Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

995 задач
ГеометріяГеометричні перетворення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-112

Відношення на чевіанах рівностороннього трикутника

Аліса та Боб грають у таку «гру на вгадування точки». Спочатку Аліса позначає рівносторонній трикутник ABCA B C і точку DD на відрізку BCB C, таку, що BD=3B D=3 і CD=5C D=5. Потім Аліса вибирає точку PP на прямій ADA D і пропонує Бобу позначити точку Q≠PQ \neq P на прямій ADA D таку, що BQQC=BPPC\frac{B Q}{Q C}=\frac{B P}{P C}. Аліса виграє тоді й лише тоді, коли Боб не може вибрати таку точку. Якщо Аліса виграє, то яких можливих значень набуває BPPC\frac{B P}{P C} для вибраної нею точки PP?
10–11 класиІнверсія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-022

Трапеція з кутом і умовою на суму сторін

Нехай ABCDABCD — трапеція, в якій AB∥CDAB \parallel CD, ∠BAC=25∘\angle BAC = 25^{\circ}, ∠ABC=125∘\angle ABC = 125^{\circ} і AB+AD=CDAB + AD = CD. Обчисліть ∠ADC\angle ADC.
10–11 класиПаралельний перенос
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-101

Сума відстаней у конфігурації дотичних кіл

Нехай Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} — два кола, які дотикаються зовні одне до одного в точці NN і обидва дотикаються зсередини до кола Γ\Gamma в точках UU і VV відповідно. Спільна зовнішня дотична до кіл Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} дотикається до кіл Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} в точках PP і QQ відповідно та перетинає Γ\Gamma в точках XX і YY. Нехай MM — середина дуги XY^\widehat{X Y}, яка не містить UU і VV. Нехай ZZ лежить на колі Γ\Gamma так, що MZ⊥NZM Z \perp N Z, і припустимо, що описані кола трикутників QVZQ V Z і PUZP U Z перетинаються в точці T≠ZT \neq Z. Знайдіть з доведенням значення TU+TVT U+T V через R,r1R, r_{1} і r2r_{2} — радіуси кіл Γ,Γ1\Gamma, \Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} відповідно.
10–11 класиІнверсія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-133

Точка з дотичними описаними колами в колі

Нехай ω\omega — коло з центром OO і радіусом 88. Нехай ACAC і BDBD — перпендикулярні хорди кола ω\omega. Нехай PP — точка всередині чотирикутника ABCDABCD така, що описані кола трикутників ABPABP і CDPCDP дотикаються, а описані кола трикутників ADPADP і BCPBCP дотикаються. Якщо AC=261AC=2\sqrt{61} і BD=67BD=6\sqrt{7}, то OPOP можна подати у вигляді a−b\sqrt{a}-\sqrt{b} для натуральних чисел aa і bb. Обчисліть 100a+b100a+b.
10–11 класиІнверсія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-050

Чотирикутник, утворений колом у рівнобічній трапеції

Нехай ABCDABCD — рівнобічна трапеція така, що AB=17AB = 17, BC=DA=25BC = DA = 25 і CD=31CD = 31. Точки PP і QQ вибрано на сторонах ADAD і BCBC відповідно так, що AP=CQAP = CQ і PQ=25PQ = 25. Припустімо, що коло з діаметром PQPQ перетинає сторони ABAB і CDCD у чотирьох точках, які є вершинами опуклого чотирикутника. Обчисліть площу цього чотирикутника.
10–11 класиПаралельний перенос
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-053

Рівносторонні трикутники в чотирикутнику

В опуклому чотирикутнику ABCDABCD, у якому AB=11AB = 11 і CD=13CD = 13, існує точка PP, для якої △ADP\triangle ADP і △BCP\triangle BCP — рівні рівносторонні трикутники. Обчисліть довжину сторони цих трикутників.
10–11 класиПоворот
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-063

Бісектриса кута і дотичне коло

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=8AB = 8, AC=12AC = 12 і BC=5BC = 5. Нехай MM — друга точка перетину внутрішньої бісектриси кута ∠BAC\angle BAC з описаним колом трикутника ABCABC. Нехай ω\omega — коло з центром MM, дотичне до прямих ABAB і ACAC. Дотичні до кола ω\omega, проведені з BB і CC, відмінні від прямих ABAB і ACAC відповідно, перетинаються в точці DD. Обчисліть довжину відрізка ADAD.
10–11 класиСиметрія
Відбіркові тести на IMOTST-2022-019

Спільна точка кіл, породжених симетрією відносно точок дотику

Нехай △ABC\triangle ABC — трикутник із прямим кутом при CC та ∣AC∣>∣BC∣|AC| > |BC|, нехай II — центр вписаного кола, а HH — проєкція точки CC на відрізок ABAB. Вписане коло ω\omega трикутника △ABC\triangle ABC дотикається до сторін BCBC, CACA та ABAB відповідно в точках A1A_{1}, B1B_{1} та C1C_{1}. Нехай EE і FF — образи точки CC при симетрії відносно прямих A1C1A_{1}C_{1} і B1C1B_{1}C_{1} відповідно, а KK і LL — образи точки HH при симетрії відносно прямих A1C1A_{1}C_{1} і B1C1B_{1}C_{1} відповідно. Доведіть, що описані кола трикутників A1EIA_{1}EI, B1FIB_{1}FI і C1KLC_{1}KL проходять через спільну точку.
10–11 класиСиметрія2 розв’язки
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2022-003

Чотирикутник з перпендикулярними прямими

Є опуклий чотирикутник ABCDABCD і точка PP всередині нього такі, що прямі APAP і ADAD перпендикулярні, а прямі BPBP і CDCD перпендикулярні. Якщо AB=7AB = 7, AP=3AP = 3, BP=6BP = 6, AD=5AD = 5, CD=10CD = 10, знайдіть площу трикутника ABCABC.
10–11 класиПоворот
Американські математичні змагання 10 (AMC 10)AMC10-2021-012

Відображення відносно прямих, що перетинаються

Різні прямі ℓ\ell і mm лежать у площині xyxy. Вони перетинаються в початку координат. Точку P(−1,4)P(-1, 4) відображено симетрично відносно прямої ℓ\ell у точку P′P', а потім точку P′P' відображено симетрично відносно прямої mm у точку P′′P''. Рівняння прямої ℓ\ell має вигляд 5x−y=05x - y = 0, а координати точки P′′P'' дорівнюють (4, 1). Яким є рівняння прямої mm? (A) 5x+2y=05x + 2y = 0 (B) 3x+2y=03x + 2y = 0 (C) x−3y=0x - 3y = 0 (D) 2x−3y=02x - 3y = 0 (E) 5x−3y=05x - 3y = 0
8–10 класиСиметрія
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-017

Симетричні точки A і кола що дотикаються

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник, у якого кути при BB і при DD тупі, а кути при AA і при CC рівні між собою. Нехай EE і FF — точки, симетричні до AA відносно прямих (BC)(BC) і (CD)(CD). Нехай KK і LL — точки перетину прямої (BD)(BD) з прямими (AE)(AE) і (AF)(AF). Доведіть, що описані кола трикутників BEKBEK і DFLDFL дотикаються одне до одного.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-021

Конкурентність у колах рівнобедреного трикутника

Нехай ABCABC — рівнобедрений трикутник з вершиною AA, а DD — точка відрізка [BC][BC] така, що BD≠CDBD \neq CD. Нехай PP і QQ — ортогональні проєкції DD на прямі (AB)(AB) і (AC)(AC). Нарешті, нехай EE — точка перетину, відмінна від AA, описаних кіл трикутників ABCABC і APQAPQ. Доведіть, що якщо прямі (EP)(EP), (AC)(AC) і серединний перпендикуляр до відрізка [PQ][PQ] перетинаються в одній точці, то трикутник ABCABC має прямий кут при вершині AA.
10–11 класиСиметрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-012

Перетин прямих, що сполучають відповідні вершини тетраедрів

Нехай A1A2A3A4A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}, B1B2B3B4B_{1} B_{2} B_{3} B_{4} і C1C2C3C4C_{1} C_{2} C_{3} C_{4} — три правильні тетраедри в тривимірному просторі, попарно нерівні. Припустимо, що для кожного i∈{1,2,3,4}i \in \{1,2,3,4\} точка CiC_{i} є серединою відрізка AiBiA_{i} B_{i}. Визначте, чи повинні чотири прямі A1B1A_{1} B_{1}, A2B2A_{2} B_{2}, A3B3A_{3} B_{3} і A4B4A_{4} B_{4} перетинатися в одній точці.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-122

Чотирикутник ABCD з BC = 3, CD = 4

Нехай AEFAEF — трикутник, у якому EF=20EF=20 і AE=AF=21AE=AF=21. Нехай BB і DD — точки на відрізках AEAE і AFAF відповідно, такі, що BDBD паралельна EFEF. Точку CC вибрано всередині трикутника AEFAEF так, що чотирикутник ABCDABCD є вписаним. Якщо BC=3BC=3 і CD=4CD=4, то відношення площ [ABCD][AEF]\frac{[ABCD]}{[AEF]} можна записати як ab\frac{a}{b}, де a,ba, b — взаємно прості натуральні числа. Обчисліть 100a+b100a+b.
10–11 класиПоворот2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-133

Області від траєкторії променя у квадраті

Світловий імпульс стартує з вершини дзеркального квадрата. Він рухається всередині квадрата, відбиваючись від периметра квадрата nn разів, перш ніж потрапити в іншу вершину. Траєкторія світлового імпульсу розбиває квадрат рівно на 2021 область. Обчисліть найменше можливе значення nn.
10–11 класиСиметрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-024

Дотичні описані кола за кутових умов

У трикутнику ABCA B C нехай MM — середина сторони BCB C, а DD — точка на відрізку AMA M. На променях CA→\overrightarrow{C A} і BA→\overrightarrow{B A} відповідно вибрано різні точки YY і ZZ такі, що ∠DYC=∠DCB\angle D Y C = \angle D C B і ∠DBC=∠DZB\angle D B C = \angle D Z B. Доведіть, що описане коло трикутника △DYZ\triangle D Y Z дотикається до описаного кола трикутника △DBC\triangle D B C.
10–11 класиГомотерія і подібність2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-124

Коло з рівнобедреним прямокутним трикутником

Нехай OO та AA — дві точки на площині, причому OA=30OA = 30, а Γ\Gamma — коло з центром OO радіуса rr. Припустімо, що існують дві точки BB і CC на колі Γ\Gamma такі, що ∠ABC=90∘\angle ABC = 90^{\circ} і AB=BCAB = BC. Обчисліть найменше можливе значення ⌊r⌋\lfloor r \rfloor.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-030

Хорда вписаного кола і паралельність до сторони

Нехай різносторонній трикутник ABCA B C має центр описаного кола OO і інцентр II. Його вписане коло ω\omega дотикається до сторін BC,CAB C, C A і ABA B у точках D,ED, E і FF відповідно. Нехай PP — основа висоти з DD на пряму EFE F, а пряма DPD P перетинає ω\omega вдруге в точці Q≠DQ \neq D. Пряма OIO I перетинає висоту з AA на сторону BCB C у точці TT. За умови, що OI∥BCO I \parallel B C, доведіть, що PQ=PTP Q = P T.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-067

Два суміжні квадрати і перетин прямої з основою

Квадрати ABCDABCD і DEFGDEFG мають довжини сторін 11 і 13\frac{1}{3} відповідно, де EE лежить на CD‾\overline{CD}, а точки AA, DD, GG лежать на одній прямій у такому порядку. Пряма CFCF перетинає пряму AGAG у точці XX. Довжину AXAX можна записати у вигляді mn\frac{m}{n}, де m,nm, n — натуральні числа й НСД(m,n)=1\text{НСД}(m, n)=1. Знайдіть 100m+n100m+n.
10–11 класиГеометрична прогресія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-107

Рівносторонній трикутник у вкладених квадратах

Нехай nn — відповідь до цієї задачі. Нехай квадрат ABCDABCD має довжину сторони 33. Тоді проведено конгруентні квадрати EHGFEHGF і IHJKIHJK, що не перетинаються, зі стороною n6\frac{n}{6} так, що AA, CC і HH колінеарні, EE лежить на стороні BCBC, а II лежить на стороні CDCD. Відомо, що AJGAJG — рівносторонній трикутник. Тоді площа трикутника AJGAJG дорівнює a+bca + b \sqrt{c}, де aa, bb, cc — натуральні числа, причому cc не ділиться на квадрат жодного простого числа. Знайдіть a+b+ca + b + c.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-039

Частинка, що відбивається між концентричними колами

Два кола Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} радіусів 11 і 22 відповідно мають центр у початку координат. Частинка міститься в точці (2,0)(2,0) і її запускають у напрямку до кола Γ1\Gamma_{1}. Коли вона досягає Γ1\Gamma_{1}, вона відбивається від кола й прямує назад до кола Γ2\Gamma_{2}. Частинка продовжує відбиватися від цих двох кіл у такий спосіб. Якщо частинку запущено під гострим кутом θ\theta над віссю xx, вона відіб'ється 1111 разів, перш ніж уперше повернеться до (2,0)(2,0). Якщо ctg⁡θ=a−b\operatorname{ctg} \theta = a - \sqrt{b} для натуральних чисел aa і bb, обчисліть 100a+b100a + b.
10–11 класиСиметрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-047

Математичне сподівання периметра перерізу куба

Нехай PP — точка, обрана навмання рівномірно в кубі [0,1]3[0,1]^3. Площина, паралельна до площини x+y+z=0x+y+z=0, що проходить через PP, перетинає куб у двовимірній області R\mathcal{R}. Нехай tt — математичне сподівання периметра області R\mathcal{R}. Якщо t2t^2 можна записати у вигляді ab\frac{a}{b}, де aa і bb — взаємно прості натуральні числа, обчисліть 100a+b100a+b.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-053

Трикутник з умовами на кути і середину

У гострокутному трикутнику ABCA B C точка OO — центр описаного кола, а MM — середина сторони BCB C. Нехай PP — єдина точка така, що ∠BAP=∠CAM\angle B A P = \angle C A M, ∠CAP=∠BAM\angle C A P = \angle B A M і ∠APO=90∘\angle A P O = 90^\circ. Якщо AO=53A O = 53, OM=28O M = 28 і AM=75A M = 75, обчисліть периметр △BPC\triangle B P C.
10–11 класиІнверсія
Відбіркові тести на IMOTST-2021-004

Бісектриса прямокутного трикутника з інцентром

Нехай ABCA B C — трикутник, у якому ∠BAC=90∘\angle B A C=90^{\circ}, з центром описаного кола OO та інцентром II. Бісектриса кута ∠BAC\angle B A C перетинає описане коло трикутника ABCA B C у точках AA і PP. Нехай QQ — проєкція точки PP на пряму ABA B, а RR — проєкція точки II на пряму PQP Q. Доведіть, що пряма ROR O ділить відрізок CIC I навпіл.
10–11 класиТеорема про тризуб
Відбіркові тести на IMOTST-2021-029

Рівнобедрений трикутник з прямими кутами і колінеарними точками

У рівнобедреному трикутнику ABCABC, де BC‾=CA‾\overline{BC}=\overline{CA}, нехай DD — точка у внутрішності сторони ABAB, для якої виконується AD‾<DB‾\overline{AD}<\overline{DB}. Далі нехай PP і QQ — дві точки у внутрішності сторін BCBC та CACA відповідно, такі, що виконується ∠DPB=∠AQD=90∘\angle DPB=\angle AQD=90^{\circ}. Серединний перпендикуляр до відрізка PQPQ перетинає CQCQ у точці EE, а описані кола трикутників ABCABC і QPCQPC перетинаються, крім CC, ще в одній точці FF. Доведіть: якщо P,EP, E і FF колінеарні, то ∠ACB=90∘\angle ACB=90^{\circ}.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.