвертаючись. Вранці всі трамваї починають рух одночасно зі стартового положення, в якому координата xx заднього кінця трамвая дорівнює 00. Доведіть, що проєкції трамваїв на вісь xx ніколи не покривають цілком проміжок від 00 до nn.
11 класОстача від ділення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-093

Виграшна стратегія в грі з відніманням дільника

Розглянемо таку гру для двох гравців. Гравець 1 починає з числа NN. Він віднімає власний дільник числа NN від NN і передає результат гравцеві 2 (власний дільник числа NN — це додатний дільник числа NN, який не дорівнює 1 або NN). Гравець 2 робить те саме з числом, отриманим від гравця 1, і повертає результат гравцеві 1. Двоє гравців продовжують, доки одному з гравців не дістанеться просте число або 1, і в цей момент цей гравець програє. Для яких значень NN гравець 1 має виграшну стратегію?
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-128

Нулі послідовності зваженої суми

Нехай S0=0S_{0}=0, а SkS_{k} дорівнює a1+2a2+…+kaka_{1}+2 a_{2}+\ldots+k a_{k} для k≥1k \geq 1. Означимо aia_{i} рівним 1, якщо Si−1<iS_{i-1}<i, і рівним -1, якщо Si−1≥iS_{i-1} \geq i. Знайдіть найбільше k≤2010k \leq 2010, для якого Sk=0S_{k}=0?
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-094

48-добрий повний квадрат

Назвемо натуральне число в записі з основою 1010 kk-добрим, якщо його можна розбити на два цілі числа yy і zz, так що yy — це всі цифри ліворуч, а zz — усі цифри праворуч, і при цьому y=k⋅zy = k \cdot z. Наприклад, 20102010 є 22-добрим, бо його можна розбити на 2020 і 1010, причому 20=2⋅1020 = 2 \cdot 10. Число 2001020010 також є 22-добрим, бо його можна розбити на 2020 і 010010. Крім того, воно є 2020-добрим, бо його можна розбити на 200200 і 1010. Доведіть, що існує 4848-добрий повний квадрат.
10–11 класиТеорема Ейлера
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-082

Зважені суми послідовності, що сягають нуля

Нехай S0=0S_{0}=0 і нехай SkS_{k} дорівнює a1+2a2+…+kaka_{1}+2 a_{2}+\ldots+k a_{k} при k≥1k \geq 1. Визначимо aia_{i} як 1, якщо Si−1<iS_{i-1}<i, і -1, якщо Si−1≥iS_{i-1} \geq i. Яке найбільше k≤2010k \leq 2010, для якого Sk=0S_{k}=0?
10–11 класиМетод математичної індукції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-145

Кількість способів заплатити купюрами 2, 5 і 10

Джону потрібно заплатити 2010 доларів за вечерю. Він має необмежений запас купюр номіналом 2, 5 і 10 доларів. Скількома способами він може заплатити?
10–11 класиКомбінації

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.