Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

7 222 задачі
Комбінаторика
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-045

Іспанські команди в турнірі на вибування

Плей-оф Ліги чемпіонів УЄФА — це футбольний турнір на 16 команд, у якому іспанські команди завжди перемагають неіспанські команди. У кожному з 4 раундів кожна команда, що залишилася, випадковим чином утворює пару з іншою командою; переможець проходить до наступного раунду, а команда, що програла, остаточно вибуває з турніру. Якщо 3 з 16 команд — іспанські, яка ймовірність того, що у фінальному раунді буде 2 іспанські команди?
10–11 класиКомбінації
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-128

Стандартні таблиці Юнга з операціями обміну

Аліса та Боб грають у гру, в якій дві тисячі одинадцять 2011×20112011 \times 2011 таблиць розподілено між ними двома: 1 — Бобові, а решта 2010 — Алісі. Вони розходяться за зачинені двері та заповнюють свою таблицю (свої таблиці) числами 1,2,…,201121,2, \ldots, 2011^{2} так, щоб числа в рядках зліва направо та у стовпцях зверху вниз строго зростали. Жодні дві таблиці Аліси не можуть бути заповнені однаково. Після того як таблиці заповнено, Боб може подивитися на таблиці Аліси, а потім обмінювати числа у власній таблиці місцями, по два за раз, доки після кожного обміну нумерація залишається допустимою (тобто зростає в рядках і стовпцях). Коли він закінчить обміни, навмання вибирається одна з таблиць Аліси. Якщо знайдуться два цілі числа в одному стовпці цієї таблиці, які опиняються в одному рядку таблиці Боба, то Боб перемагає. Інакше перемагає Аліса. Якщо Боб оптимально вибере свою початкову таблицю, яка найбільша кількість обмінів може знадобитися Бобові, щоб гарантувати перемогу?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-048

Впорядковані трійки з додатною сумою

Знайдіть кількість впорядкованих трійок (a,b,c)(a, b, c) попарно різних цілих чисел таких, що −31≤a,b,c≤31-31 \leq a, b, c \leq 31 і a+b+c>0a+b+c>0.
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-050

Монотонна бієкція на тривимірній цілочисельній решітці

Нехай SS — множина точок (x,y,z)(x, y, z) у R3\mathbb{R}^3, для яких x,yx, y, а також zz — натуральні числа, не більші за 100100. Нехай ff — бієкція між SS та {1,2,…,1000000}\{1,2, \ldots, 1000000\}, яка задовольняє таку властивість: якщо x1≤x2,y1≤y2x_1 \leq x_2, y_1 \leq y_2, а також z1≤z2z_1 \leq z_2, то f(x1,y1,z1)≤f(x2,y2,z2)f\left(x_1, y_1, z_1\right) \leq f\left(x_2, y_2, z_2\right). Позначимо Ai=∑j=1100∑k=1100f(i,j,k),Bi=∑j=1100∑k=1100f(j,i,k), і Ci=∑j=1100∑k=1100f(j,k,i)\begin{aligned} A_i & =\sum_{j=1}^{100} \sum_{k=1}^{100} f(i, j, k), \\ B_i & =\sum_{j=1}^{100} \sum_{k=1}^{100} f(j, i, k), \\ \text{ і } C_i & =\sum_{j=1}^{100} \sum_{k=1}^{100} f(j, k, i) \end{aligned} Знайдіть найменше можливе значення Ai+1−Ai+Bj+1−Bj+Ck+1−CkA_{i+1}-A_i+B_{j+1}-B_j+C_{k+1}-C_k.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-052

Сконкатеновані числа від 1 до 99

Три не обов'язково різні натуральні числа від 11 до 9999 включно записані в ряд на дошці. Потім ці числа, без початкових нулів, конкатенують, щоб утворити нове ціле число NN. Наприклад, якщо записано числа 2525, 66 і 1212 у такому порядку, то N=25612N=25612 (а не N=250612N=250612). Визначте кількість можливих значень NN.
10–11 класиРозбиття на випадки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-053

Намисто без сусідніх жовтих намистин

Скількома способами можна розмістити тринадцять намистин на круглому намисті, якщо кожна намистина або синя, або жовта, і жодні дві жовті намистини не стоять на сусідніх місцях? (Намистини одного кольору вважаються однаковими, а два розташування вважаються однаковими тоді й лише тоді, коли одне можна отримати з іншого поворотом).
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-054

Відношення кількості ґратчастих шляхів у смузі

Нехай nn — ціле число, більше за 33. Нехай RR — множина точок цілочисельної решітки (x,y)(x, y) таких, що 0≤x,y≤n0 \leq x, y \leq n і ∣x−y∣≤3|x-y| \leq 3. Нехай AnA_{n} — кількість шляхів з (0,0)(0,0) до (n,n)(n, n), які складаються лише з кроків вигляду (x,y)→(x,y+1)(x, y) \rightarrow (x, y+1) і (x,y)→(x+1,y)(x, y) \rightarrow (x+1, y) та повністю містяться в RR. Знайдіть найменше додатне дійсне число, більше за An+1An\frac{A_{n+1}}{A_{n}} для всіх nn.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-055

Слони, що покривають усі діагоналі

Скількома способами можна розмістити 13 слонів на 8×88 \times 8 шаховій дошці так, що (i) слон стоїть на другій клітинці в другому рядку, (ii) на кожній клітинці стоїть не більше одного слона, (iii) жоден слон не стоїть на одній діагоналі з іншим слоном, і (iv) кожна діагональ містить слона? (Для цілей цієї задачі діагоналями вважаються всі діагоналі шахової дошки, а не лише головні діагоналі).
10–11 класиПравила суму та добутку
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-061

Розфарбування вершин парного многокутника

Скількома способами можна розфарбувати вершини 2n2n-кутника у три кольори так, щоб жодна вершина не мала того самого кольору, що й будь-яка з двох її сусідок або вершина, діаметрально протилежна їй?
10–11 класиШляхи на графах
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-063

Перестановки з великим зсувом

Нехай A={1,2,3,…,9}A=\{1,2,3, \ldots, 9\}. Знайдіть кількість бієктивних функцій f:A→Af: A \rightarrow A, для яких існує принаймні одне i∈Ai \in A таке, що ∣f(i)−f−1(i)∣>1\left|f(i)-f^{-1}(i)\right|>1
10–11 класиПерестановки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-064

Розфарбування сітки без одноколірного хрестика

Кожну клітинку сітки 3×103 \times 10 пофарбовано в чорний або білий колір. Нехай NN — кількість способів зробити це так, щоб жодні п'ять клітинок у конфігурації «X» (як показано чорними клітинками нижче) не були всі білими або всі чорними. Знайдіть N\sqrt{N}.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-065

Підрахунок лінійних рекурентних послідовностей за модулем простого числа

Нехай pp — просте натуральне число. Рекурентною за модулем pp послідовністю степеня nn назвемо послідовність {ak}k≥0\{a_k\}_{k \geq 0} чисел за модулем pp, що задовольняє співвідношення вигляду ai+n=cn−1ai+n−1+…+c1ai+1+c0aia_{i+n} = c_{n-1} a_{i+n-1} + \ldots + c_1 a_{i+1} + c_0 a_i для всіх i≥0i \geq 0, де c0,c1,…,cn−1c_0, c_1, \ldots, c_{n-1} — цілі числа і c0≢0(modp)c_0 \not\equiv 0 \pmod{p}. Обчисліть кількість різних лінійних рекурентних послідовностей степеня не більше nn через pp і nn.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-067

Послідовності з обмеженням на співвідношення

Знайдіть кількість послідовностей, що складаються зі 100100 літер RR і 20112011 літер SS, таких, що серед перших kk літер кількість літер SS строго більша за 2020-кратну кількість літер RR для всіх 1≤k≤21111 \leq k \leq 2111.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-070

Вишукані перестановки без зростаючих і спадних підпослідовностей

Нехай w=w1,w2,…,w6w = w_{1}, w_{2}, \ldots, w_{6} — перестановка цілих чисел {1,2,…,6}\{1, 2, \ldots, 6\}. Якщо не існує індексів i<j<ki < j < k таких, що wi<wj<wkw_{i} < w_{j} < w_{k}, або індексів i<j<k<li < j < k < l таких, що wi>wj>wk>wlw_{i} > w_{j} > w_{k} > w_{l}, то ww називається вишуканою. Знайдіть кількість вишуканих перестановок.
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-071

Незалежні множини в регулярному графі

Незалежною множиною графа GG називається множина вершин графа GG, у якій жодні дві вершини не з’єднані ребром. Якщо GG має 20002000 вершин, а кожна вершина має степінь 1010, знайдіть найбільшу можливу кількість незалежних множин, яку може мати GG.
10–11 класиДвочасткові графи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-072

Допустимі впорядкування пар з п'яти елементів

Впорядкуванням множини з nn елементів називається бієктивне відображення між цією множиною та {1,2,…,n}\{1,2, \ldots, n\}. Впорядкування ρ\rho 10 невпорядкованих пар різних цілих чисел із множини {1,2,3,4,5}\{1,2,3,4,5\} називається допустимим, якщо для будь-яких 1≤a<b<c≤51 \leq a<b<c \leq 5 виконується або p({a,b})<p({a,c})<p({b,c})p(\{a, b\})<p(\{a, c\})<p(\{b, c\}), або p({b,c})<p({a,c})<p({a,b})p(\{b, c\})<p(\{a, c\})<p(\{a, b\}). Знайдіть загальну кількість допустимих впорядкувань.
10–11 класиПерестановки
Відбіркові тести на IMOTST-2011-005

Шляхи заданої довжини у повному графі

Нехай n≥2n \geq 2 і k≥1k \geq 1 — цілі числа. У деякій країні є nn міст і між кожною парою міст є автобусне сполучення в обох напрямках. Нехай AA і BB — два різні міста. Доведіть, що кількість способів, якими можна дістатися з AA до BB, скориставшись рівно kk автобусами, дорівнює (n−1)k−(−1)kn\frac{(n-1)^{k}-(-1)^{k}}{n}
10–11 класиРекурентний підрахунок
Відбіркові тести на IMOTST-2011-009

Роздільність замощення прямокутника доміно

Розглянемо замощення прямокутної дошки m×nm \times n плитками 1×21 \times 2. Плитки можуть лежати як горизонтально, так і вертикально, але вони не можуть перекриватися і виступати за межі дошки. Усі клітинки дошки мають бути покриті плиткою. a) Доведіть, що за будь-якого замощення дошки 4×20104 \times 2010 плитками 1×21 \times 2 існує пряма лінія, яка ділить дошку на дві частини так, що кожна плитка цілком лежить усередині однієї з частин. b) Доведіть, що існує замощення дошки 5×20105 \times 2010 плитками 1×21 \times 2 таке, що немає прямої лінії, яка ділить дошку на дві частини так, що кожна плитка цілком лежить усередині однієї з частин.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Відбіркові тести на IMOTST-2011-015

Асоціативна операція з інволютивною властивістю

Чи існує операція ∗* на множині всіх цілих чисел така, що одночасно виконуються такі умови: (1) для будь-яких цілих чисел xx, yy, zz, (x∗y)∗z=x∗(y∗z)(x * y) * z = x * (y * z); (2) для будь-яких цілих чисел xx і yy, x∗x∗y=y∗x∗x=yx * x * y = y * x * x = y?
10–11 класиСистеми числення
Відбіркові тести на IMOTST-2011-041

Перестановка з циклічними модулями різниць

Вершини і сторони правильного nn-кутника занумеровано за годинниковою стрілкою числами від 1 до nn так, що за вершиною № ii йде сторона № ii (1≤i≤n1 \leq i \leq n). Тепер вершинам приписано невід'ємні цілі числа eie_{i}, а сторонам — невід'ємні цілі числа kik_{i} так, що виконується: (1) nn-набір (e1,e2,…,en)(e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}) є перестановкою nn-набору (k1,k2,…,kn)(k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{n}). (2) Для кожного i∈Ni \in \mathbb{N} з 1≤i≤n1 \leq i \leq n виконується ki=∣ei+1−ei∣k_{i} = |e_{i+1} - e_{i}|, де en+1=e1e_{n+1} = e_{1}. a) Доведіть, що для всіх натуральних чисел nn, n≥3n \geq 3, існують такі nn-набори, відмінні від (0,…,0)(0, \ldots, 0). b) Визначте для кожного додатного натурального числа mm найменше натуральне число nn з такою властивістю: у кожному з nn-наборів (e1,e2,…,en)(e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}) і (k1,k2,…,kn)(k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{n}) трапляються всі натуральні числа від 00 до mm.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2011-011

Доміно-замощення з рухливою діркою на непарній дошці

Розглянемо дошку з непарними довжинами сторін, розбиту на одиничні квадрати. Дошку без одного кутового поля довільно покрито доміно. За один хід можна зсунути одне доміно в поздовжньому напрямі на одне поле так, щоб попередньо порожнє поле виявилося накритим, а натомість звільнилося нове (на два поля далі). Доведіть, що порожнє поле послідовністю ходів можна перемістити в довільний кут дошки.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Відбіркові тести на IMOTST-2011-010

Добуток p-pod послідовностей

Нехай pp — просте число. Скажемо, що послідовність цілих чисел {zn}n=0∞\{z_n\}_{n=0}^{\infty} є pp-pod, якщо для кожного e≥0e \ge 0 існує таке N≥0N \ge 0, що щоразу, коли m≥Nm \ge N, число pep^e ділить суму ∑k=0m(−1)k(mk)zk.\sum_{k=0}^{m} (-1)^k \binom{m}{k} z_k. Доведіть, що якщо обидві послідовності {xn}n=0∞\{x_n\}_{n=0}^{\infty} і {yn}n=0∞\{y_n\}_{n=0}^{\infty} є pp-pods, то послідовність {xnyn}n=0∞\{x_n y_n\}_{n=0}^{\infty} є pp-pod.
10–11 класиФормула включення-виключення
Відбіркові тести на IMOTST-2011-017

Мавпи, жердини та банани

Нехай nn — натуральне число. У клітці з nn мавпами стоїть nn жердин для лазіння. Щоб мавпи трохи порухалися, доглядачі під час годування кладуть по одному банану на верхівку кожної жердини. Додатково вони з'єднують жердини скінченною кількістю мотузок так, що два різні кінці мотузок прикріплено в різних точках. Коли мавпа вилазить жердиною і знаходить мотузку, вона не може втриматися і перебирається мотузкою, перш ніж продовжити підйом. Кожна мавпа починає з іншої жердини. Доведіть, що кожна мавпа отримає банан.
10–11 класиБієкції
Відбіркові тести на IMOTST-2011-016

Сума відстаней на межі квадрата

Знайдіть дійсне число tt таке, що для будь-якої множини зі 120 точок P1,…,P120P_1, \dots, P_{120} на межі одиничного квадрата існує точка QQ на цій межі, для якої ∣P1Q∣+⋯+∣P120Q∣=t|P_1Q| + \dots + |P_{120}Q| = t.
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…
Відбіркові тести на IMOTST-2011-026

Кольорові точки із заданими сумами відстаней

Знайдіть усі трійки (a,b,c)(a, b, c) натуральних чисел, для яких a+b+c=10a+b+c=10 і існує aa червоних, bb синіх і cc зелених точок (усі різні) на площині з такими властивостями: - для кожної червоної точки і кожної синьої точки розглянемо відстань між цими двома точками; сума всіх цих відстаней дорівнює 3737; - для кожної зеленої точки і кожної червоної точки розглянемо відстань між цими двома точками; сума всіх цих відстаней дорівнює 3030; - для кожної синьої точки і кожної зеленої точки розглянемо відстань між цими двома точками; сума всіх цих відстаней дорівнює 11;
10–11 класиНерівність трикутника

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.