Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

716 задач
ГеометріяВідношення відрізків
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2015-012

Паралельні прямі через вершини трапеції

Нехай ABCDABCD — трапеція, в якій ABAB і CDCD паралельні. Нехай PP — точка на стороні BCBC. Доведіть, що прямі, проведені через CC і BB паралельно APAP і PDPD відповідно, перетинаються на прямій DADA.
10–11 класиПаралельні прямі і теорема Фалеса
Французька математична олімпіадаFRMO-2014-031

Рівність відстаней від точки перетину кіл до основ висот

Нехай ABCABC — трикутник з гострими кутами, такий, що AB≠ACAB \neq AC. Позначимо через DD основу бісектриси кута BAC^\widehat{BAC}. Точка EE (відп. FF) позначає основу висоти, проведеної з BB (відп. з CC). Описане коло трикутника DBFDBF перетинає описане коло трикутника DCEDCE у точці MM, відмінній від DD. Доведіть, що ME=MFME = MF.
9–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-078

Паралельні прямі, проведені з точки на бісектрисі

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=5AB = 5, AC=4AC = 4, BC=6BC = 6. Бісектриса кута CC перетинає сторону ABAB у точці XX. Точки MM і NN лежать на сторонах BCBC і ACAC відповідно так, що XM‾∥AC‾\overline{XM} \parallel \overline{AC} і XN‾∥BC‾\overline{XN} \parallel \overline{BC}. Обчисліть довжину відрізка MNMN.
10–11 класиОсновна властивість бісектриси
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-123

Перетин у описаному колі трикутника

Трикутник ABCA B C має сторони AB=14A B=14, BC=13B C=13 і CA=15C A=15. Він вписаний у коло Γ\Gamma з центром OO. Нехай MM — середина сторони ABA B, нехай B′B^{\prime} — точка на колі Γ\Gamma, діаметрально протилежна BB, а XX — точка перетину прямих AOA O і MB′M B^{\prime}. Знайдіть довжину AXA X.
10–11 класиПаралельні прямі і теорема Фалеса
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-124

Трикутник з дотичним описаним колом

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=6AB=6, BC=10BC=10 і CA=8CA=8. Нехай MM і NN — середини сторін BABA і BCBC відповідно. Точку YY вибрано на промені CMCM так, щоб описане коло трикутника AMYAMY дотикалося до прямої ANAN. Знайдіть площу трикутника NAYNAY.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-041

Перетини бісектрис кутів трапеції

Нехай ABCDABCD — трапеція, у якій AB∥CDAB \parallel CD. Бісектриси кутів ∠CDA\angle CDA і ∠DAB\angle DAB перетинаються в точці EE, бісектриси кутів ∠ABC\angle ABC і ∠BCD\angle BCD перетинаються в точці FF, бісектриси кутів ∠BCD\angle BCD і ∠CDA\angle CDA перетинаються в точці GG, а бісектриси кутів ∠DAB\angle DAB і ∠ABC\angle ABC перетинаються в точці HH. Чотирикутники EABFEABF і EDCFEDCF мають площі 2424 і 3636 відповідно, а трикутник ABHABH має площу 2525. Знайдіть площу трикутника CDGCDG.
10–11 класиПлощі подібних фігур
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-072

Хронологія теорем про трикутники

Виберіть підмножину з принаймні чотирьох із наведених нижче геометричних теорем, упорядкуйте їх від найранішої до найпізнішої за датою публікації та запишіть їхні позначки (по одній великій літері) у цьому порядку. Якщо теорему відкривали кілька разів, використовуйте дату публікації, що відповідає геометру, на честь якого названо теорему. C. (Чева) Три чевіани ADAD, BEBE, CFCF трикутника ABCABC перетинаються в одній точці тоді й лише тоді, коли BDDCCEEAAFFB=1\frac{BD}{DC} \frac{CE}{EA} \frac{AF}{FB}=1. E. (Ейлер) У трикутнику ABCABC з інцентром II і центром описаного кола OO маємо IO2=R(R−2r)IO^{2}=R(R-2r), де rr — радіус вписаного кола, а RR — радіус описаного кола трикутника ABCABC. H. (Герон) Площа трикутника ABCABC дорівнює s(s−a)(s−b)(s−c)\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}, де s=12(a+b+c)s=\frac{1}{2}(a+b+c). M. (Менелай) Якщо D,E,FD, E, F лежать на прямих BC,CA,ABBC, CA, AB, то вони колінеарні тоді й лише тоді, коли BDDCCEEAAFFB=−1\frac{BD}{DC} \frac{CE}{EA} \frac{AF}{FB}=-1, де відношення напрямлені. P. (Паскаль) Перетини протилежних сторін вписаних шестикутників колінеарні. S. (Стюарт) Нехай ABCABC — трикутник, а DD — точка на стороні BCBC. Покладемо m=BD,n=CD,d=ADm=BD, n=CD, d=AD. Тоді man+dad=bmb+cncman+dad=bmb+cnc. V. (Варіньйон) Середини сторін довільного чотирикутника є вершинами паралелограма. Якщо ваша відповідь — це список з 4≤N≤74 \leq N \leq 7 позначок у правильному порядку, ваш бал дорівнюватиме (N−2)(N−3)(N-2)(N-3). Інакше ваш бал дорівнюватиме нулю.
10–11 класиТеорема Чеви
Відбіркові тести на IMOTST-2014-011

Ортогональні прямі в трикутнику з вписаним колом

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з описаним колом kk та центром вписаного кола II. Перпендикуляр до CICI, проведений через II, перетинає сторону BCBC в точці UU, а коло kk — в точці VV, причому VV і AA лежать по різні боки від прямої BCBC. Пряма, паралельна AIAI і проведена через UU, перетинає AVAV у точці XX. Доведіть: якщо прямі XIXI та AIAI перпендикулярні між собою, то XIXI перетинає сторону ACAC в її середині MM.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2014-013

Рівні відрізки при перетині медіани та чевіани

Нехай △ABC\triangle ABC — трикутник. Нехай MM — середина сторони BCBC, а DD — точка у внутрішності сторони ABAB. Точку перетину відрізків AMAM і CDCD позначимо через EE. Припустімо, що ∣AD∣=∣DE∣|AD|=|DE|. Доведіть, що ∣AB∣=∣CE∣|AB|=|CE|.
10–11 класиТеорема Менелая5 розв’язків
Відбіркові тести на IMOTST-2014-027

Конкурентні чевіани з кутовою умовою

Нехай ABCABC — трикутник, у якому α=∠BAC\alpha = \angle BAC — строго найменший кут, а PP — точка на стороні BCBC. Далі нехай DD — точка на прямій ABAB, така, що BB лежить між AA і DD та виконується ∠BPD=α\angle BPD = \alpha, а EE — точка на прямій ACAC, така, що CC лежить між AA і EE та виконується ∠EPC=α\angle EPC = \alpha. Доведіть, що прямі APAP, BEBE і CDCD перетинаються в одній точці тоді й лише тоді, коли прямі APAP і BCBC перпендикулярні.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2014-002

Медіани та коло шести точок у трикутнику

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник. Нехай AMAM, BNBN і CLCL — медіани, які перетинаються в барицентрі GG. Нехай M′M', N′N' і L′L' — середини відрізків AGAG, BGBG і CGCG відповідно. Доведіть, що шість точок MM, M′M', NN, N′N', LL, L′L' лежать на одному колі тоді й лише тоді, коли трикутник ABCABC рівносторонній.
9–11 класиТочка перетину медіан
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2014-011

Колінеарність перетинів прямих із точками на діагоналях квадрата

Нехай OO — точка перетину двох діагоналей квадрата ABCDABCD. Точки P,Q,R,SP, Q, R, S лежать на відрізках OA,OB,OC,ODOA, OB, OC, OD відповідно та задовольняють OP=3OP = 3, OQ=5OQ = 5, OR=4OR = 4. Тут для відрізка XYXY його довжину також позначаємо через XYXY. Якщо точка перетину прямих ABAB і PQPQ, точка перетину прямих BCBC і QRQR та точка перетину прямих CDCD і RSRS лежать на одній прямій, чому дорівнює довжина відрізка OSOS?
10–11 класиТеорема Менелая
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2014-004

Дотик і перпендикулярність у рівнобедреній конфігурації

Нехай ABCABC — рівнобедрений трикутник з AC=BCAC = BC. Нехай DD — точка на прямій BABA така, що AA лежить між BB і DD. Нехай O1O_1 — описане коло трикутника DACDAC. Коло O1O_1 перетинає BCBC у точці EE. Нехай FF — точка на прямій BCBC така, що пряма FDFD дотикається до кола O1O_1, а O2O_2 — описане коло трикутника DBFDBF. Два кола O1,O2O_1, O_2 перетинаються в точці GG (G≠DG \neq D). Нехай OO — центр описаного кола трикутника BEGBEG. Доведіть, що пряма FGFG дотикається до кола OO тоді й лише тоді, коли пряма DGDG перпендикулярна до прямої FOFO.
10–11 класиДотична кола
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2013-029

Медіана, бісектриса і висота з однією спільною точкою

Кути трикутника дорівнюють 22.5∘22.5^\circ, 45∘45^\circ і 112.5∘112.5^\circ. Доведіть, що всередині цього трикутника існує точка, яка лежить на медіані, проведеній з однієї вершини, на бісектрисі, проведеній з іншої вершини, і на висоті, проведеній з третьої вершини.
10–11 класиТеорема Чеви3 розв’язки
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-024

Ортогональні проєкції в рівносторонньому трикутнику

Точка DD належить стороні [AC][A C] рівностороннього трикутника ABCA B C. Позначимо через FF ортогональну проєкцію DD на пряму (BC)(B C), далі через KK — ортогональну проєкцію FF на пряму (AB)(A B), і нарешті через EE — ортогональну проєкцію KK на пряму (CA)(C A). Нехай LL — середина відрізка [BC][BC], а PP — перетин прямих (KE)(K E) і (FD)(F D). Доведіть, що пряма (BP)(BP) проходить через середину відрізка [AL][AL].
8–10 класиГомотерія і подібність
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-042

Перпендикулярність прямих із рівнобедрених побудов

Поза трикутником ABCA B C побудовано дві точки XX і YY, що задовольняють умови: - трикутник AXBA X B рівнобедрений з основою [AB][A B]; - трикутник BYCB Y C рівнобедрений з основою [BC][B C]; −AXB^+BYC^=180∘-\widehat{A X B}+\widehat{B Y C}=180^{\circ}. Нехай ZZ — середина сторони [AC][A C]. Доведіть, що прямі (XZ)(X Z) і (YZ)(Y Z) перпендикулярні.
9–11 класиОзнаки подібності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-125

Шестикутник з паралельними діагоналями та відношеннями площ

Нехай A1A2A3A4A5A6A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6} — опуклий шестикутник такий, що AiAi+2∥Ai+3Ai+5A_{i} A_{i+2} \parallel A_{i+3} A_{i+5} для i=1,2,3i=1,2,3 (вважаємо Ai+6=AiA_{i+6}=A_{i} для кожного ii). Відрізок AiAi+2A_{i} A_{i+2} перетинає відрізок Ai+1Ai+3A_{i+1} A_{i+3} у точці BiB_{i} при 1≤i≤61 \leq i \leq 6, як показано. Крім того, припустимо, що △A1A3A5≅△A4A6A2\triangle A_{1} A_{3} A_{5} \cong \triangle A_{4} A_{6} A_{2}. Відомо, що [A1B5B6]=1[A_{1} B_{5} B_{6}]=1, [A2B6B1]=4[A_{2} B_{6} B_{1}]=4 і [A3B1B2]=9[A_{3} B_{1} B_{2}]=9 (через [XYZ][X Y Z] ми позначаємо площу △XYZ\triangle X Y Z), знайдіть площу шестикутника B1B2B3B4B5B6B_{1} B_{2} B_{3} B_{4} B_{5} B_{6}.
10–11 класиПлощі подібних фігур
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-031

Трикутник з подвоєним кутом і відношенням на бісектрисі

Розглянемо трикутник ABCABC з ∠A=2∠B\angle A = 2 \angle B. Бісектриси з вершин AA і CC перетинаються в точці DD, а бісектриса з вершини CC перетинає AB‾\overline{AB} в точці EE. Якщо DEDC=13\frac{DE}{DC} = \frac{1}{3}, обчисліть ABAC\frac{AB}{AC}.
10–11 класиОсновна властивість бісектриси
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-049

Площа трикутника з конкурентними чевіанами

Нехай ABCDABCD — паралелограм, у якому AB=8AB = 8, AD=11AD = 11 та ∠BAD=60∘\angle BAD = 60^{\circ}. Нехай XX лежить на відрізку CDCD так, що CX/XD=1/3CX / XD = 1 / 3, а YY — на відрізку ADAD так, що AY/YD=1/2AY / YD = 1 / 2. Нехай ZZ лежить на відрізку ABAB так, що AXAX, BYBY і DZDZ перетинаються в одній точці. Знайдіть площу трикутника XYZXYZ.
10–11 класиТеорема Чеви
Відбіркові тести на IMOTST-2013-006

Трапеція з трикутниками рівної площі

У трапеції ABCDA B C D виконується AB∥CDA B \| C D. Нехай MM — середина діагоналі ACA C. Припустимо, що трикутники ABMA B M і ACDA C D мають однакову площу. Доведіть, що DM∥BCD M \| B C.
10–11 класиВідношення площ трикутників
Відбіркові тести на IMOTST-2013-013

Рівні кути з перетину кіл

Нехай ABCABC — різносторонній трикутник, у якого ∠BCA=90∘\angle BCA = 90^\circ, а DD — основа висоти, проведеної з CC. Нехай XX — точка всередині відрізка CDCD. Нехай KK — точка на відрізку AXAX така, що BK=BCBK = BC. Аналогічно, нехай LL — точка на відрізку BXBX така, що AL=ACAL = AC. Описане коло трикутника DKLDKL перетинає відрізок ABAB у другій точці TT (іншій, ніж DD). Доведіть, що ∠ACT=∠BCT\angle ACT = \angle BCT.
10–11 класиТеорема Чеви
Відбіркові тести на IMOTST-2013-021

Конкурентність прямих у трикутнику з колами на діаметрах

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник. Коло ω1\omega_1 з діаметром ACAC перетинає сторону BCBC у точці FF (відмінній від CC). Коло ω2\omega_2 з діаметром BCBC перетинає сторону ACAC у точці EE (відмінній від CC). Промінь AFAF перетинає ω2\omega_2 у точках KK і MM, причому AK<AMAK < AM. Промінь BEBE перетинає ω1\omega_1 у точках LL і NN, причому BL<BNBL < BN. Доведіть, що прямі ABAB, MLML, NKNK перетинаються в одній точці.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2013-003

Діагоналі трапеції і паралель через їх перетин

Нехай ABCDABCD — трапеція, яка не є паралелограмом. Нехай PP — точка перетину діагоналей, а QQ — точка перетину продовжень бічних сторін. a. Через точку PP проведено пряму, паралельну основам, і нехай XX та YY — точки її перетину з бічними сторонами: доведіть, що XP=YPXP = YP. b. Доведіть, що пряма PQPQ перетинає меншу основу в її середині.
9–11 класиПаралельні прямі і теорема Фалеса
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-016

Рівні кути від основи до спільної хорди кіл

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник і нехай HH — його ортоцентр. Припустімо, що коло, яке проходить через точки BB, CC, і коло, що має відрізок AHAH своїм діаметром, перетинаються у двох різних точках XX і YY. Нехай DD — основа перпендикуляра, проведеного з AA до прямої BCBC, а KK — основа перпендикуляра, проведеного з DD до прямої XYXY. Доведіть, що виконується рівність ∠BKD=∠CKD\angle BKD = \angle CKD.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2013-005

Рівні відстані від точки перетину

Нехай ABCABC — трикутник, для якого ∠B>∠C\angle B > \angle C, і нехай DD — точка на стороні ACAC така, що ∠ADC=∠C\angle ADC = \angle C. Нехай II — інцентр трикутника ABCABC, а EE — точка перетину описаного кола трикутника CDICDI з прямою AIAI, відмінна від II. Нехай PP — точка перетину прямої BDBD з прямою, паралельною ABAB, що проходить через EE. Нехай JJ — інцентр трикутника ABDABD, а A′A' — точка, симетрична точці AA відносно II. Припустімо, що прямі JPJP і A′CA'C перетинаються в точці QQ. Доведіть, що QJ=QA′QJ = QA'.
10–11 класиТеорема Менелая

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.