Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

7 222 задачі
Комбінаторика
Відбіркові тести на IMOTST-2011-022

Сума членів рекурентної послідовності до 2ⁿ − 1

Нехай cnc_n — послідовність, задана рекурентно так: c0=1c_0 = 1, c2n+1=cnc_{2n+1} = c_n при n≥0n \ge 0, і c2n=cn+cn−2ec_{2n} = c_n + c_{n-2^e} при n>0n > 0, де ee — найбільше невід'ємне ціле число таке, що 2e2^e ділить nn. Доведіть, що ∑i=02n−1ci=1n+2(2n+2n+1).\sum_{i=0}^{2^n-1} c_i = \frac{1}{n+2} \binom{2n+2}{n+1}.
10–11 класиБієкції
Відбіркові тести на IMOTST-2011-029

Різні рядки та червоні стовпці на дошці

На клітчастій дошці з mm рядками та nn стовпцями, де m≤nm \le n, деякі клітинки пофарбовано в чорний колір так, що жодні два рядки не збігаються. Знайдіть найбільше ціле число kk таке, що для будь-якого початкового розфарбування завжди можна пофарбувати kk стовпців повністю в червоний колір так, щоб жодні два рядки й надалі не збігалися. Відповідь: n−m+1n-m+1.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2011-033

Королі без нападів на великій шаховій дошці

Доведіть, що існує понад 101310^{13} способів розмістити 81 короля на дошці 18×1818 \times 18 так, щоб жодні два королі не били один одного.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Відбіркові тести на IMOTST-2011-032

Щільна множина пар із потрійним перекриттям

Нехай n≥1n \ge 1 — ціле число, а SS — множина пар цілих чисел (a,b)(a, b), для яких 1≤a<b≤2n1 \le a < b \le 2^n. Припустимо, що ∣S∣>n⋅2n+1|S| > n \cdot 2^{n+1}. Доведіть, що існують чотири цілі числа a<b<c<da < b < c < d такі, що SS містить усі три пари (a,c)(a, c), (b,d)(b, d) і (a,d)(a, d).
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Відбіркові тести на IMOTST-2011-034

Чи існують дві різні множини з близькими сумами степенів

Визначте, чи існують дві різні множини AA, BB, кожна з яких складається щонайбільше з 201122011^2 натуральних чисел, такі, що кожне xx з 0<x<10 < x < 1 задовольняє таку нерівність: ∣∑a∈Axa−∑b∈Bxb∣<(1−x)2011.\left| \sum_{a \in A} x^a - \sum_{b \in B} x^b \right| < (1-x)^{2011}.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2011-003

Перетворення набору доповненням до повної множини

На дошці написані цілі числа від 1 до 7. Можливо, що не всі числа від 1 до 7 присутні, а також можливо, що одне, декілька або всі числа повторюються один або більше разів. Хід полягає у виборі одного або більше чисел, присутніх на дошці, за умови, що всі вони різні, їх викресленні та написанні на їхнє місце чисел, які разом із викресленими утворюють усю множину {1,2,3,4,5,6,7}\{1,2,3,4,5,6,7\}. Наприклад, дозволеними ходами є: - викреслити 4 і 5, а на їхнє місце написати числа 1, 2, 3, 6 і 7; - викреслити 1, 2, 3, 4, 5, 6 і 7, нічого не написавши на їхнє місце. Доведіть, що, якщо можна знайти послідовність ходів, яка, починаючи з початкової ситуації, приводить до того, що на дошці залишиться єдине число (написане один раз), то це число не залежить від використаної послідовності ходів.
10–11 класиПарність і непарність
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2011-011

Логічна задача про лисиць, змій і черепах

У лісі фіолетового дерева живуть три види тварин, які вміють говорити: лисиці, змії та черепахи. Перші брешуть лише в дощові дні, другі брешуть завжди, треті завжди кажуть правду. Одного дня дослідник Берні розмовляє з чотирма тваринами. Їхні твердження, наведені в тому порядку, в якому вони були сказані, такі: A: «Сьогодні йде дощ.» B: «Тварина, яка говорила переді мною, бреше.» C: «Сьогодні ясно.» D: «Той, хто говорив переді мною, бреше, або я — лисиця.» Зі скількома черепахами щонайбільше поговорив Берні? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) Неможливо визначити.
9–11 класиРозбиття на випадки
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2011-013

Ймовірність виграти принаймні чотири монети

На ярмарку є дуже приваблива гра, бо участь у ній безкоштовна; хто перемагає, отримує приз. Приз, передбачений за перші чотири партії, — одна монета, за п'яту — дві монети. Нікола в кожній партії має ймовірність 23\frac{2}{3} виграти приз і вирішує зіграти 5 партій. Яка ймовірність того, що Нікола виграє принаймні 4 монети? (A) 5(23)55\left(\frac{2}{3}\right)^{5} (B) 4(23)54\left(\frac{2}{3}\right)^{5} (C) 3(23)53\left(\frac{2}{3}\right)^{5} (D) 2(23)52\left(\frac{2}{3}\right)^{5} (E) (23)5\left(\frac{2}{3}\right)^{5}.
9–11 класиРозбиття на випадки
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2011-015

Десятицифрові числа з парами цифр із сумою дев'ять

Скільки існує десятицифрових додатних цілих чисел abcdefghijabcdefghij з усіма різними цифрами, які задовольняють умови a+j=b+i=c+h=d+g=e+f=9a+j=b+i=c+h=d+g=e+f=9? Зауваження: число не може починатися з 00. (A) 3456 (B) 3528 (C) 3645 (D) 3840 (E) 5040.
9–11 класиПравила суму та добутку
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2011-017

Послідовність із додатними 7-сумами та від’ємними 13-сумами

Нехай x1…xnx_{1} \ldots x_{n} — скінченна послідовність дійсних чисел така, що: i) сума 7 її послідовних членів завжди додатна; ii) сума 13 її послідовних членів завжди від’ємна. Яке з наведених тверджень є істинним? (A) Послідовність має щонайбільше 18 членів (B) Послідовність може мати 19 членів (C) Послідовність має рівно 21 член (D) Послідовність має принаймні 18 членів (E) Існують послідовності довільної довжини, які задовольняють i) та ii).
9–11 класиПідрахунок двома способами
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2011-001

Мінімальна кількість місць для інтервальних бронювань

Нехай nn — натуральне число. Потяг зупиняється на 2n2 n станціях, включно з початковою та кінцевою, пронумерованих по порядку від першої до 2n2 n-ї. Відомо, що в певному вагоні для кожної пари цілих чисел i,ji, j таких, що 1≤i<j≤2n1 \leq i<j \leq 2 n, заброньовано рівно одне місце для поїздки між ii-ю та jj-ю станціями. Очевидно, різні бронювання не можуть накладатися. Визначте залежно від nn мінімальну кількість місць, які мають бути доступними в цьому вагоні, щоб описана ситуація була можливою.
9–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2011-001

Найбільший добуток за умови різних цифр

Нехай xx — двоцифрове натуральне число, а yy — одноцифрове натуральне число. Припустімо, що цифра десятків числа xx, цифра одиниць числа xx і yy попарно різні. Знайдіть найбільше можливе значення добутку xyxy.
7–9 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2011-015

Уникнення кратних при послідовному додаванні

Нехай pp, qq — натуральні числа. Спочатку на дошці написано ціле число 11. Потім повторюємо таку операцію: Операція: Вибрати pp або qq і замінити число, написане на дошці, числом, отриманим додаванням вибраного числа до нього. Знайдіть умову на pp, qq, яка гарантує, що операцію можна повторювати нескінченно, жодного разу не записавши чисел, кратних pp або qq.
7–9 класиНСД та НСК
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2011-016

Перестановка чисел з умовою на остачі сум

Нехай nn — ціле число, не менше за 22. Розглянемо способи вишикувати зліва направо n2n^2 чисел, які складаються з nn чисел кожного виду з {1,2,…,n}\{1, 2, \dots, n\}. Чи можна вишикувати їх так, щоб виконувалася така умова? Умова: Для будь-якого цілого kk з 1≤k≤n2−11 \le k \le n^2 - 1 остача від ділення суми перших kk чисел зліва на nn відрізняється від остачі від ділення kk на nn.
7–9 класиЖадібний алгоритм
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2011-006

Проміжок із заданою кількістю повних квадратів

Визначте найменше натуральне число nn, для якого існує рівно 23 повні квадрати, не менші за nn і не більші за n+2011n + 2011.
7–9 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2011-010

Симетричні розташування на сітці 8×8

64 квадрати зі стороною довжиною 1 розташовані у 8 рядків і 8 стовпців, щоб заповнити внутрішню частину квадрата ABCDABCD зі стороною довжиною 8. Ми вибираємо певну кількість малих квадратів і розфарбовуємо їх, дотримуючись 3 умов, зазначених нижче: Розташування розфарбованих малих квадратів у квадраті ABCDABCD симетричне відносно обох діагоналей ACAC і BDBD. Для кожного рядка кількість розфарбованих малих квадратів не більше 1. Для кожного стовпця кількість розфарбованих малих квадратів не більше 1. Скільки існує можливих розташувань розфарбованих малих квадратів, що задовольняють 3 вищезазначені умови? Розташування, де жоден з малих квадратів не розфарбований, вважається однією можливістю.
7–9 класиСиметрія та розбиття на пари
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2011-001

Четвірки зі зростаючими різницями

Скільки існує четвірок (a,b,c,d)(a, b, c, d) натуральних чисел від 11 до 99 (11 і 99 включно), для яких виконується 0<b−a<c−b<d−c0 < b - a < c - b < d - c?
10–11 класиРозбиття на випадки
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2011-014

Досягнення неспадної послідовності замінами

Нехай NN — натуральне число. NN клітинок розташовано підряд зліва направо. Учні A і B грають у гру за такими правилами: (1) Спочатку A записує по одному невід'ємному цілому числу в кожну з NN клітинок. (2) Гра закінчується, коли досягнуто такої умови: для кожного ii, що задовольняє 1≤i≤N−11 \le i \le N - 1, число в ii-й клітинці зліва менше або дорівнює числу в (i+1)(i+1)-й клітинці зліва. Доки цю умову не виконано, гра триває повторенням такої процедури: (a) A називає одне невід'ємне ціле число. (b) B вибирає одну з NN клітинок і замінює число в цій клітинці числом, названим A в пункті (a). Чи може B завершити гру незалежно від того, як грає A?
10–11 класиНапівінваріанти
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2011-007

Розміщення в таблиці з медіанами стовпців

Квадрат зі стороною 33 розбито на сітку 3×33 \times 3 з 99 одиничних квадратів. У кожен із 99 одиничних квадратів вписано різні натуральні числа від 11 до 99 включно. Для кожного з 33 стовпців позначено друге за величиною з 33 чисел, що стоять у цьому стовпці. Скільки існує можливих розміщень 99 чисел, якщо друге за величиною з 33 позначених чисел дорівнює 55?
10–11 класиПравила суму та добутку
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2011-009

Кульки трьох кольорів з умовою про сусідів

Нехай 1212 коробок стоять у ряд зліва направо. У кожну з цих 1212 коробок хочемо покласти по одній кульці. Кульки бувають червоного, синього або жовтого кольору. Скільки існує різних способів розкласти кульки по 1212 коробках, якщо має виконуватися така умова? Умова: для кожної кульки, покладеної в коробку, принаймні 11 з кульок у сусідніх коробках має той самий колір, що й вона.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2011-006

Розбиття на групи без рукостискань

На вечірці було nn хлопців a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n і nn дівчат b1,b2,…,bnb_1, b_2, \dots, b_n. Жодні два хлопці не потисли один одному руки, і жодні дві дівчини не потисли одна одній руки, а для кожного i∈{1,2,…,n}i \in \{1, 2, \dots, n\} хлопець aia_i не потиснув руку дівчині bib_i. Усіх 2n2n людей хочуть поділити на групи, які задовольняють такі дві умови. 1. У кожній групі кількість хлопців дорівнює кількості дівчат. 2. У кожній групі жодні двоє людей не потисли один одному руки. Нехай mm — кількість пар (ai,bj)(a_i, b_j), у яких aia_i потиснув руку bjb_j. Доведіть, що можна зробити кількість груп не більшою за 22 або за 2mn+1\frac{2m}{n} + 1.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2011-004

Максимум поличок на цілочисельній дошці

Дано прямокутну дошку m×nm \times n з mm клітинками в кожному рядку та nn клітинками в кожному стовпці. У кожну клітинку запишемо ціле число. Прямокутник RR, що складається з однієї або кількох клітинок, називається поличкою, якщо існує ціле число hh, яке задовольняє такі дві умови: 1. Число в кожній клітинці прямокутника RR більше за hh. 2. Число в клітинці поза прямокутником RR, яка має спільну сторону або вершину з RR, не перевищує hh. (Припускаємо, що поличка RR містить усі внутрішні клітинки прямокутника.) Яка кількість поличок, якщо ми розставимо цілі числа так, щоб максимізувати кількість поличок?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2011-008

Приєднання кубиків для отримання заданого об'єму

Маємо червоний куб з довжиною ребра 22 см. Яка найменша кількість однакових кубиків, які треба приєднати до червоного куба, щоб отримати куб з об'ємом (125)3\left(\frac{12}{5}\right)^3 см³?
6–7 класиРозрізання, покриття та замощення
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2011-002

Розподіл наліпок із відсутньою наліпкою

33 друзі збирають наліпки для альбому з 2011 наліпок. Розподіл наліпок між 33 друзями є неповним, коли існує наліпка, якої не має жоден із друзів. Знайдіть найменше mm з такою властивістю: кожен розподіл наліпок між 33 друзями, за якого для будь-яких двох друзів є принаймні mm наліпок, яких не має жоден із них, є неповним.
10–11 класиПідрахунок двома способами2 розв’язки
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2011-009

Числа, у яких сума квадратів цифр — точний квадрат

Назвемо число пал, якщо воно не має цифри нуль і сума квадратів його цифр є точним квадратом. Наприклад, 21155222115522 — пал (бо 22+12+12+52+52+22+22=822^2 + 1^2 + 1^2 + 5^2 + 5^2 + 2^2 + 2^2 = 8^2), а 304304 і 1212 — не пал. a. Яке найбільше двозначне пал-число? b. Чи існує 20112011-цифрове пал-число?
6–7 класиРозклад по розрядах, десяткові др…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.