Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

644 задачі
Теорія чиселМетод математичної індукції
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2008-001

Попарно взаємно прості числа та добуток послідовних чисел

Доведіть, що для кожного натурального числа nn існують попарно взаємно прості цілі числа k0,k1,…,knk_0, k_1, \dots, k_n, усі строго більші за 1, такі, що k0k1⋯kn−1k_0 k_1 \cdots k_n - 1 є добутком двох послідовних цілих чисел.
10–11 класиМетод математичної індукції3 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-055

Сума значень функції Ейлера дорівнює квадратичному виразу

Знайдіть усі натуральні числа nn такі, що ∑k=1nϕ(k)=3n2+58\sum_{k=1}^{n} \phi(k)=\frac{3 n^{2}+5}{8}
10–11 класиФункція Ейлера φ(n)
Відбіркові тести на IMOTST-2007-002

Підмножини з умовою степеня двійки на суму

Нехай nn — натуральне число, більше за одиницю, а B={1,2,…,2n}B=\{1,2, \ldots, 2^{n}\}. Підмножина AA множини BB називається кумедною, якщо з кожних двох різних елементів x,yx, y множини BB, сума яких є степенем двійки, вона містить рівно один. Скільки кумедних підмножин має BB?
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові тести на IMOTST-2007-007

Число Рамсея для неперетинних пар

Двох людей назвемо знайомою парою, якщо вони знають одне одного, а якщо вони не знають одне одного — назвемо їх незнайомою парою (знайомство чи незнайомство завжди взаємне). Нехай m,nm, n — натуральні числа. Знайдіть найменше натуральне число kk з такою властивістю: у будь-якій групі з kk людей завжди знайдуться 2m2 m людей, які утворюють mm попарно неперетинних знайомих пар, або знайдуться 2n2 n людей, які утворюють nn попарно неперетинних незнайомих пар.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові тести на IMOTST-2007-010

Подільність степеня мінус показник на фіксоване число

З'ясуйте, чи існують натуральні числа aa і bb такі, що aa не ділить bn−nb^n - n для всіх натуральних чисел nn.
10–11 класиТеорема Ейлера
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2007-017

Виграшна стратегія в грі з модульною сумою

Нехай nn — натуральне число. Двоє гравців PP, QQ грають у гру, в якій вони по черзі називають ціле число mm (1≤m≤n1 \le m \le n). Першим число називає PP. Вони не можуть називати числа, які вже назвав хтось із гравців. Гра закінчується, коли ніхто не може назвати число. Якщо сума чисел, названих PP, ділиться на 33, то перемагає PP, інакше перемагає QQ. Знайдіть усі nn, які задовольняють наведену нижче умову. Умова: PP може виграти гру незалежно від дій QQ.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2007-020

Ірраціональні числа з умовою включення множин цілих частин

Нехай [r][r] — найбільше ціле число, яке не перевищує дійсне число rr. Для додатних дійсних чисел xx множина A(x)A(x) визначається так: A(x)={[nx]∣n:натуральне число}.A(x) = \{[nx] \mid n: \text{натуральне число}\}. Знайдіть усі ірраціональні числа α>1\alpha > 1, що задовольняють таку умову. Умова: якщо додатне дійсне число β\beta задовольняє A(α)⊃A(β)A(\alpha) \supset A(\beta), то βα\frac{\beta}{\alpha} — ціле число.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2007-010

Прямокутники, що ділять площину

На площину покладено 3 прямокутники, причому будь-які 2 прямокутники мають попарно паралельні сторони. Вони ділять площину на кілька частин. Визначте найбільшу можливу кількість таких частин. (Область, яка не міститься в жодному з прямокутників, вважаємо однією частиною. Наприклад, якщо є лише 1 прямокутник, площина ділиться на 2 частини.)
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2007-003

Попарно неперетинні підмножини в розбитті на два класи

Нехай SS — множина, що містить n2+n−1n^2 + n - 1 елементів, для деякого натурального числа nn. Припустімо, що nn-елементні підмножини множини SS розбито на два класи. Доведіть, що в одному класі є щонайменше nn попарно неперетинних множин.
10–11 класиМетод математичної індукції
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2007-004

Попарно неперетинні n-елементні підмножини в одному класі розбиття

Нехай SS — множина, що містить n2+n−1n^2 + n - 1 елементів, для деякого натурального числа nn. Припустімо, що nn-елементні підмножини множини SS розбито на два класи. Доведіть, що знайдеться щонайменше nn попарно неперетинних множин в одному класі.
10–11 класиМетод математичної індукції
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2007-006

Прості множники числа 7^{7^n}+1

Доведіть, що для кожного невід'ємного цілого числа nn число 77n+17^{7^n} + 1 є добутком щонайменше 2n+32n+3 (не обов'язково різних) простих чисел.
10–11 класиМетод математичної індукції
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2006-003

Прямокутна таблиця з рівними сумами рядків і стовпців

У прямокутній таблиці з невід’ємних дійсних чисел з mm рядками та nn стовпцями кожен рядок і кожен стовпець містить принаймні один додатний елемент. Крім того, якщо рядок і стовпець перетинаються в додатному елементі, то суми їхніх елементів однакові. Доведіть, що m=nm=n.
10–11 класиПідрахунок двома способами2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2006-027

Неперетинні чорні шляхи в розфарбованій сітці

Розглянемо m×nm \times n-прямокутник з mnm n одиничних квадратів. Два його одиничні квадрати називаються сусідніми, якщо вони мають спільну сторону, а шлях — це послідовність одиничних квадратів, у якій будь-які два послідовні елементи сусідні. Кожен одиничний квадрат прямокутника можна пофарбувати або в білий, або в чорний колір. Коли всі квадрати пофарбовано, маємо розфарбування прямокутника. Нехай NN — кількість усіх таких розфарбувань, за яких існує принаймні один чорний шлях від лівої до правої сторони прямокутника. Далі нехай MM — кількість усіх розфарбувань, за яких існують принаймні два чорні шляхи від лівої до правої сторони прямокутника, які не мають спільного квадрата. Доведіть, що N2≥M⋅2mnN^{2} \geq M \cdot 2^{m n}.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові тести на IMOTST-2006-010

Перефарбування чисел із взаємною простотою

Нехай nn — натуральне число. Кожне з чисел {1,2,…,n}\{1,2, \ldots, n\} пофарбовано в білий або чорний колір. Далі можна неодноразово вибирати число і перефарбовувати його, а також усі числа, що не є взаємно простими з ним. Спочатку всі числа білі. Для яких nn можна досягти того, щоб у певний момент усі числа стали чорними?
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові тести на IMOTST-2006-013

Недосяжна сума знакових степенів двійки

Нехай nn — натуральне число. Знайдіть із доведенням найменше натуральне число dnd_n, яке не можна подати у вигляді ∑i=1n(−1)ai2bi,\sum_{i=1}^{n} (-1)^{a_i} 2^{b_i}, де aia_i і bib_i — невід'ємні цілі числа для кожного ii.
10–11 класиМетод математичної індукції
Італійська математична олімпіадаITAMO-2006-004

Нерівність для циклічної суми добутків

Розглянемо нерівність (x1+…+xn)2≥4(x1x2+x2x3+…+xnx1).\left(x_{1}+\ldots+x_{n}\right)^{2} \geq 4\left(x_{1} x_{2}+x_{2} x_{3}+\ldots+x_{n} x_{1}\right) . а. Визначте, для яких n≥3n \geq 3 вона справджується для будь-якого вибору додатних дійсних чисел x1,…,xnx_{1}, \ldots, x_{n}. б. Визначте, для яких n≥3n \geq 3 вона справджується для будь-якого вибору дійсних чисел x1,…,xnx_{1}, \ldots, x_{n}.
10–11 класиЧислові нерівності
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2006-005

Добрі числа з сумою дільників

Натуральне число NN називається «n-добрим числом», якщо воно задовольняє такі дві властивості: (Властивість 1) NN ділиться принаймні на nn різних простих чисел (Властивість 2) Існують різні додатні дільники 1,x2,…,xn1, x_2, \dots, x_n числа NN такі, що 1+x2+⋯+xn=N.1 + x_2 + \dots + x_n = N. Доведіть, що для кожного n≥6n \ge 6 існує «n-добре число».
10–11 класиМетод математичної індукції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2005-031

Розбиття кутика на менші кутики та їх орієнтації

Фігуру у формі L, утворену з трьох рівних квадратів, можна розбити на чотири менші фігури у формі L. Кожну з них своєю чергою можна розбити далі, і так далі. Якщо виконати 2005 послідовних розбиттів, скільки з 420054^{2005} фігур L, що залишаться наприкінці, матимуть ту саму орієнтацію, що й початкова?
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2004-085

Переповнені кімнати з послідовним переселенням

Уздовж довгого коридору в ряд розташовано 1000 кімнат. Спочатку в першій кімнаті перебуває 1000 людей, а решта кімнат порожні. Щохвилини відбувається таке: з кожної кімнати, де перебуває більше ніж одна людина, одна людина вирішує, що там надто тісно, і переходить до наступної кімнати. Усі ці переходи відбуваються одночасно (тож ніхто не переходить більше ніж один раз протягом хвилини). Через годину в скількох різних кімнатах будуть люди?
10–11 класиМетод математичної індукції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2004-065

Цілочисельна таблиця з локальним правилом суми

Нескінченна таблиця з невід'ємних цілих чисел будується так: у верхньому рядку деяке число дорівнює 11, а всі інші числа — 00; у кожному наступному рядку кожне число є сумою деяких двох із трьох найближчих чисел попереднього рядка. Приклад такої таблиці наведено нижче. ⋯000010000⋯⋯000011000⋯⋯000112100⋯⋯001133200⋯⋯012446320⋯.⋅⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋱\begin{array}{ccccccccccc} \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ \cdots & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & \cdots \\ \cdots & 0 & 0 & 1 & 1 & 3 & 3 & 2 & 0 & 0 & \cdots \\ \cdots & 0 & 1 & 2 & 4 & 4 & 6 & 3 & 2 & 0 & \cdots \\ . \cdot & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{array} Верхній рядок (з єдиною 11) називається рядком 00; наступний рядок — рядок 11; наступний рядок — рядок 22 і так далі. Зауважимо, що твердження потрібно довести для кожної таблиці, яку можна побудувати описаним вище процесом, а не лише для наведеного прикладу. Доведіть, що будь-яке число в рядку nn (для n>0n>0) не перевищує 2n−12^{n-1}.
10–11 класиМетод математичної індукції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2004-097

Похідна в нерухомій точці косинуса

Нехай f(x)=cos⁡(cos⁡(cos⁡(cos⁡(cos⁡(cos⁡(cos⁡(cos⁡x)))))))f(x) = \cos (\cos (\cos (\cos (\cos (\cos (\cos (\cos x))))))), і нехай число aa задовольняє рівняння a=cos⁡aa = \cos a. Виразіть f′(a)f'(a) як многочлен від aa.
10–11 класиМетод математичної індукції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2004-093

Ймовірність дами в центрі після 2004 ходів

У грі, схожій на гру в три карти, дилер кладе на стіл три карти: пікову даму та дві червоні карти. Карти лежать у ряд, причому дама спочатку в центрі; отже, конфігурація карт така: RQRRQR. Далі дилер робить ходи. Кожним ходом дилер навмання міняє місцями центральну карту з однією з двох крайніх карт (тому конфігурація після першого ходу — або RRQRRQ, або QRRQRR). Яка ймовірність того, що після 20042004 ходів центральною картою буде дама?
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2004-018

Відношення чисел Фібоначчі та їх різниця

Числа Фібоначчі задано рівностями F1=F2=1F_{1} = F_{2} = 1, а Fn=Fn−1+Fn−2F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2} для n≥3n \geq 3. Якщо число F2003F2002−F2004F2003\frac{F_{2003}}{F_{2002}} - \frac{F_{2004}}{F_{2003}} записати у вигляді нескоротного дробу, то чому дорівнює його чисельник?
10–11 класиЧисла Фібоначі
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2004-037

Циклічна послідовність з добутків простих чисел

Нехай S={p1p2⋯pn∣p1,p2,…,pnS=\{p_{1} p_{2} \cdots p_{n} \mid p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n} — різні прості числа і p1,…,pn<30}p_{1}, \ldots, p_{n}<30\}. Вважатимемо, що 11 належить SS. Нехай a1a_{1} — елемент SS. Для всіх натуральних чисел nn визначимо: an+1=an/(n+1) якщо an ділиться на n+1an+1=(n+2)an якщо an не ділиться на n+1\begin{gathered} a_{n+1}=a_{n} /(n+1) \quad \text{ якщо } a_{n} \text{ ділиться на } n+1 \\ a_{n+1}=(n+2) a_{n} \\ \text{ якщо } a_{n} \text{ не ділиться на } n+1 \end{gathered} Скільки існує різних можливих значень a1a_{1} таких, що aj=a1a_{j}=a_{1} для нескінченно багатьох jj?
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові тести на IMOTST-2004-004

Множина цілих чисел, замкнена щодо різниць

Нехай a1,…,ana_1, \dots, a_n — цілі числа, найбільший спільний дільник яких дорівнює 11. Позначимо через SS множину цілих чисел із такими властивостями. a. Для i=1,…,ni = 1, \dots, n, ai∈Sa_i \in S. b. Для i,j=1,…,ni, j = 1, \dots, n (не обов'язково різних), ai−aj∈Sa_i - a_j \in S. c. Для будь-яких цілих чисел x,y∈Sx, y \in S, якщо x+y∈Sx + y \in S, то x−y∈Sx - y \in S. Доведіть, що SS обов'язково дорівнює множині всіх цілих чисел.
10–11 класиПарність та непарність2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.