Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

710 задач
ГеометріяЦентральні і вписані кути
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2018-007

Радіус кола, описаного навколо точок дотику трьох кіл

Дано три кола Γ,Γ1,Γ2\Gamma, \Gamma_{1}, \Gamma_{2} з радіусами відповідно 6, 3, 2. Кола Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} дотикаються зовнішньо в точці AA, а Γ\Gamma дотикається до обох інших кіл внутрішньо, відповідно в точках A1A_{1} та A2A_{2}. Визначте радіус кола, описаного навколо трикутника AA1A2A A_{1} A_{2}. (A) 262 \sqrt{6} (B) 5 (C) 2+3+6\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6} (D) 4+34+\sqrt{3} (E) 6
9–11 класиКола, що дотикаються
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2018-010

Трикутники з рівномірно розташованих точок кола

Жукінья позначає точки на колі та малює трикутники, сполучаючи 3 з цих точок. Довжини дуг між 2 сусідніми точками рівні. а) Позначивши 4 точки на колі, скільки трикутників він зможе намалювати? б) Позначивши 5 точок на колі, скільки рівносторонніх трикутників він зможе намалювати? в) Скільки прямокутних трикутників він зможе намалювати, якщо позначить 6 точок?
8–9 класиКомбінації
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2018-029

Рівнобедрений трикутник з внутрішньою точкою

На рисунку нижче ABCABC — рівнобедрений трикутник із BA=BCBA = BC. Точка DD лежить всередині нього так, що ∠ABD=13∘\angle ABD = 13^{\circ}, ∠ADB=150∘\angle ADB = 150^{\circ} і ∠ACD=30∘\angle ACD = 30^{\circ}. Крім того, ADEADE — рівносторонній трикутник. Знайдіть величину кута ∠DBC\angle DBC.
8–9 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2017-014

Перетин бісектрис і діаметр описаного кола

Бісектриса зовнішнього кута при вершині CC трикутника ABCABC перетинає бісектрису внутрішнього кута при вершині BB у точці KK. Розглянемо діаметр описаного кола трикутника BCKBCK, одним із кінців якого є точка KK. Доведіть, що точка AA лежить на цьому діаметрі.
10–11 класиЗовнівписане коло3 розв’язки
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-052

Паралельність із дотичною до описаного кола

Нехай ABCABC — трикутник, усі три кути якого гострі, а Γ\Gamma — його описане коло. Дотична до кола Γ\Gamma в точці AA перетинає пряму (BC)(BC) в точці PP. Позначимо через MM середину відрізка [AP][AP]. Пряма (BM)(BM) вдруге перетинає Γ\Gamma в точці RR, а пряма (PR)(PR) вдруге перетинає Γ\Gamma в точці SS. Доведіть, що прямі (AP)(AP) і (CS)(CS) паралельні.
9–11 класиСтепінь точки відносно кола
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2017-035

Перпендикулярність при перетині двох кіл

Нехай Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} — два кола, що перетинаються в різних точках AA і BB. Позначимо через OO центр кола Γ1\Gamma_{1}. Нехай CC — точка кола Γ1\Gamma_{1}, а D,ED, E — відповідно точки перетину прямих (AC)(AC) і (BC)(BC) з колом Γ2\Gamma_{2}. Доведіть, що прямі (OC)(OC) і (DE)(DE) перпендикулярні.
9–11 класиЦентральні і вписані кути
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2017-039

Вписаний чотирикутник у правильному вісімнадцятикутнику

Нехай OO — центр правильного 18-кутника з вершинами A1,…,A18A_{1}, \ldots, A_{18}. Нехай BB — точка на відрізку [OA1][OA_{1}] така, що BA2O^=20∘\widehat{BA_{2} O}=20^{\circ}, а CC — точка на відрізку [OA2][OA_{2}] така, що CA1O^=10∘\widehat{CA_{1} O}=10^{\circ}. Доведіть, що точки BCA2A3BCA_{2} A_{3} лежать на одному колі.
9–11 класиЦентральні і вписані кути
Відбіркові тести на IMOTST-2017-024

Паралельні прямі у прямокутному трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник із ∠A=90∘\angle A = 90^{\circ}, а DD — основа висоти, проведеної з AA. Середини відрізків ADAD і ACAC позначимо відповідно EE і FF. Нехай MM — центр описаного кола △BEF\triangle BEF. Доведіть, що AC∥BMAC \parallel BM.
10–11 класиОзнаки подібності
Відбіркові тести на IMOTST-2017-019

Найбільше діагоналей n-кутника з перпендикулярними перетинами

Нехай n≥3n \geq 3 — натуральне число. Яку найбільшу кількість діагоналей правильного nn-кутника можна провести так, щоб якщо дві діагоналі перетинаються у внутрішній області, то вони перпендикулярні одна до одної?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2017-028

Геометричне місце центрів описаних кіл проєкцій

Нехай kk — коло, а ABAB — хорда кола kk, така, що центр кола kk не лежить на ABAB. Нехай CC — відмінна від AA і BB точка на колі kk. Для кожного вибору CC нехай PCP_{C} і QCQ_{C} — проєкції точки AA на пряму BCBC та точки BB на пряму ACAC відповідно. Далі нехай OCO_{C} — центр описаного кола трикутника PCQCCP_{C} Q_{C} C. Доведіть, що існує коло ω\omega таке, що OCO_{C} для кожного вибору CC лежить на ω\omega.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Італійська математична олімпіадаITAMO-2017-015

Перетин дотичних до кола в трикутнику

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник і нехай DD — основа бісектриси, що виходить з AA. Нехай ω\omega — коло через AA, дотичне до сторони BCBC в DD, а E,FE, F — перетини кола ω\omega зі сторонами AB,ACAB, AC відповідно. Дотичні до кола ω\omega в EE і FF перетинаються в PP. Відомо, що PE=3PE=3 і що радіус кола ω\omega дорівнює 44, чому дорівнює довжина відрізка PDPD? (A) 34\frac{3}{4} (B) 11 (C) 1+22\frac{1+\sqrt{2}}{2} (D) 2\sqrt{2} (E) Даних недостатньо, щоб його визначити
10–11 класиДотична кола
Італійська математична олімпіадаITAMO-2017-004

Рівнобедрений трикутник і паралелограм у колі

Дано коло ω\omega з діаметром ABA B, і PP — внутрішня точка відрізка ABA B, нехай MM — середина відрізка PBP B. Нехай r,sr, s — дві паралельні прямі, що проходять відповідно через M,PM, P і не збігаються з прямою ABA B та не перпендикулярні до неї. Нехай далі HH — ортогональна проєкція AA на пряму ss, а KK — точка перетину (відмінна від AA) кола ω\omega з прямою AHA H. Нехай нарешті X,YX, Y — перетини прямої rr з колом ω\omega, де XX лежить з протилежного від HH боку відносно прямої ABA B. a. Доведіть, що трикутник HYKH Y K рівнобедрений. b. Доведіть, що BXHYB X H Y — паралелограм.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-027

Перетин прямих у суміжних квадратах

На малюнку нижче ABCDABCD і EFGCEFGC — квадрати. Прямі BGBG і DEDE перетинаються в точці HH. a) Перевірте, що ∠BHD=90∘\angle BHD = 90^\circ, і зробіть висновок, що точка HH лежить одночасно на колах з діаметрами BDBD і EGEG. b) Знайдіть значення ∠AHD+∠DHG+∠GHF\angle AHD + \angle DHG + \angle GHF.
8–9 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-043

Вписаний чотирикутник з перпендикулярними діагоналями

Чотирикутник називається вписаним, коли його чотири вершини лежать на одному колі. Розглянемо вписаний чотирикутник ABCDABCD з перпендикулярними діагоналями ACAC і BDBD. Крім того, нехай OO — центр кола, що проходить через вершини чотирикутника, а PP — точка перетину діагоналей. a) З точки PP проведемо пряму rr, перпендикулярну до BCBC. Пряма rr перетинає BCBC в точці XX, а ADAD — в точці MM. Доведіть, що MM — середина сторони ADAD. b) З точки PP проведемо пряму ss, перпендикулярну до ADAD, що перетинає ADAD в точці YY, а BCBC — в точці NN. Доведіть, що чотирикутник OMPNOMPN — паралелограм.
8–9 класиЦентральні і вписані кути
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-124

Перетин описаних кіл у трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=3AB = 3, AC=8AC = 8, BC=7BC = 7, а MM і NN — середини сторін AB‾\overline{AB} та AC‾\overline{AC} відповідно. Точку TT вибрано на стороні BCBC так, що AT=TCAT = TC. Описані кола трикутників BATBAT, MANMAN перетинаються в точці DD. Обчисліть довжину відрізка DCDC.
10–11 класиОписане коло
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2016-006

Прямокутник, описане коло і бісектриса

Нехай ABCDABCD — прямокутник, у якому AB>BCAB > BC, а ω\omega — його описане коло. Нехай EE і FF — відповідно перетини (відмінні від AA) бісектриси кута BAD^\widehat{BAD} зі стороною CDCD і з колом ω\omega. Перпендикуляр до хорди DFDF, проведений через EE, перетинає хорду DFDF в GG, а дугу DFDF, що не містить CC, — в точці HH. Доведіть, що: (a) відрізки DFDF і FBFB мають однакову довжину; (b) трикутники DEGDEG і DHGDHG конгруентні; (c) відрізки HFHF і FCFC рівні.
9–11 класиЦентральні і вписані кути
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2015-009

Рівнобедрений трикутник із хорди кола

Прямокутний трикутник ABCABC має прямий кут при вершині AA. Коло cc проходить через вершини AA і BB трикутника ABCABC і перетинає сторони ACAC і BCBC відповідно в точках DD і EE. Відрізок CDCD має ту саму довжину, що й діаметр кола cc. Доведіть, що трикутник ABEABE є рівнобедреним.
8–10 класиЦентральні і вписані кути2 розв’язки
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-031

Дотичні та рівні кути в колі

Через точку AA кола з центром OO проведено дотичну до цього кола, а на цій дотичній взято дві точки BB і CC, причому CC між AA і BB. Із BB і CC проведено (BD)(B D) і (CE)(C E) — дотичні до кола. Доведіть, що BOC^=DAE^\widehat{B O C}=\widehat{D A E}.
9–11 класиДотична кола
Відбіркові тести на IMOTST-2015-013

Кола, що перетинаються, з паралельними прямими

Нехай кола Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} з центрами відповідно O1O_{1} і O2O_{2} перетинаються у двох різних точках AA і BB. Пряма O1AO_{1} A перетинає Γ2\Gamma_{2} ще раз у точці CC, а пряма O2AO_{2} A перетинає Γ1\Gamma_{1} ще раз у точці DD. Пряма через точку BB, паралельна до прямої ADA D, перетинає Γ1\Gamma_{1} ще раз у точці EE. Припустімо, що пряма O1AO_{1} A паралельна до прямої DED E. Доведіть, що пряма CDC D перпендикулярна до прямої O2CO_{2} C.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)3 розв’язки
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2015-003

Чотирикутник з рівними сторонами і бісектрисою кута

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник такий, що AB=AC=ADAB = AC = AD і BC<CDBC < CD. Бісектриса кута BAD^\widehat{BAD} перетинає сторону CDCD у внутрішній точці MM і продовження сторони BCBC у точці NN. Доведіть, що a. чотирикутник ABCMABCM можна вписати в коло; b. трикутники ANBANB і ABMABM подібні.
9–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2015-004

Центр кола через ортоцентр на описаному колі

Нехай HH — ортоцентр гострокутного трикутника ABCABC, а коло ω\omega, що проходить через точки HH, AA, BB, перетинає відрізок BCBC у точці D(≠B)D (\neq B). Нехай PP — точка перетину прямої DHDH і відрізка ACAC, а QQ — центр описаного кола трикутника ADPADP. Доведіть, що центр кола ω\omega лежить на описаному колі трикутника BDQBDQ.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2015-001

Бісектриси кута трикутника і відношення відрізків

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, у якому AB≠BCAB \neq BC, а kk — його описане коло. Нехай PP і QQ — точки перетину кола kk з бісектрисою та зовнішньою бісектрисою ∠CBA\angle CBA відповідно. Нехай DD — точка перетину прямих ACAC і PQPQ. Знайдіть відношення AD:DCAD : DC.
10–11 класиЦентральні і вписані кути2 розв’язки
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2015-007

Вписаний чотирикутник, утворений бісектрисами

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а WW — точка перетину бісектриси кута ∠ACB\angle ACB зі стороною ABAB. Далі нехай IAI_{A} і IBI_{B} — центри вписаних кіл трикутників AWCAWC і WBCWBC відповідно. Прямі IAWI_{A}W і IBBI_{B}B перетинаються в точці DD. Нехай MM — середина відрізка DIBDI_{B}. Доведіть, що MWBCMWBC — вписаний чотирикутник. Зауваження: три бісектриси трикутника перетинаються в одній точці — центрі вписаного кола.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-017

Вписаний чотирикутник із діаметром

Нехай ABCDABCD — чотирикутник, вписаний у коло з діаметром AD‾\overline{AD}. Якщо AB=5AB=5, AC=6AC=6 і BD=7BD=7, знайдіть довжину відрізка CDCD.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Відбіркові тести на IMOTST-2014-014

Рівні хорди з кола ортоцентра

Нехай HH — ортоцентр гострокутного трикутника ABCA B C. Пряма через AA, перпендикулярна до сторони ACA C, і пряма через BB, перпендикулярна до сторони BCB C, перетинаються в точці DD. Коло з центром CC, що проходить через HH, перетинає описане коло трикутника ABCA B C в точках EE і FF. Доведіть, що ∣DE∣=∣DF∣=∣AB∣|D E|=|D F|=|A B|.
10–11 класиТочка перетину висот2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.