Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

7 222 задачі
Комбінаторика
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-004

Підрахунок кіл і обгонів на круговій трасі

У місті Кордісбургу відбулася велосипедна гонка на круговому треку, в якій взяли участь троє велосипедистів — Гімарайнш, Роза і Жуан. За першу годину гонки Гімарайнш проїхав рівно 230 повних кіл, Жуан проїхав рівно 111 повних кіл, а скільки кіл проїхала Роза — невідомо, відомо лише, що це ціле число і що Роза проїхала більше кіл, ніж Жуан, і менше, ніж Гімарайнш. Крім того, кожен із них їхав зі сталою швидкістю, і всі стартували разом з однієї точки. Враховуючи також обгони, здійснені в початковий момент, скільки всього обгонів було здійснено за цю першу годину гонки?
10–11 класиІнші інваріанти
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-009

Перетворення кота на собаку трьома машинами

Професор Гільєрме створив три дивні машини. Машина AA перетворює кота на собаку з імовірністю 13\frac{1}{3}. Машина BB перетворює кота на собаку з імовірністю 25\frac{2}{5}. Машина CC перетворює кота на собаку з імовірністю 14\frac{1}{4}. А якщо тварина — собака, жодна з машин не виконує жодного перетворення. Професор Гільєрме помістив кота в машину AA, потім помістив тварину, отриману з машини AA, в машину BB і, нарешті, помістив тварину, отриману з машини BB, в машину CC. Яка ймовірність того, що з машини CC вийшов собака?
10–11 класиПравила суму та добутку
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-011

Довжина гамільтонового шляху в кубі

На рисунку нижче показано куб з ребром 1. а) Яка найменша можлива довжина шляху, утвореного ребрами куба, що проходить через усі 8 вершин? На рисунку нижче показано куб з ребром 1, в якому проведено всі 12 діагоналей граней. Таким чином, створено мережу з 14 вершинами (8 вершин куба та 6 центрів граней) і 36 ребрами (12 ребер куба та ще по 4 на кожній із 6 граней). б) Яка найменша можлива довжина шляху, утвореного ребрами цієї мережі, що проходить через усі 14 вершин?
10–11 класиШляхи на графах
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-012

Досяжність чисел дозволеними операціями

Даніел вигадав гру, в якій дозволено виконувати лише такі операції: - додати чотири одиниці; - помножити на чотири; - піднести до квадрата. Починаючи з певного числа, Даніел пропонує другові отримати інше число, послідовно виконуючи будь-яку з дозволених операцій. Наприклад, Даніел запропонував Алану отримати число 152 з числа 3. Алан зумів виграти, виконавши такі операції: a) Даніел запропонував Алану отримати число 340 з числа 3. Алан зумів виграти у спосіб, проілюстрований нижче: 3⟶9⟶81⟶85⟶3403 \longrightarrow 9 \longrightarrow 81 \longrightarrow 85 \longrightarrow 340 Опишіть, яку операцію використав Алан на кожному з етапів. b) Покажіть, що Алан міг би також отримати число 340, починаючи з числа 5. c) Припустімо, що Алан починає випробування з числа, яке при діленні на 4 дає остачу 1. Покажіть, що після будь-якого етапу випробування отримане число може мати лише остачу 1 або 0. d) Покажіть, що можна виграти випробування з отриманням числа 43 з числа 3. Покажіть також, що неможливо виграти його, починаючи з числа 5.
10–11 класиОстача від ділення
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-013

Підрахунок незвичайних шляхів у діаграмі

Розглянемо діаграму, зображену нижче: Аугушту любить рахувати шляхи, що починаються в деякій точці, приходять у точку AA і ніколи не проходять через одну й ту саму вершину двічі. Для цього він зображує шлях послідовністю точок, які відвідує шлях. Наприклад, пунктирний шлях на рисунку нижче зображується послідовністю DCBAD C B A. Аугушту називає шлях незвичайним, якщо послідовність, що зображує цей шлях, упорядкована у зворотному алфавітному порядку. Іншими словами, шлях є незвичайним, якщо він ніколи не йде вліво, чи то вгору, чи то вниз. Наприклад, шлях DCBAD C B A є незвичайним. А шлях DBCAD B C A не є незвичайним, оскільки літера CC з'являється перед літерою BB. a) Скільки існує незвичайних шляхів, що починаються в DD і закінчуються в AA? b) Покажіть, що кількість незвичайних шляхів, які починаються в EE, дорівнює сумі кількості незвичайних шляхів, які починаються в DD, і кількості незвичайних шляхів, які починаються в CC. c) Аугушту обчислив кількість незвичайних шляхів, що виходять з KK і приходять в AA. Чому дорівнює це число?
10–11 класиРекурентний підрахунок
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-016

Дружні зв'язки в групі з п'яти учнів

Арналдо, Берналдо, Серналдо, Дерналдо й Ерналдо — учні з різних частин Бразилії, яких обрали представляти свою країну на міжнародних олімпіадах. Після кількох тижнів тренувань між ними зав'язалася дружба. Тоді ми запитали в кожного з них, скільки друзів він знайшов у групі. Арналдо, Берналдо, Серналдо і Дерналдо відповіли відповідно, що знайшли всередині групи 1, 2, 3 і 4 друзів. Скільки учасників групи дружать з Ерналдо?
10–11 класиСтепені вершин
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-019

Замощення дошки 2×n доміно

Малий Абель отримав у подарунок дошку 2×n2 \times n і nn фішок розміром 2×12 \times 1. Наприклад, на рисунку нижче показано випадок, коли n=10n=10, тобто коли Абель має дошку 2×102 \times 10 і 10 фішок розміром 2×12 \times 1. Він бавиться, заповнюючи дошку за допомогою nn фішок. Наприклад, при n=10n=10 Абель міг би заповнити її способами, проілюстрованими нижче: Зауважте, однак, що існує багато інших способів, якими Абель може заповнити свою дошку. a) Обчисліть загальну кількість способів, якими Абель може заповнити свою дошку у випадках, коли n=1,n=2n=1, n=2 і n=3n=3, тобто у випадку, коли дошки мають розміри 2×1,2×22 \times 1,2 \times 2 і 2×32 \times 3. b) Нехай ana_{n} — кількість способів, якими Абель може заповнити дошку 2×n2 \times n, використавши nn фішок 2×12 \times 1. Покажіть, що a10=a9+a8a_{10}=a_{9}+a_{8}. c) Обчисліть загальну кількість способів, якими Абель може заповнити свою дошку, коли n=10n=10.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-022

Непарні числа на діагоналях дошки 5×5

На дошці 5×55 \times 5 розставлено числа 1,2,3,…,251,2,3, \ldots, 25 так, що кожна клітинка зайнята одним числом і будь-які два послідовні числа завжди стоять у сусідніх клітинках. На рисунку нижче показано приклад такого розставлення. | 3 | 4 | 5 | 24 | 23 | |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: | | 2 | 1 | 6 | 25 | 22 | | 9 | 8 | 7 | 20 | 21 | | 10 | 13 | 14 | 19 | 18 | | 11 | 12 | 15 | 16 | 17 | a) Доведіть, що за будь-якого розставлення, яке задовольняє цю умову, усі числа, поставлені в клітинках обох діагоналей, є непарними. Назвемо головною діагоналлю діагональ дошки, пофарбовану в білий колір на рисунку нижче. Зауважимо, що головна діагональ ділить дошку на дві зони, верхню та нижню. b) Нехай xx і yy — два числа з {1,2,…,25}\{1,2, \ldots, 25\} такі, що x<yx<y. Доведіть, що якщо xx і yy належать різним зонам, то існує число zz, розташоване на головній діагоналі, таке, що x≤z≤yx \leq z \leq y. c) Знайдіть найменше значення, якого може набувати сума чисел, поставлених на головній діагоналі, коли числа розставлено на дошці з дотриманням умови задачі.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-023

Найбільше зигзагоподібне число

Натуральне число називається зигзагоподібним, якщо воно задовольняє такі три умови: - Його цифри ненульові й різні. - Воно не має трьох послідовних цифр у порядку зростання. - Воно не має трьох послідовних цифр у порядку спадання. Наприклад, 1438514385 і 29172917 — зигзагоподібні, а 25642564 і 7154471544 — ні. a) Знайдіть найбільше зигзагоподібне число. b) Скільки існує чотирицифрових зигзагоподібних чисел?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2013-002

Обходи кола із забороненими ходами

Для натурального числа n≥3n \ge 3 позначимо на колі nn точок, що ділять його на рівні дуги. Одну з них позначимо AA і поставимо в неї фішку. Фішку можна рухати вперед за годинниковою стрілкою або в наступну точку, або через одну. Отже, загалом є 2n2n різних ходів; по два з кожної точки. Нехай ana_n — кількість способів рівно двічі обійти коло, починаючи і закінчуючи в AA, не повторюючи жодного ходу. Доведіть, що an−1+an=2na_{n-1} + a_n = 2^n для всіх n≥4n \ge 4.
10–11 класиРекурентний підрахунок4 розв’язки
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2013-003

Максимальна кількість перевертань у трикутній решітці

Нехай nn — натуральне число. Є n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2} фішок, у кожної з яких один бік чорний, а другий білий; вони розкладені у рівносторонній трикутник, причому найбільший ряд містить nn фішок. Спочатку кожна фішка лежить чорним боком угору. Операція полягає у виборі прямої, паралельної одній зі сторін трикутника, та перевертанні всіх фішок на цій прямій. Конфігурацію називають допустимою, якщо її можна одержати з початкової конфігурації, виконавши скінченну кількість операцій. Для кожної допустимої конфігурації CC нехай f(C)f(C) позначає найменшу кількість операцій, потрібну для одержання CC з початкової конфігурації. Знайдіть найбільше значення f(C)f(C), де CC пробігає всі допустимі конфігурації.
10–11 класиПарність і непарність
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2012-003

Роботи на прямокутній дошці з прохідними ребрами

На клітинках скінченної прямокутної дошки розміщено кілька роботів. В одній клітинці може перебувати будь-яка кількість роботів. Кожне ребро сітки класифіковано як прохідне або непрохідне. Усі ребра на межі дошки — непрохідні. Можна подавати будь-яку з команд вгору, вниз, вліво або вправо. Тоді всі роботи одночасно намагаються рухатися у вказаному напрямку. Якщо ребро, прилегле до робота в цьому напрямку, прохідне, робот переходить через нього в сусідню клітинку. Інакше робот залишається на своїй поточній клітинці. Після цього можна подати ще одну команду вгору, вниз, вліво або вправо, потім ще одну, і так далі, скільки завгодно. Припустимо, що для будь-якого окремого робота і будь-якої клітинки дошки існує скінченна послідовність команд, яка перемістить цього робота в цю клітинку. Доведіть, що можна також подати таку скінченну послідовність команд, щоб усі роботи одночасно опинилися в одній клітинці.
10–11 класиНапівінваріанти
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2012-004

Сортування вставленням томів на своє місце

На полиці стоїть nn томів, позначених числами від 11 до nn у деякому порядку. Бібліотекар хоче поставити їх у правильному порядку в такий спосіб. Бібліотекар вибирає том, що стоїть занадто праворуч, скажімо, том з номером kk, виймає його і вставляє так, щоб він опинився на kk-му місці. Наприклад, якщо на полиці томи стоять у порядку 11, 33, 22, 44, бібліотекар може взяти том 22 і поставити його на друге місце. Тоді книги стоятимуть у правильному порядку 11, 22, 33, 44. a. Доведіть, що якщо повторювати цей процес, то, хоч би як бібліотекар робив вибір, усі томи зрештою опиняться у правильному порядку. b. Яка найбільша кількість кроків може знадобитися для цього процесу?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2012-004

Перестановки з умовою на суму індексів

Нехай nn — натуральне число, кратне 4. Розглянемо перестановки (a1,a2,…,an)(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}) чисел (1,2,…,n)(1,2, \ldots, n) з такою властивістю: для кожного jj, якщо покласти i=aji=a_{j}, то ai+j=n+1a_{i}+j=n+1. Доведіть, що існує рівно (12n)!(14n)!\frac{\left(\frac{1}{2} n\right)!}{\left(\frac{1}{4} n\right)!} таких перестановок.
10–11 класиПерестановки
Відбіркові тести на EGMOEGTST-2012-001

Множина з властивістю взаємної простоти

Нехай k⩾2k \geqslant 2 — ціле число. 1) Нехай n>kn > k — ціле число. Чи існує nn натуральних чисел таких, що будь-які kk з них ніколи не є взаємно простими в сукупності, але будь-які k+1k+1 завжди є взаємно простими в сукупності? 2) Чи існує нескінченна послідовність натуральних чисел, яка задовольняє обидві наведені вище умови?
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2012-007

Хроматичне число цілочисельної решітки при відстані п'ять

Знайдіть найменшу кількість кольорів, необхідну для того, щоб пофарбувати всі точки площини з цілими координатами так, щоб жодні дві точки, відстань між якими дорівнює рівно п'яти одиницям, не мали однакового кольору.
8–10 класиГеометричні розфарбування
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2012-023

Нумерація вершин поділеного трикутника

Рівносторонній трикутник зі стороною 33 поділено на 99 рівносторонніх трикутників зі стороною 11. У кожну точку, яка є вершиною малого трикутника (зафарбовані вершини на рисунку), вписано ціле число від 11 до 1010 так, що всі числа використано рівно один раз. У кожний малий трикутник вписано суму чисел, що стоять у його трьох вершинах. Доведіть, що принаймні три з цих сум більші за 1111.
9 класРозбиття на випадки
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2012-033

Кола, дотичні до прямих зі спільною точкою

Юрі хоче накреслити nn кіл і довільну кількість прямих на площині так, щоб усі прямі перетиналися в одній точці, а для будь-яких двох кіл існували дві прямі, які дотикаються до обох цих кіл. a) Чи може Юрі розв’язати цю задачу для будь-якого n≥2n \ge 2? b) Для яких натуральних чисел nn можна розв’язати цю задачу, якщо додатково всі кола повинні мати однаковий радіус?
9 класДотична кола
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2012-028

Нумерація вершин розбитого трикутника

Рівносторонній трикутник зі стороною 33 поділено на 99 рівносторонніх трикутників зі стороною 11. У кожну точку, яка є вершиною малого трикутника (зафарбовані вершини на рисунку), вписано ціле число від 11 до 1010 так, що всі числа записано рівно по одному разу. Для кожного малого трикутника суму чисел у трьох його вершинах записано всередині нього. Доведіть, що існують три малі трикутники такі, що сума чисел усередині них принаймні 4848.
10 класПринцип Діріхле (скінченні множин…2 розв’язки
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2012-020

Ітерований процес різниць у таблиці 3×3

Учитель намалював у зошиті Юку таблицю 3×33 \times 3 і вписав у кожну клітинку по числу. Потім він дав Юку таке завдання. 1. Перегорни сторінку й накресли таку саму таблицю. У перший рядок запиши числа, отримані відніманням чисел третього рядка відповідного стовпця від чисел другого рядка відповідного стовпця попередньої таблиці. Аналогічно числа в другому й третьому рядках отримують як різниці третього й першого, а також першого й другого рядків. 2. Перегорни сторінку й накресли нову таблицю. У перший стовпець запиши числа, отримані відніманням чисел третього стовпця від чисел другого стовпця у відповідному рядку попередньої таблиці. Аналогічно числа в другому й третьому стовпцях отримують як різниці третього й першого, а також першого й другого стовпців. Почергово повторюй кроки 1 і 2, доки не дійдеш до таблиці, в якій усі числа — нулі. Юку дійшов до кінця третьої сторінки й досі не отримав таблицю з самих нулів. Доведіть, що його завдання ніколи не завершиться.
10–11 класиРетроспективний алгоритм
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2012-034

Зведення подвійного покриття доміно

Скінченну клітинну дошку вкрито картками 1×21 \times 2 так, що краї карток збігаються з лініями сітки, жодна картка не виходить за край дошки, а кожна клітинка вкрита рівно двома картками. Доведіть, що можна прибрати деякі з карток так, щоб кожна клітинка була вкрита рівно однією карткою.
11 класРозрізання, покриття та замощення
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2012-031

Покриття точок великим рівностороннім трикутником

У квадраті зі стороною 1111 позначено 2012 точок. Доведіть, що можна вибрати рівносторонній трикутник зі стороною 1212, який покриває принаймні 671671 точку.
11 класПокриття, пакування, фарбування
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2012-011

Найбільша кількість змійок із чотирьох клітинок на непарній дошці

Нехай kk — натуральне число. Визначте найбільшу кількість змійок, що складаються з чотирьох клітинок (див. рисунок), які можна розмістити на шахівниці (2k+1)×(2k+1)(2k+1) \times (2k+1) так, щоб змійки не перекривалися й не виходили за краї дошки. Змійки можна повертати та відбивати.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Французька математична олімпіадаFRMO-2012-009

Нумерація ребер куба з рівними сумами у вершинах

Чи можна пронумерувати ребра куба числами від 1 до 12 так, щоб сума чисел на ребрах, що сходяться в одній вершині куба, була однаковою для всіх вершин?
8–10 класиПідрахунок двома способами
Французька математична олімпіадаFRMO-2012-001

Зібрання з k осіб і спільним знайомим

Нехай nn та kk — два натуральні числа. Розглянемо зібрання з kk осіб таке, що для будь-якої групи з nn осіб знайдеться (n+1)(n+1)-а особа, яка знає всіх їх (якщо AA знає BB, то BB знає AA). 1) Якщо k=2n+1k=2 n+1, доведіть, що існує особа, яка знає всіх інших. 2) Якщо k=2n+2k=2 n+2, наведіть приклад такого зібрання, в якому ніхто не знає всіх інших.
9–11 класиКонструкція за індукцією

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.