Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

7 222 задачі
Комбінаторика
Відбіркові тести на IMOTST-2010-005

Гра з перевертанням карток інтервалами

На столі лежать поруч в один ряд 2009 карток. Спочатку в усіх карток верхній бік білий, а нижній — чорний. Картки пронумеровано від 11 до 20092009. Два гравці AA та BB по черзі роблять хід, причому AA починає. Кожен хід полягає в тому, що гравець вибирає картку з номером kk (k<1969k < 1969), білий бік якої лежить зверху, а потім перевертає на своїх місцях картки з номерами k,k+1,k+2,…,k+40k, k+1, k+2, \ldots, k+40. Останній гравець, який зміг зробити допустимий хід, виграє гру. a) Визначте, чи ця гра обов'язково закінчується. b) Для якого з двох гравців існує виграшна стратегія?
10–11 класиПарність і непарність
Відбіркові тести на IMOTST-2010-003

Перестановка із заданим заворушенням

Нехай π=(a1,a2,…,an)\pi=\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right) — перестановка чисел 1,2,…,n1,2, \ldots, n. Заворушенням перестановки π\pi називається кількість пар (i,j)(i, j) натуральних чисел таких, що 1≤i<j≤n1 \leq i<j \leq n і aj>aia_{j}>a_{i}. Доведіть, що для кожного цілого числа kk такого, що 0≤k≤(n2)0 \leq k \leq\binom{ n}{2} існує перестановка чисел 1,2,…,n1,2, \ldots, n із заворушенням kk.
10–11 класиПерестановки
Відбіркові тести на IMOTST-2010-014

Збалансовані числа у квадратичних добутках

Натуральне число nn назвемо збалансованим, якщо n=1n=1 або якщо nn можна записати як добуток парної кількості (не обов’язково різних) простих множників. Для кожної пари (a,b)(a, b) натуральних чисел нехай P(x)=(x+a)(x+b)P(x) = (x+a)(x+b). a) Чи існують два різні натуральні числа aa і bb, для яких усі числа P(1),P(2),…,P(50)P(1), P(2), \ldots, P(50) збалансовані? b) Доведіть: якщо P(m)P(m) збалансоване для всіх натуральних чисел mm, то a=ba = b.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Відбіркові тести на IMOTST-2010-012

Квадратичні добутки з парною кількістю простих множників

Натуральне число xx називається хорошим, якщо xx є добутком парної кількості (не обов'язково різних) простих чисел. Нехай a,ba, b — натуральні числа, і нехай m(x)=(x+a)(x+b)m(x) = (x+a)(x+b). a. Доведіть, що існують натуральні числа a,ba, b такі, що m(1),m(2),…,m(2010)m(1), m(2), \ldots, m(2010) — усі хороші числа. b. Якщо m(x)m(x) хороше для кожного натурального числа xx, то a=ba = b.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Відбіркові тести на IMOTST-2010-034

Перестановка із сумою-квадратом

Для невід'ємного цілого числа nn перестановку (a0,a1,…,an)\left(a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n}\right) множини {0,1,…,n}\{0,1, \ldots, n\} назвемо квадратичною, якщо k+akk+a_{k} є квадратом для k=0,1,…,nk=0,1, \ldots, n. Доведіть, що для кожного невід'ємного цілого nn існує квадратична перестановка множини {0,1,…,n}\{0,1, \ldots, n\}.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Відбіркові тести на IMOTST-2010-019

Послідовні числа, подільні на прості зі скінченної множини

Нехай PP — скінченна множина простих чисел, а ℓ(P)\ell(P) — найбільша можлива кількість послідовних натуральних чисел, кожне з яких ділиться принаймні на одне просте число з PP. Доведіть нерівність ℓ(P)≥∣P∣\ell(P) \geq |P| і покажіть, що рівність виконується тоді й лише тоді, коли найменший елемент множини PP більший за ∣P∣|P|.
10–11 класиКитайська теорема про остачі
Відбіркові тести на IMOTST-2010-021

Добрі підмножини з покриттям через НСД

Нехай TT — скінченна множина натуральних чисел, більших за 11. Підмножина SS множини TT називається доброю, якщо для кожного t∈Tt \in T існує деякий s∈Ss \in S такий, що НСД(s,t)>1\text{НСД}(s, t) > 1. Доведіть, що кількість добрих підмножин множини TT непарна.
10–11 класиПарність і непарність
Відбіркові тести на IMOTST-2010-024

Орієнтація ребер в ейлеровому графі

У країні є скінченно багато міст і скінченно багато доріг. Кожна дорога з'єднує два різні міста, і будь-які два міста з'єднані щонайбільше однією дорогою. Усіма дорогами можна рухатися в обох напрямках, а мережа доріг влаштована так, що з кожного міста можна дістатися до кожного іншого міста (можливо, об'їзними шляхами). Крім того, для кожного міста кількість доріг, що виходять із цього міста, є парною. Уряд вирішує перетворити всі дороги на дороги з одностороннім рухом. Це треба зробити так, щоб для кожного міста кількість доріг, що виходять з нього, дорівнювала кількості доріг, що входять до нього. a) Покажіть, що це завжди можливо. b) Покажіть, що за такого перетворення з кожного міста все одно можна буде дістатися до кожного іншого, хоч би як уряд реалізував свій план.
10–11 класиШляхи на графах2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2010-025

Сума добутків степенів за кортежами із сумою m

Нехай mm, nn — натуральні числа з m≥nm \ge n, і нехай SS — множина всіх впорядкованих наборів з nn натуральних чисел (a1,a2,…,an)(a_1, a_2, \dots, a_n) таких, що a1+a2+⋯+an=ma_1 + a_2 + \dots + a_n = m. Доведіть, що ∑S1a12a2⋯nan=(nn)nm−(nn−1)(n−1)m+⋯+(−1)n−2(n2)2m+⋯+(−1)n−1(n1).\sum_{S} 1^{a_1} 2^{a_2} \cdots n^{a_n} = \binom{n}{n} n^m - \binom{n}{n-1} (n-1)^m + \cdots + (-1)^{n-2} \binom{n}{2} 2^m + \cdots + (-1)^{n-1} \binom{n}{1}.
10–11 класиФормула включення-виключення2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2010-031

Вибір більшості при розподілі фруктів

Банани, яблука й апельсини довільно розподілені по 100 ящиках. Доведіть, що можна вибрати 51 ящик, які разом містять принаймні половину фруктів кожного виду.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Італійська математична олімпіадаITAMO-2010-007

Логічна задача про лицарів і брехунів

На острові є два типи мешканців: лицарі, які завжди кажуть правду, і брехуни, які завжди брешуть. Ми зустріли на цьому острові групу з чотирьох мешканців, які на запитання про те, хто вони, відповіли: A: «Серед нас є принаймні один брехун.» B: «Серед нас щонайбільше двоє лицарів.» C: «Серед нас є принаймні троє брехунів.» D: «Серед нас немає лицарів.» Скільки лицарів у цій четвірці мешканців? (A) Жоден (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) усі.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Італійська математична олімпіадаITAMO-2010-008

Роздача 40 карт по 10 і сімка денари

Антоніо, Беппе, Карло і Дуччо випадково роздають собі 40 карт колоди, по 10 кожному. В Антоніо туз, двійка і трійка масті денари. У Беппе туз масті спади і туз масті бастони. У Карло туз масті коппи. Хто з найбільшою ймовірністю має сімку денари? (A) Антоніо (B) Беппе (C) Карло (D) Дуччо (E) двоє або більше гравців мають однакову ймовірність мати її.
10–11 класиПерестановки
Італійська математична олімпіадаITAMO-2010-002

Редукція бінарного рядка ходами заміни

У країні Кукканья грають у такий пасьянс. Починають зі скінченного рядка з нулів та одиниць, і дозволені такі ходи: (i) викреслити дві послідовні одиниці; (ii) викреслити три послідовні нулі; (iii) якщо всередині рядка є підрядок 01, можна замінити цей підрядок на 100. Ходи (i), (ii) і (iii) треба виконувати по одному за раз послідовно. Вважається, що гравець виграв, якщо вдається звести рядок до рядка, утвореного з двох цифр або менше. (Наприклад, починаючи з 0101 можна виграти, спочатку застосувавши хід (iii) до двох останніх цифр, отримавши 01100, потім застосувавши хід (i) до двох одиниць у ньому, і нарешті хід (ii) до трьох нулів, що залишилися: так отримуємо порожній рядок.) Скільки серед усіх 1024 можливих рядків з десяти цифр таких, починаючи з яких неможливо виграти пасьянс?
10–11 класиОстача від ділення2 розв’язки
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2010-004

Мінімальний розмір класу за цілих оцінок

У класі Серджо, після перевірки останньої контрольної роботи з математики, на якій були присутні всі учні, середнє арифметичне незадовільних оцінок виявилося 4,64,6, а середнє арифметичне задовільних оцінок виявилося 7,17,1. Відомо, що вчитель ставив лише цілі оцінки. Скільки учнів щонайменше є в класі Серджо? (A) 10 (B) 12 (C) 15 (D) 24 (E) 30.
9–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2010-005

Найменша кількість кульок для добутку кратного 12

У коробці лежать двадцять кульок, пронумерованих від 1 до 20. Кожне число трапляється на одній і лише одній з цих кульок. Скільки різних кульок потрібно витягнути як мінімум, щоб бути впевненими, що добуток їхніх чисел буде кратним 12? (A) 7 (B) 11 (C) 12 (D) 15 (E) 18.
9–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2010-007

Перестановка чисел із сумою четвірок, кратною трьом

Скількома різними способами можна вишикувати в ряд числа {21,31,41,51,61,71,81}\{21,31,41,51,61,71,81\} так, щоб сума будь-яких чотирьох чисел, які стоять на сусідніх місцях, ділилася на три?
9–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2010-002

Вибір карт із сумою, кратною 7

Є чотири пікові карти з числами 11, 22, 33, 44, шість червових карт з числами 11, 22, 33, …\ldots, 66 і вісім бубнових карт з числами 11, 22, 33, …\ldots, 88. Припустімо, ви вибираєте три карти, по одній з кожної групи. Скільки можливих варіантів вибору існує, якщо сума чисел на вибраних картах має бути кратною 77?
7–9 класиАрифметика остач (базові властиво…
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2010-005

Підрахунок пар з нерівністю з квадратним коренем

Відомо, що існує рівно 2958 пар (m,n)(m, n) натуральних чисел, які не перевищують 100, для яких виконуються нерівності m<2n<2mm < \sqrt{2n} < 2m. Скільки існує пар (m,n)(m, n) натуральних чисел, які не перевищують 100, для яких виконується нерівність 2n<m\sqrt{2n} < m?
7–9 класиБієкції
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2010-017

Двоколірний цикл з малою кількістю перетинів

Нехай nn — ціле число, не менше за 22. Припустимо, що nn білих точок і nn чорних точок розміщено на колі, і ми намагаємося провести 2n2n відрізків з кінцями в цих точках так, щоб виконувалися такі умови: (1) Кожен відрізок має кінцями білу точку і чорну точку. (2) Обходячи ці відрізки по порядку, можна завершити цикл, що проходить через кожну із заданих 2n2n точок рівно один раз. Доведіть, що незалежно від того, як задані 2n2n точок розміщено на колі, можна провести відрізки, що задовольняють наведені вище умови, так, щоб серед проведених відрізків було не більше ніж n−1n-1 перетинів. При цьому кінцеву точку відрізка не вважаємо точкою перетину.
7–9 класиКонструкція за індукцією
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2010-006

Зняття гир з терезів без проміжної рівноваги

На ліву шальку терезів покладено 4 гирі масою 2222, 2424, 2626, 2828 грамів кожна, а на праву шальку покладено 4 гирі масою 2323, 2525, 2727, 2929 грамів кожна. Терези нахиляються в бік із більшою сумарною масою і встановлюються в положенні рівноваги, коли сумарні маси обох боків зрівнюються. Припустимо, ми повторюємо процедуру зняття гирі зі шальки, що нахилилася, доки не буде досягнуто рівноваги. Скільки існує різних способів зняття гир, якщо рівновага досягається лише тоді, коли всі гирі знято?
7–9 класиПерестановки
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2010-008

Заповнення таблиці з умовами на рядки та стовпці

На діаграмі ліворуч нижче є 4 рядки і 3 стовпці прямокутників, а на діаграмі праворуч нижче — 3 рядки і 4 стовпці прямокутників. У прямокутники діаграми ліворуч вписано числа, як показано нижче, а в діаграму праворуч числа ще не вписано. | 1 | 2 | 3 | |---|---|---| | 4 | 5 | 6 | | 7 | 8 | 9 | | 10 | 11 | 12 | | | | | | |---|---|---|---| | | | | | | | | | | | | | | | Припустімо, що ми намагаємося вписати в кожен прямокутник діаграми праворуч ціле число, не менше 1 і не більше 12, так, щоб виконувалися такі дві умови: Якщо числа nn і mm записані в одному рядку діаграми праворуч, то вони також трапляються в одному рядку діаграми ліворуч. Якщо числа nn і mm записані в одному стовпці діаграми праворуч, то вони трапляються в одному стовпці діаграми ліворуч. Скількома різними способами можна вписати числа в прямокутники діаграми праворуч із виконанням цих умов? Одне й те саме число можна вписувати більш ніж в один прямокутник діаграми праворуч, а деякі числа можна не вписувати в жоден прямокутник діаграми праворуч.
7–9 класиБієкції
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2010-009

Сума цифр дорівнює 27

Для натурального числа nn позначимо через S(n)S(n) суму цифр числа nn. Знайдіть кількість натуральних чисел nn, не більших за 999999, для яких виконується S(9n)=27S(9n) = 27.
7–9 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2010-010

Кількість наборів оцінок за три задачі

30 учнів складали тест із трьох задач. Задачі оцінювалися в 1, 2, 4 бали відповідно за правильне розв'язання, часткових балів не давали за жодну із задач. Припустімо, що кожну із задач правильно розв'язали 10 учнів. Скільки існує різних можливостей для набору з 30 оцінок, отриманих учнями? Два набори з 30 оцінок вважаємо однаковим набором, якщо один є перестановкою іншого.
7–9 класиБієкції
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2010-013

Дерево з умовою на відображення листів

Припустимо, що є 20102010 островів і 20092009 мостів, які з'єднують деякі пари цих островів. Будь-яка пара островів або з'єднана одним із мостів, або ні. Також будь-який міст з'єднує два різні острови. Крім того, з будь-якого острова можна дістатися до будь-якого іншого острова, перетнувши певну кількість мостів. Одного дня кожен з островів надіслав листа на якийсь острів (надсилання листа самому собі дозволялося). Після доставлення листів з'ясувалися такі факти: Для островів AA і BB, які з'єднані мостом, адресат листа з AA й адресат листа з BB або з'єднані мостом, або це один і той самий острів. Доведіть, що в цій ситуації принаймні одне з таких тверджень має виконуватися: (1) Має існувати острів, який надіслав листа самому собі. (2) Існує пара островів, з'єднаних мостом, які обмінялися листами.
10–11 класиДерева2 розв’язки
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2010-015

Максимум самоперетинів замкненої ламаної у многокутнику

Припустімо, що для опуклого 2010-кутника жодні 3 діагоналі не мають спільної точки, крім вершин. Розглянемо замкнену зиґзаґ-ламану (скор. З.З.Л.С.), яка проходить через кожну з вершин 2010-кутника рівно один раз. Визначте найбільшу можливу кількість точок самоперетину такої замкненої З.З.Л.С. Тут під замкненою З.З.Л.С. ми розуміємо послідовні відрізки P1P2…PnPn+1P_1P_2\ldots P_nP_{n+1}, для яких виконується P1=Pn+1P_1 = P_{n+1}.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.