Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

710 задач
ГеометріяЦентральні і вписані кути
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-029

Рівні кути видимості з перехрестя

Три особи A,B,CA, B, C перебувають поблизу перехрестя двох перпендикулярних доріг. AA перебуває точно на перехресті, тоді як BB і CC перебувають на двох різних дорогах. На полі поблизу перехрестя (всередині прямого кута CA^BC \widehat{A} B) є рекламний щит, який тримається на двох стовпах, вбитих у землю в точках DD і EE, відстань між якими становить рівно один метр. A,BA, B і CC всі бачать лицьовий бік щита. Відомо, що кути DA^E,DB^ED \widehat{A} E, D \widehat{B} E і DC^ED \widehat{C} E мають величину по 30 градусів. Яка відстань (по прямій) між BB і CC? (A) 32 м\frac{3}{2} \text{ м} (B) 1+52 м\frac{1+\sqrt{5}}{2} \text{ м} (C) 3 м\sqrt{3} \text{ м} (D) 2 м2 \text{ м} (E) Неможливо визначити.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-009

Перетин висоти з описаним колом і рівність трикутників

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник; нехай OO — центр його описаного кола, а P,QP, Q — точки (відмінні від AA), в яких відповідно висота, проведена з вершини AA, і продовження відрізка AOAO перетинають описане коло трикутника ABCABC. a. Доведіть, що кути BA^PB\widehat{A}P і QA^CQ\widehat{A}C рівні; b. Доведіть, що трикутники BCPBCP і CBQCBQ рівні; c. Доведіть, що, якщо MM і NN — середини сторін ABAB і ACAC, то площа чотирикутника ABPCABPC у чотири рази більша за площу чотирикутника AMONAMON.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2012-002

Вписаний чотирикутник з кутами дотичних

Нехай точки AA, BB, CC, DD розташовані на колі в цьому порядку, як показано на рисунку нижче. Нехай кут, утворений дотичною до кола в точці BB і прямою ABAB, дорівнює 30∘30^\circ, а кут, утворений дотичною до кола в точці CC і прямою CDCD, дорівнює 10∘10^\circ. Нехай далі прямі ABAB і DCDC паралельні та розташовані по різні боки одна від одної відносно центра кола. Визначте величину кута ∠BDC\angle BDC.
10–11 класиДотична кола
Естонська математична олімпіадаESTMO-2011-005

Чотирикутник із діаметральними колами

Кожна сторона опуклого чотирикутника ABCDABCD є діаметром кола. Усі чотири кола проходять через одну й ту саму точку OO, відмінну від вершин чотирикутника, і жодні два кола не мають спільних точок, крім згаданих. Доведіть, що ABCDABCD — ромб.
10 класЦентральні і вписані кути
Французька математична олімпіадаFRMO-2011-002

Перетин образів прямої AB та перпендикулярність до CD

Нехай ABCDABCD — чотирикутник, вписаний у коло з центром OO. Позначимо через Δ1\Delta_{1} і Δ2\Delta_{2} образи прямої (AB)(AB) при симетріях, осями яких є відповідно внутрішні бісектриси кутів CAD^\widehat{CAD} і CBD^\widehat{CBD}. Нехай PP — перетин прямих Δ1\Delta_{1} і Δ2\Delta_{2}. Доведіть, що прямі (OP)(OP) і (CD)(CD) перпендикулярні.
9–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-091

Кут у колі з правильними многокутниками

Нехай G,A1,A2,A3,A4,B1,B2,B3,B4,B5G, A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}, B_{5} — десять точок на колі таких, що GA1A2A3A4G A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} — правильний п'ятикутник, а GB1B2B3B4B5G B_{1} B_{2} B_{3} B_{4} B_{5} — правильний шестикутник, причому B1B_{1} лежить на меншій дузі GA1G A_{1}. Нехай B5B3B_{5} B_{3} перетинає B1A2B_{1} A_{2} у точці G1G_{1}, а B5A3B_{5} A_{3} перетинає GB3G B_{3} у точці G2G_{2}. Знайдіть градусну міру ∠GG2G1\angle G G_{2} G_{1}.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Відбіркові тести на IMOTST-2011-014

Дотична з центра до описаного кола

Нехай Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} — два кола, що перетинаються, з центрами відповідно O1O_{1} і O2O_{2}, такі, що Γ2\Gamma_{2} перетинає відрізок O1O2O_{1} O_{2} в точці AA. Точки перетину кіл Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} — це CC і DD. Пряма ADA D перетинає Γ1\Gamma_{1} вдруге в точці SS. Пряма CSC S перетинає O1O2O_{1} O_{2} в точці FF. Нехай Γ3\Gamma_{3} — описане коло трикутника ADFA D F. Позначимо через EE другу точку перетину кіл Γ1\Gamma_{1} і Γ3\Gamma_{3}. Доведіть, що пряма O1EO_{1} E дотикається до кола Γ3\Gamma_{3}.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2011-012

Паралельні сторони вписаного шестикутника

Шестикутник ABCDEFABCDEF вписано в коло. Якщо сторони ABAB і DEDE паралельні, а також сторони BCBC і EFEF паралельні, доведіть, що сторони CDCD і FAFA також паралельні.
7–9 класиЦентральні і вписані кути
Естонська математична олімпіадаESTMO-2010-009

Опуклий чотирикутник з рівними сторонами та умовами на кути

Дано опуклий чотирикутник ABCDABCD з ∣AD∣=∣BD∣=∣CD∣|AD| = |BD| = |CD| і ∠ADB=∠DCA\angle ADB = \angle DCA, ∠CBD=∠BAC\angle CBD = \angle BAC, знайдіть величини кутів чотирикутника. (Молодша група.)
8–10 класиРівнобедрений та рівносторонній т…2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-111

Відношення площ за дотичної побудови кіл

ABCABC — прямокутний трикутник з ∠A=30∘\angle A = 30^{\circ} і описаним колом OO. Кола ω1\omega_1, ω2\omega_2 і ω3\omega_3 лежать зовні трикутника ABCABC і дотикаються до кола OO в точках T1T_1, T2T_2 і T3T_3 відповідно та до сторін ABAB, BCBC і CACA в точках S1S_1, S2S_2 і S3S_3 відповідно. Прямі T1S1T_1 S_1, T2S2T_2 S_2 і T3S3T_3 S_3 перетинають коло OO знову в точках A′A', B′B' і C′C' відповідно. Чому дорівнює відношення площі трикутника A′B′C′A'B'C' до площі трикутника ABCABC?
10–11 класиПлоща трикутника
Відбіркові тести на IMOTST-2010-001

Ромб з рівними відрізками та перетином

Нехай чотирикутник ABCDABCD — ромб з гострим кутом при AA. Точки MM і NN лежать на відрізках ACAC і BCBC так, що ∣DM∣=∣MN∣|DM| = |MN|. Нехай далі PP — точка перетину прямих ACAC і DNDN, а RR — точка перетину прямих ABAB і DMDM. Доведіть, що ∣RP∣=∣PD∣|RP| = |PD|.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2010-007

Рівні хорди з кінця діаметра

Нехай ABAB — діаметр кола kk. Нехай tt — дотична до кола kk у точці BB, а C,DC, D — дві точки на tt, такі, що BB лежить між CC і DD. Прямі ACAC та ADAD перетинають kk ще раз у точках EE та FF відповідно. Прямі DEDE та CFCF перетинають kk ще раз у точках GG та HH відповідно. Доведіть, що відрізки AGAG і AHAH мають однакову довжину.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2010-016

Інцентр і точки перетину бісектрис з колом

Припустімо, що для трикутника ABCABC виконано таку умову: коло OO, яке проходить через вершини B,CB, C, перетинає відрізки ABAB і ACAC (за винятком кінців) у точках DD і EE відповідно, і виконується AD+AE=BCAD + AE = BC. Нехай II — інцентр трикутника ABCABC і припустімо, що прямі BIBI і CICI перетинають коло OO у точках P,QP, Q (відмінних від B,CB, C) відповідно. Доведіть, що точки A,I,P,QA, I, P, Q лежать на одному колі. Тут через XYXY ми позначаємо довжину відрізка XYXY.
7–9 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2010-007

Кут у конструкції з правильним семикутником

Нехай ABCDEFGABCDEFG — правильний семикутник. Припустимо, що PP, QQ, RR, SS — точки на відрізках ABAB, BCBC, CDCD, EFEF відповідно, для яких виконується BP=CQ=DR=FS=13BP = CQ = DR = FS = \frac{1}{3}. Нехай TT — точка перетину відрізків PRPR і QSQS. Знайдіть величину ∠PTS\angle PTS. Тут під XYXY ми розуміємо довжину відрізка XYXY.
7–9 класиЦентральні і вписані кути
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2010-011

Основа висоти як центр описаного кола

Для гострокутного трикутника ABCABC, у якому AB≠ACAB \neq AC, позначимо через HH основу перпендикуляра, проведеного з точки AA до сторони BCBC. Виберемо точки PP і QQ так, щоб три точки AA, BB, PP і три точки AA, CC, QQ лежали на одній прямій у зазначеному порядку відповідно. Якщо 4 точки BB, CC, PP, QQ лежать на одному колі й якщо виконується умова HP=HQHP = HQ, доведіть, що точка HH має збігатися з центром описаного кола трикутника APQAPQ. Тут через XYXY ми розуміємо довжину відрізка XYXY.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2010-004

Трикутники з цілими кутами у правильному многокутнику

Нехай дано правильний 2010-кутник. Скільки існує комбінацій з 3 різних вершин AA, BB, CC цього многокутника, для яких усі внутрішні кути трикутника ABCABC мають ціле значення в градусах (тобто є цілими кратними 1∘1^\circ)? Дві трійки вважайте тією самою комбінацією, якщо одна є перестановкою іншої.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2010-002

Колінеарність у побудові з колами на трапеції

Для трапеції ABCDABCD, у якій AB//CDAB // CD, припустимо, що AA, BB, CC, DD розташовані за годинниковою стрілкою. Нехай Γ1\Gamma_1 — коло з центром у AA, яке проходить через BB. Нехай Γ2\Gamma_2 — коло з центром у CC, яке проходить через DD. Нехай PP — точка перетину (відмінна від BB, DD) прямої BDBD і кола Γ1\Gamma_1. Нехай Γ\Gamma — коло з діаметром PDPD. Нехай XX — точка перетину (відмінна від PP) кіл Γ\Gamma і Γ1\Gamma_1. Нехай YY — точка перетину (відмінна від DD) кіл Γ\Gamma і Γ2\Gamma_2. Нехай QQ — точка перетину кола Γ2\Gamma_2 й описаного кола трикутника XBYXBY. Доведіть, що BB, DD, QQ лежать на одній прямій.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2010-009

Центр описаного кола трикутника в паралелограмі

Нехай ABCDABCD — паралелограм, а Γ\Gamma — описане коло трикутника ABDABD. Прямі BCBC і CDCD перетинають Γ\Gamma у точках E≠BE \ne B та F≠DF \ne D відповідно. Доведіть, що центр описаного кола трикутника CEFCEF лежить на колі Γ\Gamma.
8–9 класиЦентральні і вписані кути
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2010-012

Вписаний чотирикутник і перетин діагоналей

Нехай OO — точка перетину діагоналей вписаного чотирикутника ABCDABCD. Описані кола трикутників AOBAOB і CODCOD перетинають прямі BCBC і ADAD ще раз у точках MM, NN, PP і QQ. Доведіть, що чотирикутник MNPQMNPQ вписано в коло з центром OO.
8–9 класиЦентральні і вписані кути
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2010-013

Перетин кіл у концентричній конфігурації

Нехай kk і k′k' — два концентричні кола з центром OO. Коло k′k' більше за коло kk. Пряма через OO перетинає kk в AA, а k′k' в BB так, що OO лежить між AA і BB. Інша пряма через OO перетинає kk в EE, а k′k' в FF так, що EE лежить між OO і FF. Доведіть, що описане коло трикутника OAEO A E, коло з діаметром ABA B і коло з діаметром EFE F перетинаються в одній точці.
10–11 класиЦентральні і вписані кути2 розв’язки
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2010-014

Тріангуляція опуклого многокутника з покривними описаними колами

Нехай n≥3n \geq 3 і нехай PP — опуклий nn-кутник. Доведіть, що PP за допомогою n−3n-3 діагоналей, які не перетинаються, можна розбити на трикутники так, щоб описане коло кожного з цих трикутників містило весь PP. Коли існує рівно одне таке розбиття?
10–11 класиОписане коло
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2010-001

Основи перпендикулярів і вписаний п'ятикутник

Нехай AXYZBAXYZB — опуклий п'ятикутник, вписаний у півколо з діаметром ABAB. Позначимо через P,Q,R,SP, Q, R, S основи перпендикулярів, опущених із точки YY на прямі AXAX, BXBX, AZAZ, BZBZ відповідно. Доведіть, що гострий кут, утворений прямими PQPQ та RSRS, дорівнює половині величини ∠XOZ\angle XOZ, де OO — середина відрізка ABAB.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2009-049

Очікувана кількість проєкцій на сторони трикутника

Чотири точки AA, BB, CC і DD вибрано випадково на колі незалежно з рівномірним розподілом. Чому дорівнює очікувана кількість сторін трикутника ABCA B C, для яких проєкція точки DD на пряму, що містить сторону, лежить між двома вершинами?
10–11 класиПравила суму та добутку
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2009-062

Хорда кола, дотична до іншого кола, і добуток

Коло Ω\Omega має радіус 1313. Коло ω\omega має радіус 1414, а його центр PP лежить на колі Ω\Omega. Точки AA і BB лежать на колі Ω\Omega так, що хорда ABAB має довжину 2424 і дотикається до кола ω\omega в точці TT. Знайдіть AT⋅BTAT \cdot BT.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2009-003

Прямокутний трикутник з медіаною і симетрією

Дано трикутник ABCA B C, прямокутний у AA і з більшим катетом ACA C; нехай MM — середина гіпотенузи BCB C, NN — точка, симетрична AA відносно прямої BCB C, OO — перетин перпендикуляра до відрізка MNM N, проведеного через NN, з прямою, що містить BCB C. a) Доведіть, що кут OMNO M N удвічі більший за кут ACBA C B. b) Доведіть, що відношення площ трикутників MNOM N O і ABCA B C дорівнює чверті відношення довжин відрізків BCB C і HMH M, де HH — основа висоти, проведеної до гіпотенузи трикутника ABCA B C.
9–11 класиЦентральні і вписані кути

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.