Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

7 066 задач
Алгебра
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-028

Рекурентна послідовність з добутком мінус сума

Послідовність цілих чисел {ai}\{a_{i}\} задано так: ai=ia_{i} = i для всіх 1≤i≤51 \leq i \leq 5, а ai=a1a2⋯ai−1−1a_{i} = a_{1} a_{2} \cdots a_{i-1} - 1 для всіх i>5i > 5. Обчисліть a1a2⋯a2011−∑i=12011ai2a_{1} a_{2} \cdots a_{2011} - \sum_{i=1}^{2011} a_{i}^{2}.
10–11 класиСуми послідовностей
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-136

Квадратична композиція з трьома дійсними коренями

Нехай f(x)=x2+6x+cf(x) = x^{2} + 6x + c для всіх дійсних чисел xx, де cc — деяке дійсне число. Для яких значень cc многочлен f(f(x))f(f(x)) має рівно 3 різні дійсні корені?
10–11 класиКвадратні рівняння та системи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-117

Цілочислові многочлени, обмежені на скінченній множині

Скільки існує многочленів PP з цілими коефіцієнтами степеня не більше за 55, таких, що 0≤P(x)<1200 \leq P(x) < 120 для всіх x∈{0,1,2,3,4,5}x \in \{0,1,2,3,4,5\}?
10–11 класиІнтерполяційні многочлени
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-002

Максимальна кількість кроків алгоритму Евкліда

Нехай aa і bb — натуральні числа, такі, що a>ba > b. Визначимо послідовність впорядкованих пар (al,bl)(a_{l}, b_{l}) для невід'ємних цілих ll за правилами a0=aa_{0} = a, b0=bb_{0} = b і (al+1,bl+1)=(bl,al mod bl)(a_{l+1}, b_{l+1}) = (b_{l}, a_{l} \bmod b_{l}), де для будь-яких натуральних чисел xx і yy вираз x mod yx \bmod y означає остачу від ділення xx на yy. Визначимо f(a,b)f(a, b) як найменше натуральне число jj, таке, що bj=0b_{j} = 0. Для натурального числа nn визначимо g(n)g(n) як max⁡1≤k≤n−1f(n,k)\max_{1 \leq k \leq n-1} f(n, k). а. Для натурального числа mm: яке найменше натуральне число nmn_{m}, таке, що g(nm)=mg(n_{m}) = m? б. Яке друге найменше?
10–11 класиАлгоритм Евкліда
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-031

Мінімальне відношення з радіусами трикутника

Нехай aa, bb і cc — довжини сторін трикутника, причому a≤ba \leq b і a≤ca \leq c. Нехай x=b+c−a2x=\frac{b+c-a}{2}. Якщо rr і RR позначають відповідно радіуси вписаного й описаного кіл, знайдіть найменше значення axrR\frac{a x}{r R}.
10–11 класиПлоща трикутника
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-156

Неперервна функція з f(f(x)) = 1 і можливі інтеграли

Нехай f:[0,1]→[0,1]f:[0,1] \rightarrow [0,1] — неперервна функція, така, що f(f(x))=1f(f(x)) = 1 для всіх x∈[0,1]x \in [0,1]. Визначте множину можливих значень ∫01f(x) dx\int_{0}^{1} f(x) \, dx.
10–11 класиВластивості монотонності або обме…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-003

Існування та єдиність k-зображення числа

Для заданого натурального числа nn послідовність цілих чисел a1,a2,…,ara_{1}, a_{2}, \ldots, a_{r}, де 0≤ai≤k0 \leq a_{i} \leq k для всіх 1≤i≤r1 \leq i \leq r, називається «kk-зображенням» числа nn, якщо існує ціле число cc таке, що ∑i=1rai=∑i=1raikc−i=n.\sum_{i=1}^{r} a_{i} = \sum_{i=1}^{r} a_{i} k^{c-i} = n. Доведіть, що кожне натуральне число nn має kk-зображення і що kk-зображення єдине тоді й лише тоді, коли 0 не зустрічається в записі числа n−1n-1 за основою kk.
10–11 класиСистеми числення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-138

Цілі многочлени, обмежені на скінченній множині

Скільки існує многочленів PP з цілими коефіцієнтами степеня не вище 55, для яких виконується нерівність 0≤P(x)<1200 \leq P(x) < 120 для всіх x∈{0,1,2,3,4,5}x \in \{0,1,2,3,4,5\}?
10–11 класиІнтерполяційні многочлени
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-139

Інтеграл неперервної функції зі сталою другою ітерацією

Нехай f:[0,1]→[0,1]f:[0,1] \rightarrow [0,1] — неперервна функція така, що f(f(x))=1f(f(x)) = 1 для всіх x∈[0,1]x \in [0,1]. Знайдіть множину можливих значень ∫01f(x) dx\int_{0}^{1} f(x) \, dx.
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-004

Мінімальні покривальні підмножини в групі перестановок

Позначимо {1,2,…,n}\{1,2, \ldots, n\} через [n][n], а через SS — множину всіх перестановок [n][n]. Назвемо підмножину TT множини SS хорошою, якщо кожну перестановку σ\sigma з SS можна записати у вигляді t1t2t_{1} t_{2} для елементів t1t_{1} і t2t_{2} з TT, де добуток двох перестановок визначено як їх композицію. Назвемо підмножину UU множини SS надзвичайно хорошою, якщо кожну перестановку σ\sigma з SS можна записати у вигляді s−1uss^{-1} u s для елементів ss з SS і uu з UU. Нехай τ\tau — найменше значення ∣T∣/∣S∣|T| /|S| серед усіх хороших підмножин TT, а vv — найменше значення ∣U∣/∣S∣|U| /|S| серед усіх надзвичайно хороших підмножин UU. Доведіть, що v≥τ\sqrt{v} \geq \tau.
10–11 класиПерестановки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-034

Ірраціональне число з раціональними значеннями многочленів

Знайдіть усі ірраціональні числа xx, для яких x3−17xx^{3}-17 x і x2+4xx^{2}+4 x є раціональними числами.
10–11 класиРаціональні та ірраціональні числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-140

Квадратична рекурента з умовами монотонності

Нехай f(x)=x2−r2x+r3f(x) = x^{2} - r_{2} x + r_{3} для всіх дійсних чисел xx, де r2r_{2} і r3r_{3} — деякі дійсні числа. Визначимо послідовність {gn}\{g_{n}\} для всіх невід'ємних цілих чисел nn рівностями g0=0g_{0} = 0 і gn+1=f(gn)g_{n+1} = f(g_{n}). Припустимо, що {gn}\{g_{n}\} задовольняє такі три умови: (i) g2i<g2i+1g_{2i} < g_{2i+1} і g2i+1>g2i+2g_{2i+1} > g_{2i+2} для всіх 0≤i≤20110 \leq i \leq 2011; (ii) існує натуральне число jj таке, що gi+1>gig_{i+1} > g_{i} для всіх i>ji > j; (iii) {gn}\{g_{n}\} необмежена. Якщо AA — найбільше число таке, що A≤∣r2∣A \leq |r_{2}| для будь-якої функції ff, яка задовольняє ці властивості, знайдіть AA.
10–11 класиМетод допоміжних функцій: g(x) =…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-157

Похідна функції, що зберігає двійково-раціональні числа

Нехай f:(0,1)→(0,1)f:(0,1) \rightarrow (0,1) — диференційовна функція з неперервною похідною така, що для кожного натурального числа nn та непарного натурального числа a<2na < 2^{n} існує непарне натуральне число b<2nb < 2^{n} таке, що f(a2n)=b2nf\left(\frac{a}{2^{n}}\right) = \frac{b}{2^{n}}. Визначте множину можливих значень f′(12)f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right).
10–11 класиВластивості монотонності або обме…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-120

Добуток значень многочлена в коренях з одиниці

Нехай z=cos⁡2π2011+isin⁡2π2011z = \cos \frac{2\pi}{2011} + i \sin \frac{2\pi}{2011}, і нехай P(x)=x2008+3x2007+6x2006+…+2008⋅20092x+2009⋅20102P(x) = x^{2008} + 3 x^{2007} + 6 x^{2006} + \ldots + \frac{2008 \cdot 2009}{2} x + \frac{2009 \cdot 2010}{2} для всіх комплексних чисел xx. Обчисліть P(z)P(z2)P(z3)…P(z2010)P(z) P\left(z^{2}\right) P\left(z^{3}\right) \ldots P\left(z^{2010}\right).
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-141

Добуток многочлена у коренях з одиниці

Нехай z=cos⁡2π2011+isin⁡2π2011z = \cos \frac{2\pi}{2011} + i \sin \frac{2\pi}{2011}, і нехай P(x)=x2008+3x2007+6x2006+…+2008⋅20092x+2009⋅20102P(x) = x^{2008} + 3 x^{2007} + 6 x^{2006} + \ldots + \frac{2008 \cdot 2009}{2} x + \frac{2009 \cdot 2010}{2} для всіх комплексних чисел xx. Обчисліть P(z)P(z2)P(z3)…P(z2010)P(z) P\left(z^{2}\right) P\left(z^{3}\right) \ldots P\left(z^{2010}\right).
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-142

Асимптотика коефіцієнтів степеневого ряду

Нехай F(x)=1(2−x−x5)2011.F(x) = \frac{1}{\left(2 - x - x^{5}\right)^{2011}}. Функцію FF можна розкласти в степеневий ряд F(x)=∑n=0∞anxnF(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n. Знайдіть впорядковану пару додатних дійсних чисел (c,d)(c, d) таку, що lim⁡n→∞annd=c.\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{n^d} = c.
10–11 класиРаціональні функції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-143

Рекурентні послідовності з квадратним коренем у співвідношенні

Нехай {an}\{a_{n}\} і {bn}\{b_{n}\} — послідовності, задані рекурентно: a0=2;b0=2a_{0}=2 ; b_{0}=2, а an+1=an1+an2+bn2−bna_{n+1}=a_{n} \sqrt{1+a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}-b_{n}; bn+1=bn1+an2+bn2+anb_{n+1}=b_{n} \sqrt{1+a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}+a_{n}. Знайдіть трійковий запис (за основою 3) чисел a4a_{4} і b4b_{4}.
10–11 класиКомплексні числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-046

Частка перетворення коренів многочлена четвертого степеня

Нехай P(x)=x4+2x3−13x2−14x+24P(x) = x^{4} + 2x^{3} - 13x^{2} - 14x + 24 — многочлен з коренями r1,r2,r3,r4r_{1}, r_{2}, r_{3}, r_{4}. Нехай QQ — многочлен четвертого степеня з коренями r12,r22,r32,r42r_{1}^{2}, r_{2}^{2}, r_{3}^{2}, r_{4}^{2}, старший коефіцієнт якого дорівнює 11. Спростіть частку Q(x2)/P(x)Q(x^{2}) / P(x), відповідь подайте як вираз від xx. (Можете вважати, що xx не дорівнює жодному з r1,r2,r3,r4r_{1}, r_{2}, r_{3}, r_{4}.)
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-054

Відношення кількості ґратчастих шляхів у смузі

Нехай nn — ціле число, більше за 33. Нехай RR — множина точок цілочисельної решітки (x,y)(x, y) таких, що 0≤x,y≤n0 \leq x, y \leq n і ∣x−y∣≤3|x-y| \leq 3. Нехай AnA_{n} — кількість шляхів з (0,0)(0,0) до (n,n)(n, n), які складаються лише з кроків вигляду (x,y)→(x,y+1)(x, y) \rightarrow (x, y+1) і (x,y)→(x+1,y)(x, y) \rightarrow (x+1, y) та повністю містяться в RR. Знайдіть найменше додатне дійсне число, більше за An+1An\frac{A_{n+1}}{A_{n}} для всіх nn.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-056

Кількість цілочисельних многочленів між двома многочленами

Знайдіть кількість многочленів p(x)p(x) з цілими коефіцієнтами, що задовольняють p(x)≥min⁡{2x4−6x2+1,4−5x2}p(x) \geq \min \{2 x^{4}-6 x^{2}+1, 4-5 x^{2}\} і p(x)≤max⁡{2x4−6x2+1,4−5x2}p(x) \leq \max \{2 x^{4}-6 x^{2}+1, 4-5 x^{2}\} для всіх x∈Rx \in \mathbb{R}.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-057

Сума з біноміальними коефіцієнтами

Обчисліть значення ∑k=12011k−1k!(2011−k)!.\sum_{k=1}^{2011} \frac{k-1}{k!(2011-k)!} .
10–11 класиФормула біном Ньютона
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-059

Ітеровані перпендикуляри в рівнобедреному трикутнику

У трикутнику ABCABC AB=AC=182AB = AC = 182, BC=140BC = 140. Нехай X1X_{1} лежить на стороні ACAC так, що CX1=130CX_{1} = 130. Нехай пряма через X1X_{1}, перпендикулярна до BX1BX_{1} у точці X1X_{1}, перетинає ABAB у точці X2X_{2}. Визначимо точки X2,X3,…X_{2}, X_{3}, \ldots так: для непарного n≥1n \geq 1 нехай Xn+1X_{n+1} — перетин прямої ABAB з перпендикуляром до прямої Xn−1XnX_{n-1}X_{n} через XnX_{n}; для парного n≥2n \geq 2 нехай Xn+1X_{n+1} — перетин прямої ACAC з перпендикуляром до прямої Xn−1XnX_{n-1}X_{n} через XnX_{n}. Знайдіть суму BX1+X1X2+X2X3+…BX_{1} + X_{1}X_{2} + X_{2}X_{3} + \ldots
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-061

Розфарбування вершин парного многокутника

Скількома способами можна розфарбувати вершини 2n2n-кутника у три кольори так, щоб жодна вершина не мала того самого кольору, що й будь-яка з двох її сусідок або вершина, діаметрально протилежна їй?
10–11 класиШляхи на графах
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-062

Послідовні цілі числа із сумою цифр, не кратною 11

Нехай SS — множина послідовних натуральних чисел така, що для будь-якого цілого числа nn із SS сума цифр числа nn не кратна 11. Визначте найбільшу можливу кількість елементів множини SS.
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-065

Підрахунок лінійних рекурентних послідовностей за модулем простого числа

Нехай pp — просте натуральне число. Рекурентною за модулем pp послідовністю степеня nn назвемо послідовність {ak}k≥0\{a_k\}_{k \geq 0} чисел за модулем pp, що задовольняє співвідношення вигляду ai+n=cn−1ai+n−1+…+c1ai+1+c0aia_{i+n} = c_{n-1} a_{i+n-1} + \ldots + c_1 a_{i+1} + c_0 a_i для всіх i≥0i \geq 0, де c0,c1,…,cn−1c_0, c_1, \ldots, c_{n-1} — цілі числа і c0≢0(modp)c_0 \not\equiv 0 \pmod{p}. Обчисліть кількість різних лінійних рекурентних послідовностей степеня не більше nn через pp і nn.
10–11 класиПідрахунок двома способами

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.