Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

836 задач
КомбінаторикаПринцип Діріхле
Відбіркові тести на IMOTST-2022-001

Двійкова послідовність, подільна за будь-якої основи

Нехай nn — натуральне число. Доведіть, що існує скінченна послідовність SS, складена лише з нулів та одиниць, яка має таку властивість: для будь-якого натурального числа d≥2d \geq 2, коли SS тлумачиться як число в системі числення з основою dd, одержане число ненульове і ділиться на nn. Зауваження: послідовність S=sksk−1⋯s1s0S=s_{k} s_{k-1} \cdots s_{1} s_{0}, тлумачена в системі з основою dd, — це число ∑i=0ksidi\sum_{i=0}^{k} s_{i} d^{i}.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2022-012

Визначення пар лампа–вимикач

До стелі кімнати підвішено 15 ламп, пронумерованих від 1 до 15. Спочатку всі лампи вимкнені. В іншій кімнаті є 15 вимикачів: вимикач для ламп 1 і 2, вимикач для ламп 2 і 3, вимикач для ламп 3 і 4, і так далі, аж до вимикача для ламп 15 і 1. Якщо перемкнути вимикач такої пари ламп, кожна з цих двох ламп змінює свій стан (з увімкненої на вимкнену або навпаки). Вимикачі висять у довільному порядку й виглядають усі однаково. Раймонд хоче з'ясувати, який вимикач відповідає якій парі ламп. З кімнати з вимикачами ламп він не бачить. Він може перемкнути кілька вимикачів, а потім піти до іншої кімнати, щоб подивитися, які лампи увімкнені. Це він може робити кілька разів. Скільки разів йому потрібно щонайменше сходити до іншої кімнати, щоб про кожен вимикач точно знати, якій парі ламп він відповідає?
10–11 класиСистеми числення
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2022-001

Неперетинні підмножини з близькими сумами обернених

Нехай SS — множина з 10 натуральних чисел. Доведіть, що можна знайти дві неперетинні підмножини A={a1,…,ak}A = \{a_{1}, \ldots , a_{k}\} і B={b1,…,bk}B = \{b_{1}, \ldots , b_{k}\} множини SS такі, що ∣A∣=∣B∣|A| = |B| і суми x=1a1+⋯+1akx = \frac{1}{a_{1}} +\dots +\frac{1}{a_{k}} і y=1b1+⋯+1bky = \frac{1}{b_{1}} +\dots +\frac{1}{b_{k}} відрізняються менше ніж на 0,01; тобто ∣x−y∣<1/100|x - y|< 1 / 100
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2022-010

Унікальні шістки улюбленців і автографи

924 уболівальники збірної Ліхтенштейну з футболу з Ліхтенштейну або зі Швейцарії зібралися, щоб отримати автографи своїх улюблених гравців. У команді 11 гравців, і кожен уболівальник має рівно 6 улюблених гравців. Жодні двоє людей з однієї країни не мають однакової групи улюбленців, і зрештою кожен отримав рівно один автограф від одного зі своїх улюблених гравців. Доведіть, що існує гравець, який дав автограф і швейцарцю, і ліхтенштейнцю.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2022-004

Розфарбування кола з умовою на послідовні групи

Нехай n≥3n \geq 3 — ціле число. Анналена має нескінченно багато коров'ячих дзвіночків кожного з nn різних кольорів. Для цілого числа m≥n+1m \geq n+1 і групи з mm корів, що стоять у колі, вона має пов'язати кожній корові на шию по одному дзвіночку так, щоб будь-яка група з n+1n+1 послідовних корів мала дзвіночки всіх можливих nn кольорів. Доведіть, що існує лише скінченно багато значень mm, для яких це неможливо, та визначте найбільше таке mm через nn.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-004

Мінімаксна сума на позначеному восьмикутнику

Моргана і Босфор грають у таку гру. Моргана написала цілі числа від 1 до 8 на вершинах правильного восьмикутника: кожне число написане на одній з восьми вершин восьмикутника. Босфор далі вибирає вершину й обчислює суму чисел, написаних на цій вершині та на двох її сусідах. Він позначає через ss цю суму і дає ss цукерок Моргані. Босфор вибирає вершину так, щоб дати Моргані якомога менше цукерок, а Моргана записує цілі числа від 1 до 8 так, щоб отримати якомога більше цукерок. Доведіть, що Босфор дасть їй 12 цукерок.
8–10 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-134

Сума розмірів образів ітерованої функції

Нехай S={1,2,…,2021}S=\{1,2, \ldots, 2021\}, і нехай F\mathcal{F} позначає множину функцій f:S→Sf: S \rightarrow S. Для функції f∈Ff \in \mathcal{F} нехай Tf={f2021(s):s∈S}T_{f}=\left\{f^{2021}(s): s \in S\right\} де f2021(s)f^{2021}(s) позначає f(f(⋯(f(s))⋯ ))f(f(\cdots(f(s)) \cdots)), у якому ff застосовано 2021 раз. Обчисліть остачу від ділення ∑f∈F∣Tf∣\sum_{f \in \mathcal{F}}\left|T_{f}\right| на просте число 2017, де сума береться за всіма функціями ff з множини F\mathcal{F}.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-070

Дев'ять чисел 1, 12, … з взаємно простими сусідами

Знайдіть кількість способів, якими дев'ять чисел 1,12,123,1234,…,1234567891, 12, 123, 1234, \ldots, 123456789 можна розташувати в ряд так, щоб сусідні числа були взаємно простими.
10–11 класиОзнаки подільності на 2, 3, …
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-048

Добутки підмножин за модулем 100

Нехай nn — натуральне число. Клаудіо має nn карток, кожна позначена різним числом від 11 до nn. Він бере підмножину цих карток і перемножує числа, написані на картках. Він зауважує, що для будь-якого натурального числа mm можна вибрати деяку підмножину карток так, щоб різниця між їхнім добутком і mm ділилася на 100100. Знайдіть найменше можливе значення nn.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Відбіркові тести на IMOTST-2021-022

Числа з квадратною сумою дільників

Назвемо натуральне число дивакуватим, якщо сума його додатних дільників є квадратом. Доведіть, що існує нескінченно багато дивакуватих чисел.
10–11 класиСума дільників σ(n)
Італійська математична олімпіадаITAMO-2021-019

Вартові, що охороняють точки сітки

Сітка складається з n×nn \times n точок, де nn — натуральне число. У деяких із цих точок розміщено по вартовому. Кожен вартовий вибирає два взаємно перпендикулярні напрями (серед напрямів рядків і стовпців сітки) і охороняє всі точки, що лежать у вибраних напрямах. Кожен вартовий охороняє також клітину, яку займає, а вартові, що стоять на краю, залежно від вибраних напрямів можуть дивитися й у порожнечу. Наприклад, на рисунку нижче, що відповідає розміщенню 5 вартових у сітці 4×44 \times 4, вартові в A,B,C,D,EA, B, C, D, E охороняють відповідно 1,3,4,5,71,3,4,5,7 точок; точки DD та EE охороняються лише одним вартовим, точка CC охороняється 2 вартовими, точки A,BA, B та FF охороняються 3 вартовими. a) Доведіть, що можна розмістити 12 вартових у сітці 4×44 \times 4 так, щоб кожна точка сітки охоронялася не більше ніж 2 вартовими. b) Нехай S(n)S(n) — найбільша кількість вартових, яку можна розмістити в сітці n×nn \times n так, щоб кожна точка сітки охоронялася не більше ніж 2 вартовими. Доведіть, що 3n≤S(n)≤4n3 n \leq S(n) \leq 4 n для всіх n≥3n \geq 3.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2021-022

Виявлення періоду періодичної послідовності

Послідовність x1,x2,…,xn,…x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, \ldots складається з початкового блоку з pp різних натуральних чисел, які далі періодично повторюються. Це означає, що {x1,x2,…,xp}\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{p}\right\} — це pp різних натуральних чисел, і xn+p=xnx_{n+p}=x_{n} для кожного натурального nn. Члени послідовності невідомі, а мета — визначити період pp. Для цього на кожному кроці можна відкрити значення одного члена послідовності за власним вибором (причому вибір може залежати від результатів попередніх кроків). a. Знаючи наперед, що 1≤p≤101 \leq p \leq 10, знайдіть найменше nn, для якого існує стратегія, що дає змогу достовірно визначити pp, відкривши не більше ніж nn членів. b. Знаючи наперед, що pp — одне з перших kk простих чисел, визначте, для яких значень kk існує стратегія, що дає змогу достовірно визначити pp, відкривши не більше ніж 5 членів.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2021-003

Замощення коробки 2×2×4 блоками з чотирьох кубиків

Як показано на рисунку нижче, існує чотири типи блоків, утворених із чотирьох кубиків зі стороною один. Скількома способами можна покласти чотири блоки цих типів у прямокутну коробку 2×2×42 \times 2 \times 4 так, щоб вони не виступали назовні? Зауважимо, що можна використовувати кілька блоків одного типу, а блоки можна обертати. Крім того, способи, які збігаються між собою при обертанні коробки, вважаємо різними.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2021-005

Множина з простими сумами будь-яких трьох чисел

Нехай {x1,x2,x3,…,xn}\{x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{n}\} — множина з nn різних натуральних чисел, така, що сума будь-яких 3 з них є простим числом. Яке найбільше можливе значення nn?
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2021-005

Мінімальна площа покриття прямокутників

Нехай m≥nm \geq n — натуральні числа. Фрідер отримав mnmn плакатів Лінуса з різними цілочисельними розмірами k×lk \times l, де 1≤k≤m1 \leq k \leq m і 1≤l≤n1 \leq l \leq n. Він має повісити їх усі по одному на стіну своєї спальні без поворотів. Щоразу, вішаючи плакат, він може розмістити його або на порожньому місці стіни, або на місці, де він повністю накриває один видимий плакат і не перекриває жодного іншого видимого плаката. Визначте мінімальну площу стіни, яка буде покрита плакатами. Зауваження: стіна — це конструкція, часто зроблена з цегли й бетону (або з картону, якщо ви живете у Вінтертурі), яку зазвичай можна знайти в будинках.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-019

Дільники степеня 10 з добутком, що є квадратом

Вибрано 5 додатних дільників числа 10202010^{2020}. Доведіть, що серед них є два, добуток яких є квадратом.
8–10 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-036

Розфарбування кола і паралельні прямі

Нехай nn — натуральне число. Є nn кольорів, і кожна точка кола пофарбована в один із цих кольорів. Доведіть, що існують дві паралельні прямі, які перетинають коло в 4 різних точках одного кольору.
8–10 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-009

Перестановка на колі з двома нерухомими точками

Під час свята 2019 осіб сідають навколо круглого столу, розміщуючись рівномірно. Сівши, вони помічають, що на кожному місці лежить картка з іменем і що ніхто не сидить на місці, де вказано його ім'я. Доведіть, що можна повернути стіл так, щоб двоє людей опинилися навпроти свого імені.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-004

Різні числа в рядку або стовпці таблиці

Таблиця розміру n×nn \times n містить n2n^2 клітинок. У кожній клітинці записано натуральне число від 11 до nn, причому кожне число з множини {1,…,n}\{1, \ldots, n\} трапляється в таблиці рівно nn разів. Доведіть, що існує рядок або стовпець таблиці, який містить принаймні n\sqrt{n} різних чисел.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-012

Максимальна множина без паралелограмів

Розглянемо клітинну дошку розміру 2019×20192019 \times 2019. На цій дошці розміщено камінці. Конфігурація називається гарною, якщо не існує паралелограма, утвореного чотирма камінцями ABCDA B C D, такими, що A,B,CA, B, C і DD не лежать на одній прямій. Яка найбільша кількість камінців, яку можна розмістити на дошці?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-015

Розфарбування дошки без одноколірних кутиків

Розглянемо клітинну дошку 2019×20192019 \times 2019. Позначимо через Ci,jC_{i, j} клітинку в ii-му стовпці та jj-му рядку для 1⩽i,j⩽20191 \leqslant i, j \leqslant 2019. Розфарбування дошки називається чудовим, якщо не існує 1⩽i<ℓ⩽20191 \leqslant i < \ell \leqslant 2019 та 1⩽j<k⩽20191 \leqslant j < k \leqslant 2019 таких, що клітинки Ci,jC_{i, j}, Ci,kC_{i, k} та Cℓ,jC_{\ell, j} мають однаковий колір. Яке найменше ціле число NN, для якого існує чудове розфарбування з NN кольорами?
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-137

Триколірні Г-триміно на дошці 4 на 4

Кожну клітинку квадратної дошки 4×44 \times 4 пофарбовано в червоний, зелений або синій колір. Серед усіх можливих розфарбувань дошки знайдіть найбільшу можливу кількість Г-триміно, які містять рівно по одній клітинці кожного кольору. (Г-триміно складаються з трьох одиничних квадратів зі спільною вершиною, як показано нижче.) □□□□□□□\square \square \square \square \square \square \square
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-097

n-елементні підмножини з малим перетином

Нехай n>1n > 1 — натуральне число, а SS — набір з 12(2nn)\frac{1}{2}\binom{2n}{n} різних nn-елементних підмножин множини {1,2,…,2n}\{1,2, \ldots, 2n\}. Доведіть, що існують A,B∈SA, B \in S такі, що ∣A∩B∣≤1|A \cap B| \leq 1.
10–11 класиПідрахунок двома способами2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-141

Очікуваний час зупинки з квадратним добутком

В Анн-Марі є колода з 16 карток, на кожній з яких написано різний додатний дільник числа 20022002. Вона тасує колоду і починає витягати картки з колоди без повернення. Вона зупиняється, коли існує непорожня підмножина карток у неї в руці, добуток чисел на яких є повним квадратом. Знайдіть математичне сподівання кількості карток у неї в руці в момент зупинки.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2020-002

Розфарбування ребер дводольного графа

На величезному аркуші в клітинку Марко розглядає прямокутник довжиною 20202020 клітинок і висотою 22. Далі він хоче сполучити 202022020^{2} відрізками кожен із 20202020 центрів клітинок нижнього ряду прямокутника з кожним із центрів клітинок верхнього ряду. Крім того, він хоче, щоб, якщо два з цих відрізків перетинаються (можливо, навіть лише в кінцевій точці), вони були проведені ручками різного кольору. a. Доведіть, що неможливо задовольнити вимоги Марка, якщо є лише ручки 40384038 різних кольорів. b. Доведіть, що натомість можна провести відрізки відповідно до вимог Марка, використовуючи 40394039 кольорів.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.