Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 010 задач
КомбінаторикаІгри і стратегії
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-024

Таблиця 3×3 з числами 1, 8 і рівними сумами

Числа 11 і 88 записано в таблиці 3×33 \times 3, як показано на рис. 5.10. Решту сім комірок треба заповнити числами 22, 33, 44, 55, 66, 77 і 99, використовуючи кожне число рівно по одному разу, таким чином, щоб сума чисел у всіх чотирьох квадратах 2×22 \times 2 була однаковою. Знайдіть усі можливі способи заповнити таблицю. | | | | |---|---|---| | 11 | | | | | | 88 | | | | | Рис. 5.10
4–6 класиІнші інваріанти
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2012-003

Вгадування числа запитаннями про множини з брехнею

Алла та Богдан грають у гру під назвою «Ти ж мене підманула». У правилах гри фігурують два натуральних числа kk й nn, відомих до початку гри обом гравцям. Гра проходить так. Спершу Алла вибирає два натуральних числа xx та NN, які задовольняють умову 1⩽x⩽N1 \leqslant x \leqslant N. Вона повідомляє Богдану число NN, але значення xx тримає в таємниці. Богдан намагається дізнатися щось про число xx у такий спосіб: він називає довільну множину SS натуральних чисел (можливо, уже названу раніше) та питає Аллу, чи належить число xx щойно названій множині. Богдан може змінювати множину SS (і повторювати запитання) як завгодно багато разів. На кожне поставлене Богданом запитання Алла повинна відразу ж відповісти «так» або «ні». При цьому вона може брехати як завгодно багато разів за єдиної умови: серед відповідей Алли на довільне k+1k+1 послідовне запитання хоча б одна відповідь має бути правдивою. Після того як Богдан поставить Аллі стільки запитань, скільки йому потрібно, він повинен назвати деяку множину XX, що містить не більше за nn натуральних чисел. Якщо x∈Xx \in X, то Богдан перемагає, інакше він програє. Доведіть такі твердження: а) Якщо n⩾2kn \geqslant 2^k, то Богдан може забезпечити собі перемогу. б) Для довільного достатньо великого kk знайдеться таке ціле число n⩾1,99kn \geqslant 1{,}99^k, при якому Богдан не зможе забезпечити собі перемогу.
10–11 класиІнші інваріанти
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-007

Скінченний процес із сусідніми парами чисел

У ряд записано декілька натуральних чисел. Послідовно Аліса вибирає два сусідні числа xx і yy такі, що x>yx > y і xx стоїть ліворуч від yy, і замінює пару (x,y)(x, y) або на (y+1,x)(y+1, x), або на (x−1,x)(x-1, x). Доведіть, що вона може виконати лише скінченну кількість таких ітерацій.
10–11 класиНапівінваріанти3 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-010

Мінімальна кількість монет для гри з коробками по колу

Гравці AA і BB грають у гру з N≥2012N \geq 2012 монетами та 20122012 коробками, розташованими по колу. Спочатку AA розкладає монети по коробках так, щоб у кожній коробці була принаймні 11 монета. Потім вони роблять ходи в порядку B,A,B,A,…B, A, B, A, \ldots за такими правилами: - Кожним своїм ходом BB перекладає по 11 монеті з кожної коробки до сусідньої коробки. - Кожним своїм ходом AA вибирає кілька монет, які не були задіяні в попередньому ході BB і лежать у різних коробках. Кожну вибрану монету вона перекладає до сусідньої коробки. Мета гравчині AA — забезпечити принаймні по 11 монеті в кожній коробці після кожного її ходу, незалежно від того, як грає BB і скільки ходів буде зроблено. Знайдіть найменше NN, за якого вона може досягти успіху.
10–11 класиНапівінваріанти
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2011-030

Гра НСД з пороговим відношенням купок

Айно і Вяйно починають грати в гру GCD(m,nm, n), де mm і nn — натуральні числа. На початку на столі лежать дві купки камінців, одна з mm камінцями, інша з nn камінцями. Гравець, чия черга ходити, забирає певну кількість камінців з однієї з купок. Ця кількість кратна кількості камінців в іншій купці. Айно починає, і гравці ходять по черзі, доки одна з купок не стане порожньою. Той, кому вдасться спорожнити купку, перемагає. Доведіть, що існує таке α>1\alpha > 1, що якщо mm і nn — натуральні числа з m>αnm > \alpha n, то Айно має виграшну стратегію в грі GCD(m,nm, n), тоді як якщо αn>m>n\alpha n > m > n, то її має Вяйно.
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2011-038

Гра з відніманням і діленням

Двоє гравців грають у таку гру з натуральними числами. Початкове число — 201120112011^{2011}. Кожен хід полягає у відніманні цілого числа від 11 до 20102010 включно або в діленні на 20112011 з округленням униз, якщо потрібно. Гравець, який отримає недодатне ціле число, перемагає. Хто переможе в цій грі: перший гравець чи другий?
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Шорт-лист IMOIMOSL-2011-006

Мурахи на дошці з правилами зіткнень

Нехай mm — натуральне число і розглянемо шахівницю, що складається з mm на mm одиничних квадратиків. У серединах деяких із цих одиничних квадратиків є мураха. У момент часу 0 кожна мураха починає рухатися зі швидкістю 1 паралельно до деякої сторони шахівниці. Коли дві мурахи, що рухаються в протилежних напрямках, зустрічаються, вони обидві повертають на 90∘90^{\circ} за годинниковою стрілкою і продовжують рухатися зі швидкістю 1. Коли зустрічаються більше ніж дві мурахи або коли зустрічаються дві мурахи, що рухаються у перпендикулярних напрямках, мурахи продовжують рухатися в тому самому напрямку, що й до зустрічі. Коли мураха досягає одного з країв шахівниці, вона падає з неї і більше не з'являється. Розглядаючи всі можливі початкові положення, визначте найпізніший можливий момент, у який остання мураха падає з шахівниці, або доведіть, що такий момент не обов'язково існує.
10–11 класиІнші інваріанти
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2010-034

Незалежна множина у графі обміну капелюхами

У групі з 3030 людей кожен спочатку мав капелюх. Одного дня кожен учасник відправив свій капелюх іншому учаснику (один учасник міг отримати більше одного капелюха). Доведіть, що існує підгрупа з 1010 людей така, що жоден учасник цієї підгрупи не отримав капелюха від іншого учасника цієї підгрупи.
10–11 класиКласичні теореми теорії графів
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2010-036

Гра з уникненням 4-членної арифметичної прогресії

Двоє гравців, Мейкер і Брейкер, грають у таку гру: Мейкер починає, і гравці по черзі вибирають різні числа з множини {0,1,…,10}\{0, 1, \dots, 10\}. Мейкер виграє, якщо деякі з вибраних ним чисел утворюють строго зростаючу арифметичну прогресію довжини чотири, Брейкер виграє, якщо їй вдається цьому запобігти. Хто з гравців має виграшну стратегію?
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2009-030

Поворот трикутної решітки на 120°

Нехай nn — натуральне число. У трикутній решітці зі стороною довжини nn в кожному вузлі розташовано по одному об’єкту. Дозволено такі кроки: вибрати три вузли, які попарно є сусідами один з одним, і циклічно переставити об’єкти, що стоять у цих вузлах. Для яких nn можна повернути всю множину об’єктів на 120∘120^\circ відносно центра решітки?
10–11 класиПерестановки
Шорт-лист IMOIMOSL-2009-007

Гра з перевертанням блоків карток

На довгому столі паралельно лежать 20092009 карток, кожна з яких має золоту сторону й чорну сторону. Спочатку всі картки лежать золотими сторонами догори. Двоє гравців, які стоять з того самого довгого боку столу, грають по черзі. Кожен хід полягає у виборі блока з 5050 послідовних карток, найлівіша з яких показує золото, і перевертанні їх усіх, так що ті, які показували золото, тепер показують чорний бік, і навпаки. Останній гравець, який може зробити дозволений хід, перемагає. a. Чи обов'язково гра закінчиться? b. Чи існує виграшна стратегія для гравця, який починає?
10–11 класиНапівінваріанти
Шорт-лист IMOIMOSL-2009-011

П'ять відер у вершинах п'ятикутника та переповнення

П'ять однакових порожніх відер місткістю 2 літри стоять у вершинах правильного п'ятикутника. Попелюшка та її зла Мачуха проводять послідовність раундів: на початку кожного раунду Мачуха бере один літр води із сусідньої річки та довільно розподіляє його по п'яти відрах. Потім Попелюшка вибирає пару сусідніх відер, виливає їх у річку та ставить назад. Потім починається наступний раунд. Мета Мачухи — домогтися переповнення одного з цих відер. Мета Попелюшки — цьому запобігти. Чи може зла Мачуха змусити відро переповнитися?
10–11 класиІнші інваріанти2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2009-013

Функція розбиття і подвоєння цифр

Для будь-якого цілого n≥2n \geq 2 обчислюємо ціле число h(n)h(n), застосовуючи таку процедуру до його десяткового запису. Нехай rr — найправіша цифра числа nn. (1) Якщо r=0r=0, то десятковий запис числа h(n)h(n) одержується з десяткового запису числа nn вилученням цієї найправішої цифри 00. (2) Якщо 1≤r≤91 \leq r \leq 9, розбиваємо десятковий запис числа nn на максимальну праву частину RR, що складається лише з цифр, не менших за rr, і на ліву частину LL, яка або порожня, або закінчується цифрою, строго меншою за rr. Тоді десятковий запис числа h(n)h(n) складається з десяткового запису LL, за яким ідуть дві копії десяткового запису R−1R-1. Наприклад, для числа n=17,151,345,543n=17,151,345,543 матимемо L=17,151L=17,151, R=345,543R=345,543 і h(n)=17,151,345,542,345,542h(n)=17,151,345,542,345,542. Доведіть, що, починаючи з довільного цілого n≥2n \geq 2, ітероване застосування hh дає ціле число 11 за скінченну кількість кроків.
10–11 класиНапівінваріанти3 розв’язки
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2009-003

Заміна чисел на суму та добуток

На дошці написано цілі числа 1,2,3,41, 2, 3, 4 і 55. Дозволено стерти два цілі числа aa і bb та замінити їх на a+ba+b і aba b. Чи можливо, повторюючи цю процедуру, досягти ситуації, коли три з п’яти цілих чисел на дошці дорівнюють 20092009?
10–11 класиПарність і непарність
Балтійський шляхBW-2008-010

Підмножина без суми 169 містить повний квадрат

Розглянемо підмножину AA з 84 елементів множини {1,2,…,169}\{1,2, \ldots, 169\} таку, що жодні два її елементи в сумі не дають 169. Доведіть, що AA містить повний квадрат.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2007-001

Неспадна послідовність і відхилення від заданих чисел

Задані дійсні числа a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n. Для кожного ii (1≤i≤n1 \le i \le n) визначимо di=max⁡1≤j≤iaj−min⁡i≤j≤najd_i = \max\limits_{1 \le j \le i} a_j - \min\limits_{i \le j \le n} a_j і нехай d=max⁡1≤i≤ndid = \max\limits_{1 \le i \le n} d_i. а) Довести, що для довільних дійсних чисел x1≤x2≤…≤xnx_1 \le x_2 \le \ldots \le x_n виконується нерівність: max⁡1≤i≤n∣xi−ai∣≥d2.(∗)\max\limits_{1 \le i \le n} | x_i - a_i | \ge \frac{d}{2}. \qquad (*) б) Показати, що існують дійсні числа x1≤x2≤…≤xnx_1 \le x_2 \le \ldots \le x_n, для яких нерівність () обертається в рівність.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист IMOIMOSL-2007-012

Ітероване розбиття з мінімізацією різниці сум

Нехай A0=(a1,…,an)A_{0} = (a_{1}, \ldots, a_{n}) — скінченна послідовність дійсних чисел. Для кожного k≥0k \geq 0 з послідовності Ak=(x1,…,xn)A_{k} = (x_{1}, \ldots, x_{n}) будуємо нову послідовність Ak+1A_{k+1} таким чином. 1. Вибираємо розбиття {1,…,n}=I∪J\{1, \ldots, n\} = I \cup J, де II і JJ — дві множини, що не перетинаються, так, щоб вираз ∣∑i∈Ixi−∑j∈Jxj∣\left|\sum_{i \in I} x_{i} - \sum_{j \in J} x_{j}\right| набував найменшого можливого значення. (Дозволяємо множинам II або JJ бути порожніми; у цьому випадку відповідна сума дорівнює 00.) Якщо таких розбиттів декілька, вибираємо довільне з них. 2. Покладаємо Ak+1=(y1,…,yn)A_{k+1} = (y_{1}, \ldots, y_{n}), де yi=xi+1y_{i} = x_{i} + 1, якщо i∈Ii \in I, і yi=xi−1y_{i} = x_{i} - 1, якщо i∈Ji \in J. Доведіть, що для деякого kk послідовність AkA_{k} містить елемент xx такий, що ∣x∣≥n/2|x| \geq n / 2.
10–11 класиНапівінваріанти
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2007-003

Гра з розкладанням на множники та стиранням однакових чисел

На дошці написано число 10200710^{2007}. Анна і Беріт грають у гру, у якій гравець у свій хід виконує одну з двох операцій: (i) Замінити число xx на дошці двома цілими числами aa і bb, більшими за 11, такими, що x=abx = ab; (ii) Витерти одне або обидва з двох однакових чисел на дошці. Гравчиня, яка не може зробити свій хід, програє гру. Хто має виграшну стратегію?
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Балтійський шляхBW-2006-006

Максимальна множина чисел зі спільними цифрами

Визначте найбільший можливий розмір множини натуральних чисел з такими властивостями: (1) Числа складаються з цифр множини {1,2,3,4,5,6}\{1,2,3,4,5,6\}. (2) Жодна цифра не трапляється більше одного разу в одному числі. (3) Цифри в кожному числі йдуть у порядку зростання. (4) Будь-які два числа мають принаймні одну спільну цифру (можливо, на різних позиціях). (5) Немає цифри, яка входить до всіх чисел.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-015

Матриці перестановок через перемикання прямокутників

Торт має форму квадрата n×nn \times n, складеного з n2n^2 одиничних квадратиків. Полуниці лежать на деяких одиничних квадратиках так, що кожен рядок і кожен стовпчик містить рівно одну полуницю; назвемо таке розташування A\mathcal{A}. Нехай B\mathcal{B} — інше таке розташування. Припустимо, що кожен клітчастий прямокутник з однією вершиною у верхньому лівому куті торта містить не менше полуниць розташування B\mathcal{B}, ніж розташування A\mathcal{A}. Доведіть, що розташування B\mathcal{B} можна отримати з A\mathcal{A}, виконавши кілька перемикань, означених так: Перемикання полягає у виборі клітчастого прямокутника лише з двома полуницями, розташованими в його верхньому правому куті та нижньому лівому куті, і переміщенні цих двох полуниць до двох інших кутів цього прямокутника.
10–11 класиНапівінваріанти
Балтійський шляхBW-2005-001

Послідовність сум степенів цифр

Нехай a0a_{0} — натуральне число. Визначимо послідовність ana_{n}, n≥0n \geq 0, таким чином: якщо an=∑i=0jci10ia_{n} = \sum_{i=0}^{j} c_{i} 10^{i} де cic_{i} — цілі числа, для яких 0≤ci≤90 \leq c_{i} \leq 9, то an+1=c02005+c12005+⋯+cj2005.a_{n+1} = c_{0}^{2005} + c_{1}^{2005} + \cdots + c_{j}^{2005}. Чи можна вибрати a0a_{0} так, щоб усі члени послідовності були різними?
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2005-003

Сильна позиція дівчини у колі

За круглим (великим!) столом сидять 2005 молодих людей. З них щонайбільше 668 — хлопці. Кажемо, що дівчина GG перебуває в сильній позиції, якщо, рахуючи від GG в будь-який бік на будь-яку довжину, кількість дівчат завжди строго більша за кількість хлопців. (Сама GG враховується в підрахунку.) Доведіть, що за будь-якого розміщення завжди знайдеться дівчина в сильній позиції.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Балтійський шляхBW-2004-010

Послідовність підмножин з умовою перетину

25 держав-членів Європейського Союзу створюють комітет з такими правилами: (1) комітет має засідати щодня; (2) на кожному засіданні має бути представлена принаймні одна держава-член; (3) на будь-яких двох різних засіданнях мають бути представлені різні множини держав-членів; та (4) на nn-му засіданні, для кожного k<nk < n, множина представлених держав має містити принаймні одну державу, яка була представлена на kk-му засіданні. Протягом скількох днів комітет може проводити свої засідання?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Балтійський шляхBW-2004-011

Стратегія гри з розбиттям купок

Будемо казати, що купка — це множина з чотирьох або більше горіхів. Двоє гравців грають у таку гру. Спочатку вони мають одну купку з n≥4n \geq 4 горіхів. За один хід гравець бере одну з наявних купок і розбиває її на дві непорожні підмножини (ці множини не обов'язково є купками, вони можуть містити довільну кількість горіхів). Якщо гравець не може зробити хід, він програє. Для яких значень nn перший гравець має виграшну стратегію?
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Балтійський шляхBW-2004-012

Перестановки стрибками по колу

Коло поділено на 13 ділянок, пронумерованих підряд від 1 до 13. П’ять бліх на ім’я A,B,C,DA, B, C, D і EE сидять на ділянках 1, 2, 3, 4 і 5. Блоха може стрибнути на вільну ділянку, віддалену на п’ять позицій в будь-який бік навколо кола. Одночасно стрибає лише одна блоха, і дві блохи не можуть перебувати на одній ділянці. Після кількох стрибків блохи знову опиняються на ділянках 1, 2, 3, 4, 5, але, можливо, в іншому порядку, ніж на початку. Які порядки можливі?
10–11 класиІнші інваріанти

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.