Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

743 задачі
АлгебраФункціональні рівняння та нерівності
Італійська математична олімпіадаITAMO-2022-013

Многочлен з умовою на фіксовану суму аргументів

Многочлен p(x)p(x) має таку властивість: для кожної трійки цілих чисел a,b,ca, b, c таких, що a+b+c=2022a+b+c=2022, виконується p(a)+p(b)+p(c)=p(674)p(a)+p(b)+p(c)=p(674). Відомо також, що p(0)=−2696p(0)=-2696. Чому дорівнює p(2022)p(2022)? (A) −2696-2696 (B) 674674 (C) 53925392 (D) 80888088 (E) Визначити за наведеними даними неможливо.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2022-012

Функціональне рівняння з ітерацією на натуральних числах

Нехай NN — множина натуральних чисел. Знайдіть усі функції f:N→Nf : N \to N такі, що для всіх натуральних чисел mm і nn, ff(n)(m)+mn=f(m)f(n).f^{f(n)}(m) + mn = f(m)f(n). Зауважимо, що fk(n)=f(f(⋯f(n)⋯ ))⏟k разівf^k(n) = \underbrace{f(f(\cdots f(n)\cdots))}_{k \text{ разів}}.
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2021-003

Нерухомі точки канадських функцій

Функція ff з натуральних чисел у натуральні числа називається канадською, якщо вона задовольняє НСД(f(f(x)),f(x+y))=НСД(x,y)\text{НСД}(f(f(x)), f(x+y)) = \text{НСД}(x, y) для всіх пар натуральних чисел xx і yy. Знайдіть усі натуральні числа mm такі, що f(m)=mf(m) = m для всіх канадських функцій ff.
10–11 класиНСД та НСК
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-026

Рекурентне співвідношення зі стискаючою функцією

Нехай f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} — зростаюча функція така, що f(y)−f(x)<y−xf(y)-f(x)<y-x для всіх дійсних xx і yy таких, що y>xy>x. Нехай (un)n⩾0\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 0} — послідовність така, що un+2=f(un+1)−f(un)u_{n+2}=f\left(u_{n+1}\right)-f\left(u_{n}\right) для кожного цілого n⩾0n \geqslant 0. Доведіть, що послідовність (un)n⩾0\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 0} збігається до 0, тобто що для кожного дійсного ε>0\varepsilon>0 існує ціле NN таке, що ∣un∣⩽ε\left|u_{n}\right| \leqslant \varepsilon для кожного цілого n⩾Nn \geqslant N.
9–11 класиПослідовності (інші властивості)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-098

Сума розв'язків рівняння для десятої ітерації функції

Визначимо функцію f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} формулою f(x)={1x2+x4+2x якщо x∉(−23,0]0 інакше f(x)= \begin{cases}\frac{1}{x^{2}+\sqrt{x^{4}+2 x}} & \text{ якщо } x \notin(-\sqrt[3]{2}, 0] \\ 0 & \text{ інакше }\end{cases} Суму всіх дійсних чисел xx, для яких f10(x)=1f^{10}(x)=1, можна записати у вигляді a+bcd\frac{a+b \sqrt{c}}{d}, де a,b,c,da, b, c, d — цілі числа, dd — додатне, cc — вільне від квадратів, а НСД(a,b,d)=1\text{НСД}(a, b, d)=1. Знайдіть 1000a+100b+10c+d1000 a+100 b+10 c+d. (Тут fn(x)f^{n}(x) — це функція f(x)f(x), ітерована nn разів. Наприклад, f3(x)=f(f(f(x)))f^{3}(x)=f(f(f(x))).)
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-116

Монічний кубічний многочлен з непарною симетрією

Нехай ff — монічний многочлен третього степеня, такий, що f(x)+f(−x)=0f(x)+f(-x)=0 для всіх дійсних чисел xx. Для всіх дійсних чисел yy визначимо g(y)g(y) як кількість різних дійсних розв'язків xx рівняння f(f(x))=yf(f(x))=y. Припустімо, що множина можливих значень g(y)g(y) для всіх дійсних чисел yy — це точно {1,5,9}\{1,5,9\}. Обчисліть суму всіх можливих значень f(10)f(10).
10–11 класиМногочлени третього степеня
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-045

Проєкції еліпсоїда з екстремальними площами

Нехай EE — тривимірний еліпсоїд. Для площини pp нехай E(p)E(p) — проєкція еліпсоїда EE на площину pp. Найменша і найбільша площі E(p)E(p) дорівнюють 9π9 \pi та 25π25 \pi, а також існує така площина pp, що E(p)E(p) є кругом площі 16π16 \pi. Якщо VV — об'єм еліпсоїда EE, обчисліть V/πV / \pi.
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-046

Строго зростаюча функція з квадратичною рекурсією

Нехай f:N→Nf: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} — строго зростаюча функція така, що f(1)=1f(1)=1 і f(2n)f(2n+1)=9f(n)2+3f(n)f(2 n) f(2 n+1)=9 f(n)^2+3 f(n) для всіх n∈Nn \in \mathbb{N}. Обчисліть f(137)f(137).
10–11 класиМетод математичної індукції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-086

Рекурсивна функція на цілочисельній решітці

Функція f:Z2→Zf: \mathbb{Z}^2 \rightarrow \mathbb{Z} задовольняє умови - f(x,0)=f(0,y)=0f(x, 0) = f(0, y) = 0, а - f(x,y)=f(x−1,y)+f(x,y−1)+x+yf(x, y) = f(x-1, y) + f(x, y-1) + x + y для всіх невід'ємних цілих чисел xx і yy. Знайдіть f(6,12)f(6,12).
10–11 класиМетод допоміжних функцій: g(x) =…
Відбіркові тести на IMOTST-2021-008

Функціональне рівняння f(x + y f(x + y)) = y² + f(x) f(y)

Знайдіть усі функції f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, які задовольняють f(x+yf(x+y))=y2+f(x)f(y)f(x + y f(x + y)) = y^2 + f(x) f(y)
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Відбіркові тести на IMOTST-2021-025

Парні функції з функціональним рівнянням

Знайдіть усі парні функції g:R→Rg: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, для яких існує функція f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} така, що для всіх x,y∈Rx, y \in \mathbb{R} g(f(x)+y)=g(x)+g(y)+yf(x+f(x))g(f(x)+y)=g(x)+g(y)+y f(x+f(x))
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2021-004

Ітерована функція з обмеженим зсувом

Нехай N\mathbb{N} — множина натуральних чисел. Нехай f:N→Nf: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} — функція така, що для кожного n∈Nn \in \mathbb{N} f(n)−n<2021 і f(f(⋯f(f⏟f(n)(n))⋯ ))=nf(n)-n<2021 \text{ і } \underbrace{f(f(\cdots f(f}_{f(n)}(n)) \cdots))=n Доведіть, що f(n)=nf(n)=n для нескінченно багатьох n∈Nn \in \mathbb{N}.
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)
Естонська математична олімпіадаESTMO-2020-013

Функції, усі зсуви яких парні чи непарні

Знайдіть усі функції f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} такі, що для кожного дійсного числа aa функція g(x)=f(x+a)g(x) = f(x + a) є парною або непарною.
11 класБазові підстановки (однакові аргу…
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2020-020

Функціональне рівняння f(xf(y)+y)=f(x²+y²)+f(y)

Знайдіть усі функції f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, які задовольняють рівняння f(xf(y)+y)=f(x2+y2)+f(y)f(xf(y) + y) = f(x^2 + y^2) + f(y) для всіх дійсних чисел xx і yy.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-048

Вкладеність n-додатних функцій

Нехай nn — натуральне число, відмінне від нуля. Кажуть, що функція f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} є nn-додатною, якщо для всіх дійсних x1,…,xnx_{1}, \ldots, x_{n} таких, що x1+…+xn=0x_{1}+\ldots+x_{n}=0, виконується f(x1)+…+f(xn)⩾0f\left(x_{1}\right)+\ldots+f\left(x_{n}\right) \geqslant 0. a) Чи кожна 2020-додатна функція обов'язково є 1010-додатною? b) Чи кожна 1010-додатна функція обов'язково є 2020-додатною?
8–10 класиКонструктивна побудова функції
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-007

Функціональне рівняння з вкладеними аргументами

Знайдіть усі функції f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} такі, що f(x+f(y))+x=f(f(2x)+y)f(x+f(y))+x=f(f(2 x)+y) для всіх дійсних xx і yy.
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-010

Функціональне рівняння f(f(x))+f(f(y))=2y+f(x-y)

Знайдіть усі функції ff з R\mathbb{R} в R\mathbb{R} такі, що для будь-якої пари (x,y)(x, y) дійсних чисел: f(f(x))+f(f(y))=2y+f(x−y)f(f(x))+f(f(y))=2 y+f(x-y)
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-087

Степені з цілою частиною в показнику

Для скількох натуральних чисел n≤1000n \leq 1000 рівняння в дійсних числах x⌊x⌋=nx^{\lfloor x\rfloor}=n має додатний розв’язок xx? (Для дійсного числа xx через ⌊x⌋\lfloor x\rfloor позначають найбільше ціле число, яке не перевищує xx.)
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-098

Вкладені модулі 2019 з x, y та відношення x/y

Додатні дійсні числа xx і yy задовольняють ∣∣⋯∣∣∣x∣−y∣−x∣⋯−y∣−x∣=∣∣⋯∣∣∣y∣−x∣−y∣⋯−x∣−y∣||\cdots|||x|-y|-x| \cdots-y|-x|=||\cdots|||y|-x|-y| \cdots-x|-y| де з кожного боку є 2019 знаків модуля ∣⋅∣|\cdot|. Знайдіть з доведенням усі можливі значення xy\frac{x}{y}.
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)
Відбіркові тести на IMOTST-2020-013

Функціональне рівняння з f(x²y) і f(y²)

Знайдіть усі функції f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, які задовольняють f(x2y)+2f(y2)=(x2+f(y))⋅f(y)f\left(x^{2} y\right)+2 f\left(y^{2}\right)=\left(x^{2}+f(y)\right) \cdot f(y) для всіх x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-057

Адитивна функція з умовою для простих чисел

Для кожного натурального числа nn задано невід'ємне ціле число f(n)f(n) так, що виконуються такі три правила: i) f(ab)=f(a)+f(b)f(a b)=f(a)+f(b). ii) f(n)=0f(n)=0, якщо nn — просте число, більше за 10.. iii) f(1)<f(243)<f(2)<11f(1)<f(243)<f(2)<11. Відомо, що f(2106)<11f(2106)<11. Знайдіть значення f(96)f(96).
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-031

Розфарбування раціональних чисел з умовою на суму

Розфарбування Q\mathbb{Q} полягає у фарбуванні кожного раціонального числа або в червоний, або в синій колір. Кажуть, що розфарбування Q\mathbb{Q} є гармонійним, якщо для всіх раціональних чисел xx і yy одного кольору раціональне число x+yx+y також має той самий колір. Знайдіть усі розфарбування Q\mathbb{Q}, які є гармонійними.
9–11 класиРаціональні та ірраціональні числа
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-029

Функціональне рівняння f(x²+x+f(y)) = y+f(x)+f(x)²

Знайдіть усі функції f:R↦Rf: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R} такі, що для всіх дійсних чисел xx і yy виконується: f(x2+x+f(y))=y+f(x)+f(x)2f\left(x^{2}+x+f(y)\right)=y+f(x)+f(x)^{2}
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-014

Обмеженість і рекурентне співвідношення дають сталу функцію

Нехай f:Z→Rf: \mathbb{Z} \to \mathbb{R} — функція така, що f(n+2)=(f(n+1)+f(n))/2f(n+2) = (f(n+1) + f(n)) / 2 для всіх цілих nn. Припустімо, що ff обмежена, тобто існує дійсне число FF таке, що −F⩽f(n)⩽F-F \leqslant f(n) \leqslant F для всіх nn. Доведіть, що ff — стала функція.
8–10 класиЛінійні рекурентні послідовності
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-025

Функції на N зі значенням в x² + y²

Знайдіть усі функції f:N→Nf: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} такі, що xf(y)+yf(x)=(x+y)f(x2+y2)x f(y)+y f(x)=(x+y) f\left(x^{2}+y^{2}\right) для всіх натуральних чисел xx і yy. Зауваження: нагадаємо, що N\mathbb{N} позначає множину натуральних чисел, тобто N={0,1,2,…}\mathbb{N}=\{0,1,2, \ldots\}.
8–10 класиБазові підстановки (однакові аргу…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.