Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

689 задач
КомбінаторикаПідрахунок двома способами
Відбіркові тести на IMOTST-2013-005

Біноміальна сума, що є квадратом цілого числа

Доведіть, що ∑n=020134026!(n!(2013−n)!)2\sum_{n=0}^{2013} \frac{4026!}{(n!(2013-n)!)^{2}} є квадратом цілого числа.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбіркові тести на IMOTST-2013-008

Замкнений шлях у прямокутнику на решітці

Нехай m,n⩾4m, n \geqslant 4 — два цілі числа. Розглянемо m×nm \times n-решітчастий прямокутник, утворений із m+1m+1 горизонтальних і n+1n+1 вертикальних відрізків. Точки перетину цих відрізків називаються вершинами. Нехай PP — замкнений шлях без самоперетинів, який проходить через кожну з (m−1)(n−1)(m-1)(n-1) внутрішніх вершин, але через жодну із зовнішніх вершин. Позначимо через AA кількість внутрішніх вершин, через які PP проходить прямолінійно, через BB — кількість квадратів решітки, у яких PP використовує рівно дві сторони, які до того ж лежать одна навпроти одної, а через CC — кількість квадратів решітки, у яких PP не використовує жодної сторони. Доведіть, що A=B−C+m+n−1A=B-C+m+n-1. (На рисунку показано ситуацію з m=4,n=5,A=4,B=1m=4, n=5, A=4, B=1 і C=5C=5.)
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбіркові тести на IMOTST-2013-015

Неперетинні пари з різними обмеженими сумами

Нехай nn — натуральне число. Далі розглядаємо пари елементів множини {1,2,…,n}\{1,2, \ldots, n\}, які між собою не мають спільних елементів. Знайдіть із доведенням найбільшу можливу кількість таких пар, для яких суми їхніх елементів попарно різні й не більші за nn. (Наприклад, (1;9),(2;7)(1 ; 9),(2 ; 7) і (3;5)(3 ; 5) для n=10n=10 — три можливі пари.)
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2013-036

Два хлопці і дві дівчини з першим спілкуванням в один місяць

Клас складається із 77 хлопців і 1313 дівчат. Протягом перших трьох місяців навчального року кожен хлопець поспілкувався з кожною дівчиною принаймні один раз. Доведіть, що існують двоє хлопців і двоє дівчат такі, що обидва хлопці вперше поспілкувалися з обома дівчатами в одному й тому самому місяці.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…3 розв’язки
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-010

Орієнтовані решіткові квадрати в кубі

Нехай nn — натуральне число. Під точкою решітки в xyzxyz-просторі розуміємо точку (k,l,m)(k, l, m), де k,l,mk, l, m — цілі числа. Відрізок, що сполучає дві точки решітки, які містяться в області 0≤x,y,z≤n0 \le x, y, z \le n і відстань між якими дорівнює 1, називається решітковим відрізком. Кожному решітковому відрізку можна надати напрям (наприклад, для решіткового відрізка з кінцями AA і BB надати один і лише один із напрямів A→BA \rightarrow B або A←BA \leftarrow B). Квадрат назвемо решітковим квадратом, якщо всі чотири його сторони є решітковими відрізками. Будемо казати, що два решіткові квадрати конгруентні, якщо поворотом і паралельним перенесенням один із квадратів можна накласти на інший квадрат з додатковою вимогою, щоб напрями всіх чотирьох сторін збігалися. Скільки існує способів надання напрямів решітковим відрізкам, які забезпечують, що всі решіткові квадрати конгруентні?
10–11 класиПарність і непарність
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-001

Магічний квадрат з непарних чисел

Магічний квадрат — це квадратна таблиця, в якій сума чисел у будь-якому рядку або стовпці є сталою. Наприклад, | 1 | 5 | 9 | |:--- |:--- |:--- | | 8 | 3 | 4 | | 6 | 7 | 2 | є магічним квадратом, який використовує числа від 1 до 9. Як читач може перевірити, сума в будь-якому рядку або стовпці завжди дорівнює 15. a) Квадрат нижче є частиною магічного квадрата, який використовує непарні числа від 1 до 17. З'ясуйте, яким має бути число XX. | | 1 | | |:---: |:---: |:---: | | 5 | | 13 | | XX | | 3 | b) Магічний квадрат називається гіпермагічним, коли сума в будь-якому рядку, стовпці або діагоналі є сталою. Запишіть числа від 1 до 9 у квадрат нижче так, щоб він став гіпермагічним.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2012-028

Нумерація вершин розбитого трикутника

Рівносторонній трикутник зі стороною 33 поділено на 99 рівносторонніх трикутників зі стороною 11. У кожну точку, яка є вершиною малого трикутника (зафарбовані вершини на рисунку), вписано ціле число від 11 до 1010 так, що всі числа записано рівно по одному разу. Для кожного малого трикутника суму чисел у трьох його вершинах записано всередині нього. Доведіть, що існують три малі трикутники такі, що сума чисел усередині них принаймні 4848.
10 класПринцип Діріхле (скінченні множин…2 розв’язки
Французька математична олімпіадаFRMO-2012-009

Нумерація ребер куба з рівними сумами у вершинах

Чи можна пронумерувати ребра куба числами від 1 до 12 так, щоб сума чисел на ребрах, що сходяться в одній вершині куба, була однаковою для всіх вершин?
8–10 класиПідрахунок двома способами
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-106

Сума транспозиційних відстаней для перестановок семи елементів

Для перестановки σ\sigma чисел 1,2,…,71,2, \ldots, 7 транспозицією називається обмін двох елементів місцями. (Наприклад, до перестановки 3,7,1,4,5,6,23,7,1,4,5,6,2 можна застосувати транспозицію й отримати 3,7,6,4,5,1,23,7,6,4,5,1,2, помінявши місцями 11 і 66.) Нехай f(σ)f(\sigma) — найменша кількість транспозицій, необхідна, щоб перетворити σ\sigma на перестановку 1,2,3,4,5,6,71,2,3,4,5,6,7. Знайдіть суму f(σ)f(\sigma) за всіма перестановками σ\sigma чисел 1,2,…,71,2, \ldots, 7.
10–11 класиПерестановки
Відбіркові тести на IMOTST-2012-030

Розбиття натуральних чисел із сумовою властивістю

Знайдіть найбільше натуральне число kk з такою властивістю: множину натуральних чисел можна розбити на kk попарно неперетинних підмножин A1,…,AkA_{1}, \ldots, A_{k} так, щоб кожне натуральне число n≥15n \geq 15 для кожного i∈{1,…,k}i \in\{1, \ldots, k\} записувалося як сума двох різних елементів із AiA_{i}.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2012-015

Вибір карток із фіксованою сумою

Нехай nn — додатне ціле число. Припустимо, існує нескінченна кількість карток, і на кожній з цих карток написано ціле число, більше або рівне 00. Припустимо також, що для кожного цілого числа ll, більшого або рівного 00, існує рівно nn карток, на яких написано число ll. Розглянемо повторення процесу вибору 20122012 карток із заданої нескінченної колекції карток. Припустимо, що ми не повертаємо вибрані картки до початкової колекції. Знайдіть найменше можливе значення nn, для якого можливо продовжувати процедури, що задовольняють таку умову: Умова: Для кожного додатного цілого числа kk сума чисел, написаних на 20122012 картках, вибраних на kk-му етапі, дорівнює kk.
7–9 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2012-001

Підмножина заданого розміру і множина N(X)

Нехай A1,A2,…,AnA_1, A_2, \dots, A_n — множини. Для підмножини XX множини {1,2,…,n}\{1, 2, \dots, n\} покладемо N(X)={i∈{1,2,…,n}−X:Ai∩Aj≠∅ для всіх j∈X}.N(X) = \{i \in \{1, 2, \dots, n\} - X : A_i \cap A_j \neq \emptyset \text{ для всіх } j \in X\}. Доведіть, що для кожного цілого 3≤m≤n−23 \le m \le n - 2 існує підмножина XX множини {1,2,…,n}\{1, 2, \dots, n\} така, що ∣X∣=m|X| = m і ∣N(X)∣≠1|N(X)| \neq 1.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2012-002

Конгруентні трикутники на розфарбованому колі

Коло поділено на 432432 рівні дуги 432432 точками. Точки пофарбовано у чотири кольори так, що 108108 точок пофарбовано в червоний колір, 108108 точок — у зелений, 108108 точок — у синій, а решта 108108 точок — у жовтий. Доведіть, що можна вибрати по три точки кожного кольору так, щоб чотири трикутники, утворені вибраними точками одного кольору, були конгруентними.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2012-006

Суми по підмножинах, що перевищують поріг

Для цілого n≥2n \ge 2 нехай x1,x2,…,xnx_1, x_2, \dots, x_n — дійсні числа, що задовольняють x1+x2+⋯+xn=0,іx12+x22+⋯+xn2=1.x_1 + x_2 + \dots + x_n = 0, \quad \text{і} \quad x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2 = 1. Для кожної підмножини A⊆{1,2,…,n}A \subseteq \{1, 2, \dots, n\} означимо SA=∑i∈Axi.S_A = \sum_{i \in A} x_i. (Якщо AA — порожня множина, то SA=0S_A = 0.) Доведіть, що для будь-якого додатного числа λ\lambda кількість множин AA, для яких SA≥λS_A \ge \lambda, не перевищує 2n−3λ2\frac{2^{n-3}}{\lambda^2}. Для яких наборів x1,x2,…,xn,λx_1, x_2, \dots, x_n, \lambda досягається рівність?
10–11 класиПідрахунок двома способами
Естонська математична олімпіадаESTMO-2011-001

Відсотки потворних і непотрібних речей у ранці

Юку помітив, що серед речей у його ранці 60%60\% були потворними, а 76%76\% — непотрібними. Він викинув усі речі, які були одночасно потворними й непотрібними, і додав речі, які були одночасно гарними й потрібними. Після цього серед речей у ранці Юку 25%25\% є потворними, а 45%45\% — непотрібними. Скільки відсотків речей у ранці Юку були одночасно гарними й потрібними спочатку?
9 класФормула включення-виключення
Французька математична олімпіадаFRMO-2011-001

Забарвлені точки із заданою кількістю сусідів

На площині дано 2011 попарно різних точок, кожну з яких пофарбовано або в синій, або в червоний колір. a. Припустимо, що для кожної синьої точки круг із центром у цій точці й радіусом 1 містить рівно дві червоні точки. Яка найбільша можлива кількість синіх точок? b. Припустимо, що для кожної синьої точки коло із центром у цій точці й радіусом 1 містить рівно дві червоні точки. Яка найбільша можлива кількість синіх точок?
9–11 класиПідрахунок двома способами
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-109

Сума зростаючих підпослідовностей за перестановками

Для будь-якої скінченної послідовності натуральних чисел π\pi нехай S(π)S(\pi) — кількість строго зростаючих підпослідовностей послідовності π\pi завдовжки 2 або більше. Наприклад, у послідовності π={3,1,2,4}\pi=\{3,1,2,4\} є п'ять зростаючих підпослідовностей: {3,4},{1,2},{1,4},{2,4}\{3,4\},\{1,2\},\{1,4\},\{2,4\} і {1,2,4}\{1,2,4\}, отже S(π)=5S(\pi)=5. У грі Fish на вісьмох гравців Джой отримала шість карт із різними значеннями, які вона розкладає зліва направо в руці у випадковому порядку π\pi. Знайдіть ∑πS(π)\sum_{\pi} S(\pi) де суму взято за всіма можливими порядками π\pi значень карт.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-151

Ймовірність перемоги Гермії у коловому голосуванні

Нехай nn — непарне натуральне число, і припустімо, що nn людей входять до комітету, який обирає президента. Члени сидять у колі, і кожен член голосує за особу або безпосередньо ліворуч від себе, або безпосередньо праворуч від себе. Якщо один член набере більше голосів, ніж усі інші члени, його буде оголошено президентом; інакше одного з членів, які набрали принаймні стільки ж голосів, скільки всі інші, буде випадково обрано президентом. Якщо Гермія та Лісандр — два члени комітету, причому Гермія сидить ліворуч від Лісандра, а Лісандр планує голосувати за Гермію, визначте ймовірність того, що Гермію буде обрано президентом, за умови, що інші n−1n-1 члени голосують випадково.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-050

Монотонна бієкція на тривимірній цілочисельній решітці

Нехай SS — множина точок (x,y,z)(x, y, z) у R3\mathbb{R}^3, для яких x,yx, y, а також zz — натуральні числа, не більші за 100100. Нехай ff — бієкція між SS та {1,2,…,1000000}\{1,2, \ldots, 1000000\}, яка задовольняє таку властивість: якщо x1≤x2,y1≤y2x_1 \leq x_2, y_1 \leq y_2, а також z1≤z2z_1 \leq z_2, то f(x1,y1,z1)≤f(x2,y2,z2)f\left(x_1, y_1, z_1\right) \leq f\left(x_2, y_2, z_2\right). Позначимо Ai=∑j=1100∑k=1100f(i,j,k),Bi=∑j=1100∑k=1100f(j,i,k), і Ci=∑j=1100∑k=1100f(j,k,i)\begin{aligned} A_i & =\sum_{j=1}^{100} \sum_{k=1}^{100} f(i, j, k), \\ B_i & =\sum_{j=1}^{100} \sum_{k=1}^{100} f(j, i, k), \\ \text{ і } C_i & =\sum_{j=1}^{100} \sum_{k=1}^{100} f(j, k, i) \end{aligned} Знайдіть найменше можливе значення Ai+1−Ai+Bj+1−Bj+Ck+1−CkA_{i+1}-A_i+B_{j+1}-B_j+C_{k+1}-C_k.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-065

Підрахунок лінійних рекурентних послідовностей за модулем простого числа

Нехай pp — просте натуральне число. Рекурентною за модулем pp послідовністю степеня nn назвемо послідовність {ak}k≥0\{a_k\}_{k \geq 0} чисел за модулем pp, що задовольняє співвідношення вигляду ai+n=cn−1ai+n−1+…+c1ai+1+c0aia_{i+n} = c_{n-1} a_{i+n-1} + \ldots + c_1 a_{i+1} + c_0 a_i для всіх i≥0i \geq 0, де c0,c1,…,cn−1c_0, c_1, \ldots, c_{n-1} — цілі числа і c0≢0(modp)c_0 \not\equiv 0 \pmod{p}. Обчисліть кількість різних лінійних рекурентних послідовностей степеня не більше nn через pp і nn.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбіркові тести на IMOTST-2011-026

Кольорові точки із заданими сумами відстаней

Знайдіть усі трійки (a,b,c)(a, b, c) натуральних чисел, для яких a+b+c=10a+b+c=10 і існує aa червоних, bb синіх і cc зелених точок (усі різні) на площині з такими властивостями: - для кожної червоної точки і кожної синьої точки розглянемо відстань між цими двома точками; сума всіх цих відстаней дорівнює 3737; - для кожної зеленої точки і кожної червоної точки розглянемо відстань між цими двома точками; сума всіх цих відстаней дорівнює 3030; - для кожної синьої точки і кожної зеленої точки розглянемо відстань між цими двома точками; сума всіх цих відстаней дорівнює 11;
10–11 класиНерівність трикутника
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2011-017

Послідовність із додатними 7-сумами та від’ємними 13-сумами

Нехай x1…xnx_{1} \ldots x_{n} — скінченна послідовність дійсних чисел така, що: i) сума 7 її послідовних членів завжди додатна; ii) сума 13 її послідовних членів завжди від’ємна. Яке з наведених тверджень є істинним? (A) Послідовність має щонайбільше 18 членів (B) Послідовність може мати 19 членів (C) Послідовність має рівно 21 член (D) Послідовність має принаймні 18 членів (E) Існують послідовності довільної довжини, які задовольняють i) та ii).
9–11 класиПідрахунок двома способами
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2011-006

Розбиття на групи без рукостискань

На вечірці було nn хлопців a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n і nn дівчат b1,b2,…,bnb_1, b_2, \dots, b_n. Жодні два хлопці не потисли один одному руки, і жодні дві дівчини не потисли одна одній руки, а для кожного i∈{1,2,…,n}i \in \{1, 2, \dots, n\} хлопець aia_i не потиснув руку дівчині bib_i. Усіх 2n2n людей хочуть поділити на групи, які задовольняють такі дві умови. 1. У кожній групі кількість хлопців дорівнює кількості дівчат. 2. У кожній групі жодні двоє людей не потисли один одному руки. Нехай mm — кількість пар (ai,bj)(a_i, b_j), у яких aia_i потиснув руку bjb_j. Доведіть, що можна зробити кількість груп не більшою за 22 або за 2mn+1\frac{2m}{n} + 1.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2011-002

Розподіл наліпок із відсутньою наліпкою

33 друзі збирають наліпки для альбому з 2011 наліпок. Розподіл наліпок між 33 друзями є неповним, коли існує наліпка, якої не має жоден із друзів. Знайдіть найменше mm з такою властивістю: кожен розподіл наліпок між 33 друзями, за якого для будь-яких двох друзів є принаймні mm наліпок, яких не має жоден із них, є неповним.
10–11 класиПідрахунок двома способами2 розв’язки
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2011-046

Зрізання вершин опуклого многогранника

Розглянемо опуклий многогранник зі 100100 ребрами. Усі вершини зрізали плоским гострим ножем, роблячи розріз поблизу кожної вершини (це було зроблено так, щоб утворені площини не перетиналися всередині чи на межі многогранника). Обчисліть для утвореного многогранника: (a) кількість вершин. (b) кількість ребер. Скільки граней має цей новий многогранник?
10–11 класиПідрахунок двома способами

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.