Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

6 505 задач
Теорія чисел
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2006-083

Пропущені цифри в дробах

Знайдіть цифри, яких бракує, на місці кожної риски: а) 1268_=21_\frac{126}{8\_} = \frac{21}{\_}; б) __833_=45\frac{\_\_8}{33\_} = \frac{4}{5}
Дільники та кратні (базові власти…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2006-088

Кругова доріжка з позначеними точками

Доріжка автодрому має форму кола завдовжки 20 км20~\text{км}. Позначені на доріжці точки: AA, що є точкою старту, BB, що розташована на відстані 5 км5~\text{км} від AA за напрямком руху, CC, що розташована на відстані 3 км3~\text{км} від BB за напрямком руху, DD, що розташована на відстані 4 км4~\text{км} від CC за напрямком руху, та EE, що розташована на відстані 5 км5~\text{км} від DD за напрямком руху. Автомобіль, який стартує з AA і зупиняється після подолання 367 км367~\text{км}, опиниться найближче до якої з 5 точок? (A) AA (B) BB (C) CC (D) DD (E) EE
Арифметика остач (базові властиво…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2006-024

Склянки й тарілки за 50 з мінімальною кількістю

В Іари є R\ 50{,}00$ на купівлю склянок, які коштують R\ 2{,}50$, і тарілок, які коштують R\ 7{,}00$. Вона хоче купити щонайменше 4 тарілки і 6 склянок. Що вона може купити?
Метод оцінок, що веде до малого п…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2006-009

Розв'язність показникової конгруенції

Нехай aa, cc — натуральні числа, а bb — ціле число. Доведіть, що існує натуральне число xx таке, що ax+x≡b(modc),a^x + x \equiv b \pmod{c}, тобто існує натуральне число xx таке, що cc ділить ax+x−ba^x + x - b.
Степені за модулем. Періодичність…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2006-071

Найменше натуральне число, що ділиться націло на кілька чисел

Яке найменше натуральне число NN таке, що N3\frac{N}{3}, N4\frac{N}{4}, N5\frac{N}{5}, N6\frac{N}{6} і N7\frac{N}{7} є цілими числами? A) 420 B) 350 C) 210 D) 300 E) 280
НСД та НСК
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2006-111

Гості за повними столами по шість або по сім

На святкуванні дня народження Андре менше ніж 120 гостей. До вечері він може розсадити гостей за повні столи по 6 осіб або за повні столи по 7 осіб. В обох випадках потрібно більше ніж 10 столів, і всі гості сидять за якимось столом. Скільки гостей?
НСД та НСК
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2005-002

Місяць календаря з однаковою сторінкою

Нижче наведено сторінку календаря за квітень 2005 року: | Нд | Пн | Вт | Ср | Чт | Пт | Сб | |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: | | | | | | | 1 | 2 | | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | Який місяць 2005 чи 2006 року матиме таку саму сторінку?
Арифметика остач (базові властиво…
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2004-005

Нормовані многочлени з цілими коефіцієнтами, що зберігають ірраціональність

Знайдіть (з доведенням) усі нормовані многочлени f(x)f(x) з цілими коефіцієнтами, які задовольняють такі дві умови. 1. f(0)=2004f(0)=2004. 2. Якщо xx — ірраціональне число, то f(x)f(x) також ірраціональне число. (Зауваження: многочлен називають нормованим, якщо його член найвищого степеня має коефіцієнт 1. Так, f(x)=x4−5x3−4x+7f(x)=x^{4}-5 x^{3}-4 x+7 — приклад нормованого многочлена з цілими коефіцієнтами. Число xx називають раціональним, якщо його можна записати у вигляді відношення двох цілих чисел. Число xx називають ірраціональним, якщо це дійсне число, яке не можна записати у вигляді відношення двох цілих чисел. Наприклад, 2/52 / 5 і −9-9 раціональні, тоді як 2\sqrt{2} і π\pi, як добре відомо, ірраціональні.)
Корені многочлена, розклад на мно…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2004-003

Знаки в нелінійній рекурентній послідовності

Нехай x1,x2,…,x2004x_1, x_2, \dots, x_{2004} — послідовність цілих чисел така, що xk+3=xk+2+xkxk+1x_{k+3} = x_{k+2} + x_k x_{k+1}, 1≤k≤20011 \le k \le 2001. Чи можливо, що більше половини елементів є від’ємними?
Періодичні і неперіодичні послідо…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2004-004

Максимум різних цифр у рядку чи стовпці дошки

Розглянемо всі способи записати рівно по десять разів кожне з чисел 0,1,2,3,…,90, 1, 2, 3, \ldots, 9 у клітинках дошки 10×1010 \times 10. Знайдіть найбільше ціле число nn з такою властивістю: завжди знайдеться рядок або стовпець з nn різними числами.
Підрахунок двома способами
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2004-005

Цілочисельність послідовності з рекурентним співвідношенням четвертого порядку

Розглянемо послідовність (an)n∈N(a_n)_{n \in \mathbb{N}} з a0=a1=a2=a3=1a_0 = a_1 = a_2 = a_3 = 1 і anan−4=an−1an−3+an−22a_n a_{n-4} = a_{n-1} a_{n-3} + a_{n-2}^2, n≥4n \ge 4. Доведіть, що всі члени цієї послідовності є цілими числами.
Метод математичної індукції
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2003-001

Досконалі числа серед факторіалів

Ціле число є досконалим тоді й лише тоді, коли воно дорівнює сумі всіх своїх дільників, крім самого себе. Наприклад, 2828 — досконале число, оскільки 28=1+2+4+7+1428 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Нехай n!n! позначає добуток 1⋅2⋅3⋯n1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n, де nn — натуральне число. Ціле число є факторіалом тоді й лише тоді, коли воно дорівнює n!n! для деякого натурального числа nn. Наприклад, 2424 — факторіал, оскільки 24=4!=1⋅2⋅3⋅424 = 4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4. Знайдіть усі досконалі числа, більші за 11, які є також факторіалами.
Сума дільників σ(n)
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2003-003

Точки решітки, що утворюють трикутник цілої площі

Точкою цілочисельної решітки називають точку (x,y)(x, y), у якої обидві координати xx та yy — цілі числа. Знайдіть з доведенням найменше nn, для якого будь-яка множина з nn точок решітки містить три точки, що є вершинами трикутника з цілочисельною площею. (Трикутник може бути виродженим, тобто три точки можуть лежати на одній прямій і тому утворювати трикутник нульової площі.)
Парність та непарність
Математичний гурток БеркліBMC-2003-003

Розбиття із забороненими сумами

Множини AA і BB утворюють розбиття натуральних чисел, якщо A∩B=∅A \cap B = \emptyset і A∪B=NA \cup B = \mathbb{N}. Множина SS називається забороненою для розбиття, якщо k+l≠sk + l \neq s для будь-яких k,l∈A,s∈Sk, l \in A, s \in S і будь-яких k,l∈B,s∈Sk, l \in B, s \in S. a) Визначимо числа Фібоначчі fif_{i}, поклавши f1=1f_{1} = 1, f2=2f_{2} = 2 і fi+1=fi+fi−1f_{i+1} = f_{i} + f_{i-1}, так що f3=3f_{3} = 3, f4=5f_{4} = 5 тощо. Скільки існує розбиттів, для яких множина FF всіх чисел Фібоначчі є забороненою? (Ми вважаємо A,BA, B і B,AB, A тим самим розбиттям.) b) Скільки існує розбиттів, для яких множина PP всіх степенів числа 22 є забороненою? А якщо додатково вимагати, щоб P⊆AP \subseteq A?
Конструкція за індукцією
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2003-001

Найменший простий дільник квадратичного виразу

Знайдіть найменше просте число, яке ділить n2+5n+23n^2 + 5n + 23 для деякого цілого числа nn.
Міркування за модулем
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2003-002

Покриття множини доповненнями підмножин

Нехай SS — множина з nn елементів, а kk — натуральне число. Нехай A1,A2,…,AkA_1, A_2, \dots, A_k — довільні попарно різні підмножини множини SS. Для кожного ii виберемо Bi=AiB_i = A_i або Bi=S−AiB_i = S - A_i. Знайдіть найменше kk таке, що за будь-якого вибору підмножин A1,A2,…,AkA_1, A_2, \dots, A_k можна вибрати BiB_i так, щоб ⋃1≤i≤kBi=S\bigcup_{1 \le i \le k} B_i = S.
Принцип Діріхле (скінченні множин…
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2002-003

Сума найбільших непарних дільників

Для n≥1n \geq 1 нехай ana_{n} — найбільший непарний дільник числа nn, а bn=a1+a2+⋯+anb_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}. Доведіть, що bn≥n2+23b_{n} \geq \frac{n^{2}+2}{3}, і визначте, для яких nn справджується рівність. Наприклад, a1=1, a2=1, a3=3, a4=1, a5=5, a6=3a_{1}=1,\ a_{2}=1,\ a_{3}=3,\ a_{4}=1,\ a_{5}=5,\ a_{6}=3 отже b6=1+1+3+1+5+3=14≥62+23=1223.b_{6}=1+1+3+1+5+3=14 \geq \frac{6^{2}+2}{3}=12 \frac{2}{3} .
Метод математичної індукції
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2002-004

Розфарбування станцій для перевірки простоти

Професор Моріарті придумав «стежку для перевірки простоти». Стежка має 2002 станції, позначені 1,…,20021, \ldots, 2002. Кожна станція пофарбована в червоний або зелений колір і містить таблицю, яка для кожної з цифр 0,…,90, \ldots, 9 вказує номер іншої станції. Учень отримує натуральне число nn і проходить стежкою, починаючи зі станції 11. Учень читає першу (крайню ліву) цифру числа nn і шукає цю цифру в таблиці станції 11, отримуючи номер нової станції. Потім учень іде до цієї нової станції, читає другу цифру числа nn і шукає її в таблиці цієї станції, отримуючи ще один номер станції, і так далі, доки останню (крайню праву) цифру числа nn не буде прочитано і знайдено в таблиці, що й приводить учня до його кінцевої станції. Нижче наведено приклад можливих значень деяких із таблиць. Нехай n=19n=19: | Станція | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: | | 1 (червона) | 15 | 29 | 314 | 16 | 2002 | 97 | 428 | 1613 | 91 | 24 | | ⋮\vdots | | | | | | | | | | | | ⋮\vdots | | | | | | | | | | | | 29 (червона) | 98 | 331 | 1918 | 173 | 15 | 41 | 17 | 631 | 1211 | 1429 | | ⋮\vdots | | | | | | | | | | | | 1429 (зелена) | 7 | 18 | 31 | 43 | 216 | 1709 | 421 | 53 | 224 | 1100 | За цими таблицями станція 11, цифра 11 веде до станції 2929; станція 2929, цифра 99 веде до станції 14291429; станція 14291429 — зелена. Професор Моріарті стверджує, що для будь-якого натурального числа nn кінцева станція (у прикладі 14291429) буде зеленою тоді і тільки тоді, коли nn просте. Чи це можливо?
Мала теорема Ферма
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2002-001

Суми підмножин без точних степенів

Доведіть, що існує множина з 20022002 різних натуральних чисел така, що сума одного або кількох елементів цієї множини ніколи не є квадратом, кубом або вищим степенем.
Функція vₚ(n) та її властивості
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2001-005

Перестановки з потрійним застосуванням і подільність їх кількості

Для кожного натурального числа nn нехай ana_{n} — кількість перестановок τ\tau множини {1,2,…,n}\{1,2, \ldots, n\} таких, що τ(τ(τ(x)))=x\tau(\tau(\tau(x)))=x для x=1,2,…,nx=1,2, \ldots, n. Перші кілька значень такі: a1=1, a2=1, a3=3, a4=9.a_{1}=1,\ a_{2}=1,\ a_{3}=3,\ a_{4}=9. Доведіть, що 33343^{334} ділить a2001a_{2001}. (Перестановка множини {1,2,…,n}\{1,2, \ldots, n\} — це перевпорядкування чисел {1,2,…,n}\{1,2, \ldots, n\}, або, рівносильно, взаємно однозначна функція з {1,2,…,n}\{1,2, \ldots, n\} на {1,2,…,n}\{1,2, \ldots, n\}. Наприклад, одна з перестановок множини {1,2,3}\{1,2,3\} — це перевпорядкування {2,1,3}\{2,1,3\}, якому відповідає функція σ:{1,2,3}→{1,2,3}\sigma:\{1,2,3\} \rightarrow\{1,2,3\}, задана як σ(1)=2, σ(2)=1, σ(3)=3\sigma(1)=2,\ \sigma(2)=1,\ \sigma(3)=3.)
Рекурентний підрахунок
Математичний гурток БеркліBMC-2001-001

Числа, сума власних дільників яких більша на 12

Доведіть, що існує нескінченно багато натуральних чисел nn з такою властивістю: сума всіх додатних дільників числа nn, крім самого nn, дорівнює n+12n+12.
Сума дільників σ(n)
Математичний гурток БеркліBMC-2001-002

Рукостискання із забороненими парами

5 подружніх пар зібралися на вечірці. Вітаючись, різні люди обмінюються рукостисканнями — але, звісно, ніхто не тисне руку собі самому чи власному подружжю. Наприкінці вечірки одна жінка обходить усіх і запитує, скільки рук кожен потиснув, і отримує дев'ять різних відповідей. Скільки рук потисла вона сама?
Степені вершин
Математичний гурток БеркліBMC-2001-004

Розбиття зв'язного графа на групи малого діаметра

В Антарктиді є 3,999,9993,999,999 міст, і деякі пари з них сполучені дорогами. Відомо, що для будь-яких двох міст існує послідовність доріг, яка веде від одного до іншого. Доведіть, що міста можна поділити на 19991999 груп (по 20012001 міст у кожній) так, щоб для будь-яких двох міст з однієї групи можна було дістатися від одного до іншого, використавши не більше ніж 40004000 доріг.
Дерева
Математичний гурток БеркліBMC-2001-009

Послідовність з a1 = 3 та подільність на степені трійки

Нехай a1=3a_{1}=3 і an+1=(3an2+1)/2−ana_{n+1} = \left(3 a_{n}^{2} + 1\right) / 2 - a_{n} при n≥1n \geq 1. Якщо nn — степінь числа 33, доведіть, що ana_{n} ділиться на nn.
Теорема Ейлера
Математичний гурток БеркліBMC-2001-005

Послідовність, обмежена НСД індексів

Нехай a1,a2,a3,…a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots — послідовність натуральних чисел з такою властивістю: якщо SS — довільна непорожня множина натуральних чисел, то існує s∈Ss \in S таке, що as≤НСД(S)a_{s} \leq \text{НСД}(S). Доведіть, що n!n! ділиться на a1a2⋯ana_{1} a_{2} \cdots a_{n} для кожного натурального числа nn.
Бієкції

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.