Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

824 задачі
ГеометріяДопоміжне коло (перекидання кутів)
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2021-007

Проєкції та середина в трикутнику

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з BC>ACBC > AC. Серединний перпендикуляр до сторони ABAB перетинає пряму BCBC у точці XX і пряму ACAC у точці YY. Нехай PP — проєкція точки XX на пряму ACAC, а QQ — проєкція точки YY на пряму BCBC. Доведіть, що пряма PQPQ перетинає відрізок ABAB у його середині.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)3 розв’язки
Відбірковий тест на BxMO та EGMOBXTST-2020-002

Коло відображень основи висоти у трикутнику

У гострокутному трикутнику ABCABC основу висоти з AA позначено DD. Нехай D1D_1 і D2D_2 — образи точки DD при симетрії відносно прямих ABAB і ACAC відповідно. Перетин прямої BCBC і прямої через D1D_1, паралельної до ABAB, позначено E1E_1. Перетин прямої BCBC і прямої через D2D_2, паралельної до ACAC, позначено E2E_2. Доведіть, що D1,D2,E1D_1, D_2, E_1 і E2E_2 лежать на колі, центр якого лежить на описаному колі △ABC\triangle ABC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-047

Паралельні прямі із симетрії відносно точки

Нехай ABCABC — трикутник, а Γ\Gamma — його описане коло. Нехай PP — точка перетину прямої (BC)(BC) і дотичної до кола Γ\Gamma в AA. Нехай DD і EE — точки, симетричні точкам BB і AA відповідно відносно PP. Нехай далі ω1\omega_{1} — описане коло трикутника DACDAC, а ω2\omega_{2} — описане коло трикутника APBAPB. Позначимо через FF точку перетину кіл ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2}, відмінну від AA, а потім позначимо через GG точку перетину, відмінну від FF, кола ω1\omega_{1} з прямою (BF)(BF). Доведіть, що прямі (BC)(BC) і (EG)(EG) паралельні.
8–10 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-037

Дотичні та паралель через перетини кіл

Нехай ABCABC — трикутник, а Γ\Gamma — коло, що проходить через AA. Припустимо, що Γ\Gamma повторно перетинає відрізки [AB][AB] та [AC][AC] у двох точках, які позначимо відповідно DD та EE, і перетинає відрізок [BC][BC] у двох точках, які позначимо FF та GG, так що FF лежить між BB та GG. Нехай TT — точка перетину дотичної в FF до описаного кола трикутника BDFBDF та дотичної в GG до описаного кола трикутника CEGCEG. Доведіть, що якщо точки AA та TT різні, то прямі (AT)(AT) та (BC)(BC) паралельні.
10–11 класиДотична кола
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-022

Циклічність у трикутнику з бісектрисою

Нехай ABCABC — трикутник, не рівнобедрений з вершиною BB. Нехай DD — основа бісектриси кута ABC^\widehat{ABC}. Нехай MM — середина дуги AC^\widehat{AC}, що містить BB, на описаному колі трикутника ABCABC. Описане коло трикутника BDMBDM перетинає відрізок [AB][AB] у точці KK, відмінній від BB. Нехай JJ — точка, симетрична точці AA відносно точки KK. Пряма (DJ)(DJ) перетинає пряму (AM)(AM) у точці OO. Доведіть, що точки JJ, BB, MM і OO лежать на одному колі.
8–10 класиСтепінь точки відносно кола
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-041

Точки на одному колі в конфігурації напіввписаного кола

Нехай ABCABC — трикутник, Ω\Omega — його описане коло, а OO — центр кола Ω\Omega. Нехай SS — центр кола, дотичного до сторін ABAB і ACAC та дотичного внутрішнім чином до кола Ω\Omega в точці KK. Коло з діаметром [AS][AS] вдруге перетинає коло Ω\Omega в точці TT. Нехай MM — середина відрізка [BC][BC]. Доведіть, що точки KK, TT, MM і OO належать одному колу.
10–11 класиКола, що дотикаються
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-045

Площа трикутника з дотичних до кола

Нехай ω1\omega_{1} — коло радіуса 55, а ω2\omega_{2} — коло радіуса 22, центр якого лежить на колі ω1\omega_{1}. Нехай два кола перетинаються в точках AA і BB, а дотичні до кола ω2\omega_{2} в точках AA і BB перетинаються в точці PP. Якщо площу △ABP\triangle ABP можна записати у вигляді abc\frac{a \sqrt{b}}{c}, де bb — число, вільне від квадратів, а a,ca, c — взаємно прості натуральні числа, обчисліть 100a+10b+c100a + 10b + c.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-070

Чотирикутник з відношеннями кутів і площ

У чотирикутнику ABCDA B C D існує точка EE на відрізку ADA D така, що AEED=19\frac{A E}{E D}=\frac{1}{9} і ∠BEC\angle B E C — прямий кут. Крім того, площа трикутника CEDC E D у 27 разів більша за площу трикутника AEBA E B. Якщо ∠EBC=∠EAB\angle E B C=\angle E A B, ∠ECB=∠EDC\angle E C B=\angle E D C і BC=6B C=6, обчисліть значення AD2A D^{2}.
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників
Відбіркові тести на IMOTST-2020-001

Гострокутний трикутник з умовою про вписане коло

У гострокутному трикутнику ABCABC центр вписаного кола — II, причому ∣AC∣+∣AI∣=∣BC∣|AC| + |AI| = |BC|. Доведіть, що ∠BAC=2∠ABC\angle BAC = 2\angle ABC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2020-009

Відображені точки на колі в трикутнику

У гострокутному трикутнику ABCA B C точка DD — основа висоти, проведеної з AA. Нехай D1D_{1} і D2D_{2} — образи точки DD при симетрії відносно прямих ABA B і ACA C відповідно. Точку перетину прямої BCB C з прямою, що проходить через D1D_{1} паралельно ABA B, позначимо E1E_{1}. Точку перетину прямої BCB C з прямою, що проходить через D2D_{2} паралельно ACA C, позначимо E2E_{2}. Доведіть, що точки D1,D2,E1D_{1}, D_{2}, E_{1} і E2E_{2} лежать на одному колі, центр якого лежить на описаному колі трикутника △ABC\triangle A B C.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2020-016

Пряма AP і точки X та Y з перпендикулярів

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а PP — перетин дотичних у точках BB і CC до описаного кола трикутника △ABC\triangle ABC. Пряма через точку AA, перпендикулярна до ABAB, і пряма через точку CC, перпендикулярна до ACAC, перетинаються в точці XX. Пряма через точку AA, перпендикулярна до ACAC, і пряма через точку BB, перпендикулярна до ABAB, перетинаються в точці YY. Доведіть, що AP⊥XYAP \perp XY.
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників
Відбіркові тести на IMOTST-2020-019

Точки перетину перпендикулярів і пряма AP

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а PP — перетин дотичних у BB і CC до описаного кола трикутника △ABC\triangle ABC. Пряма через AA перпендикулярно до ABAB і пряма через CC перпендикулярно до ACAC перетинаються в точці XX. Пряма через AA перпендикулярно до ACAC і пряма через BB перпендикулярно до ABAB перетинаються в точці YY. Доведіть, що AP⊥XYAP \perp XY.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Італійська математична олімпіадаITAMO-2020-010

Прямокутник з вписаним чотирикутником

Нехай ABCDABCD — прямокутник, а M,NM, N — внутрішні точки відповідно сторін ABAB та BCBC. Припустимо, що MC=CDMC = CD, MD=MNMD = MN і що точки C,D,M,NC, D, M, N належать одному колу. Чому дорівнює відношення AB/BCAB / BC? (A) 1+32\frac{1+\sqrt{3}}{2} (B) 2\sqrt{2} (C) 32\frac{3}{2} (D) 3\sqrt{3} (E) 22
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2020-005

Ділення навпіл у трикутнику з висотами і колами

Нехай △ABC\triangle ABC — гострокутний трикутник, у якому AB>ACAB > AC. Нехай PP — основа висоти з CC на ABAB, а QQ — основа висоти з BB на ACAC. Нехай XX — перетин прямих PQPQ і BCBC. Нехай перетин описаних кіл трикутника △AXC\triangle AXC і трикутника △PQC\triangle PQC складається з двох різних точок: CC і YY. Доведіть, що пряма PYPY ділить відрізок AXAX навпіл.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2020-001

Паралельні прямі в конфігурації з колом

Нехай kk — коло з центром OO. Нехай A,B,CA, B, C і DD — чотири різні точки на колі kk у такому порядку, що ABA B — діаметр кола kk. Описане коло трикутника CODC O D перетинає ACA C вдруге в точці PP. Доведіть, що прямі OPO P і BDB D паралельні.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)3 розв’язки
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2020-002

Бісектриси кутів і паралельні хорди

Нехай ABCABC — трикутник, у якого AB>ACAB > AC. Бісектриси кутів при вершинах BB і CC перетинаються в точці II всередині трикутника ABCABC. Описане коло трикутника BICBIC перетинає ABAB вдруге в точці XX і ACAC вдруге в точці YY. Доведіть, що пряма CXCX паралельна прямій BYBY.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-007

Рівні кути в трапеції з паралельними сторонами

Нехай ABCDABCD — трапеція, у якій (AB)(AB) паралельна (CD)(CD). Нехай PP — точка відрізка [AC][AC], а QQ — точка відрізка [BD][BD] такі, що APD^=BQC^\widehat{APD} = \widehat{BQC}. Доведіть, що AQD^=BPC^\widehat{AQD} = \widehat{BPC}.
8–10 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-033

Середина сторони на прямій, визначеній серединою дуги

Нехай ABCABC — трикутник, усі кути якого гострі, причому AB≠ACAB \neq AC. Нехай Γ\Gamma — описане коло трикутника ABCABC, а DD — середина дуги BC^\widehat{BC}, що не містить AA. Нехай EE і FF — точки, які належать відповідно відрізкам [AB][AB], [AC][AC], такі, що AE=AFAE = AF. Нехай PP — точка перетину, відмінна від AA, кола Γ\Gamma та описаного кола трикутника AEFAEF. Нехай GG і HH — точки перетину, відмінні від PP, кола Γ\Gamma з прямими (PE)(PE) і (PF)(PF) відповідно. Нарешті, нехай JJ — точка перетину прямих (AB)(AB) і (DG)(DG), а KK — точка перетину прямих (AC)(AC) і (DH)(DH). Доведіть, що середина відрізка [BC][BC] належить прямій (JK)(JK).
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-010

Перетин хорди і діаметра

Нехай Γ\Gamma — коло з центром OO та радіусом rr, а ℓ\ell — пряма, яка не перетинає Γ\Gamma. Позначимо через EE точку перетину прямої ℓ\ell з прямою, перпендикулярною до ℓ\ell, що проходить через OO. Нехай MM — точка прямої ℓ\ell, відмінна від EE. Дотичні до кола Γ\Gamma, проведені через MM, дотикаються до кола Γ\Gamma у точках AA і BB. Нарешті, нехай HH — точка перетину прямих ABAB і OEOE. Доведіть, що OH=r2OEOH = \dfrac{r^2}{OE}.
8–10 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-004

Циклічні чотирикутники і дотичні

Нехай ABCABC — трикутник, усі три кути якого гострі, причому AB>ACAB > AC, а Ω\Omega — його описане коло. Позначимо через MM середину відрізка [BC][BC]. Дотичні до кола Ω\Omega в точках BB і CC перетинаються в точці PP, а прямі (AP)(AP) і (BC)(BC) перетинаються в точці SS. Позначимо через DD основу висоти, проведеної з BB в трикутнику ABPABP, а через ω\omega — описане коло трикутника CSDCSD. Нарешті, позначимо через KK другу точку перетину (після CC) кіл ω\omega і Ω\Omega. Доведіть, що CKM^=90∘\widehat{CKM} = 90^{\circ}.
8–10 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-022

Рівнобедрений трикутник із проєкцій

Нехай ABCABC — рівнобедрений трикутник з вершиною AA, але не прямокутний. Нехай DD — точка на прямій (BC)(BC) така, що (AD)(AD) перпендикулярна до (AB)(AB), а EE — ортогональна проєкція DD на пряму (AC)(AC). Нехай, нарешті, HH — середина відрізка [BC][BC]. Доведіть, що трикутник AHEAHE — рівнобедрений з вершиною HH.
9–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-019

Симетрія і перетин описаних кіл

Нехай ABCABC — трикутник, і нехай EE та FF — дві точки, що належать відповідно прямим (AB)(AB) та (AC)(AC), відмінні від AA, BB та CC. Нехай також Ω\Omega — описане коло трикутника ABCABC, нехай OO — центр кола Ω\Omega, а Γ\Gamma — описане коло трикутника AEFAEF. Нарешті, нехай PP — точка перетину кіл Γ\Gamma і Ω\Omega, відмінна від AA, а QQ — точка, симетрична PP відносно прямої (EF)(EF). Доведіть, що QQ належить прямій (BC)(BC) тоді й лише тоді, коли OO належить колу Γ\Gamma.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-109

Синус кута RPD у рівнобічній трапеції

Нехай ABCDABCD — рівнобічна трапеція, у якій AB=1AB = 1, BC=DA=5BC = DA = 5, CD=7CD = 7. Нехай PP — перетин діагоналей ACAC і BDBD, а QQ — основа висоти з DD на BCBC. Нехай PQPQ перетинає ABAB у точці RR. Обчисліть sin⁡∠RPD\sin \angle RPD.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-102

Рівнобічна трапеція з умовою прямого кута

Нехай ABCDABCD — рівнобічна трапеція, у якій AD=BC=255AD = BC = 255 і AB=128AB = 128. Нехай MM — середина сторони CDCD, а NN — основа перпендикуляра з AA на пряму CDCD. Якщо ∠MBC=90∘\angle MBC = 90^{\circ}, обчисліть tg⁡∠NBM\operatorname{tg} \angle NBM.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2019-005

Циклічність точок із дотичного кола

У вписаному чотирикутнику ABCDA B C D нехай EE — точка перетину діагоналей. Пряма через EE, відмінна від ACA C або BDB D, перетинає ABA B у точці PP та BCB C у точці QQ. Коло, яке дотикається до прямої PQP Q у точці EE і проходить через DD, перетинає описане коло чотирикутника ABCDA B C D ще раз у точці RR. Доведіть, що точки B,P,RB, P, R і QQ лежать на одному колі.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.