Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 627 задач
Геометрія
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-07-08-037

Нерівність із бісектрисами, сторонами і радіусом описаного кола

Нехай la,lb,lcl_a, l_b, l_c – довжини бісектрис ΔABC\Delta ABC із сторонами a,b,ca, b, c, RR – радіус описаного кола. Довести нерівність: b2+c2la+c2+a2lb+a2+b2lc>4R.\frac{b^2+c^2}{l_a} + \frac{c^2+a^2}{l_b} + \frac{a^2+b^2}{l_c} > 4R.
10 класТригонометричні нерівності в геом…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-07-08-015

Два дотичні кола, дотична і рівнобедрений трикутник

Два кола w1w_1 та w2w_2 дотикаються зовнішнім чином. Їхня спільна зовнішня дотична дотикається кіл w1w_1 та w2w_2 у точках AA та BB відповідно. Нехай APAP – діаметр кола w1w_1, а дотична до кола w2w_2, проведена з точки PP, дотикається до нього у точці QQ. Довести, що трикутник APQAPQ є рівнобедреним.
8 класДотична кола
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-07-08-029

2006-кутник з діагоналями і лініями середин через одну точку

Нехай PP – опуклий 2006-кутник. Проведені 1003 діагоналі, що з'єднують протилежні вершини та 1003 прямі, що з'єднують середини протилежних сторін, усі ці 2006 прямих перетинаються в одній точці. Довести, що протилежні сторони PP паралельні та рівні.
9 класГомотерія і подібність
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-07-08-052

Прямокутний трикутник з відображенням вершини та перпендикуляром

У прямокутному трикутнику ABCABC (∠A=90∘\angle A = 90^\circ) на стороні ACAC взяли точку DD. Точка EE є дзеркальним відображенням точки AA відносно BDBD, а пряма CECE перетинає перпендикуляр, опущений з точки DD на CBCB, у точці FF. Довести, що прямі AF,DE,CBAF, DE, CB перетинаються в одній точці.
11 класТеорема Чеви
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-008

Кути трикутника BKL з медіаною і трапецією

На площині розташовані два трикутники ABCABC і BKLBKL таким чином, що відрізок AKAK ділиться на три рівні частини точкою перетину медіан ΔABC\Delta ABC та точкою перетину бісектрис ΔBKL\Delta BKL (AKAK – медіана ΔABC\Delta ABC, KAKA – бісектриса ΔBKL\Delta BKL) і чотирикутник KALCKALC – трапеція. Знайти кути трикутника ΔBKL\Delta BKL.
8 класТочка перетину медіан
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-014

Кут FBL у трикутнику з точками на AC

У трикутнику ABCABC на стороні ACAC вибрані точки FF і LL таким чином, що AF=LC<12ACAF = LC < \frac{1}{2}AC. Знайти кут ∠FBL\angle FBL, якщо AB2+BC2=AL2+LC2AB^2 + BC^2 = AL^2 + LC^2.
9 класКути прямокутного трикутника
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-015

Гострий чи тупий кут між стрілками протягом години

Розглянемо годинник, який має дві стрілки – часову та хвилинну, які рухаються неперервно. За ту годину, що пройде від 12−0012{-}00 до 13−0013{-}00 якого часу буде більше – коли між цими стрілками буде гострий кут чи тупий?
10 класЛінійні рівняння та системи
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-018

Чевіани трикутника і середина відрізка на прямій

Дано трикутник ABCABC, AA1AA_1, BB1BB_1, CC1CC_1 – його чевіани, що перетинаються в одній точці. A0,C0A_0, C_0 – середини сторін BCBC і ABAB відповідно. Прямі B1C1B_1C_1, B1A1B_1A_1 та B1BB_1B перетинають пряму A0C0A_0C_0 в точках C2C_2, A2A_2 та B2B_2 відповідно. Довести, що точка B2B_2 – середина відрізка A2C2A_2C_2.
10 класТеорема Чеви
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-023

Тетраедр з паралельними площинами ABC та A1B1C1

В тетраедрі SABCSABC на висоті SHSH обрано таку точку OO, що виконується рівність: ∠AOS+α=∠BOS+β=∠COS+γ=180∘\angle AOS + \alpha = \angle BOS + \beta = \angle COS + \gamma = 180^\circ, де α,β,γ\alpha, \beta, \gamma – двогранні кути при ребрах BC,AC,ABBC, AC, AB відповідно, при цьому точка HH лежить всередині основи ABCABC. Нехай A1,B1,C1A_1, B_1, C_1 точки перетину прямих та площин: A1=AO∩SBCA_1 = AO \cap SBC, B1=BO∩SACB_1 = BO \cap SAC, C1=CO∩SBAC_1 = CO \cap SBA. Довести, що якщо площини ABCABC та A1B1C1A_1B_1C_1 паралельні, то SA=SB=SCSA = SB = SC.
11 класТочка перетину висот
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-027

Кут ACB у трикутнику з точкою M на BC

На стороні BCBC трикутника ABCABC позначили точку MM так, що BM=ACBM = AC. Точка HH – основа перпендикуляра, проведеного з точки BB на пряму AMAM. Відомо, що BH=CMBH = CM і ∠MAC=30∘\angle MAC = 30^\circ. Знайдіть градусну міру кута ∠ACB\angle ACB.
8 класПодібність в прямокутному трикутн…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-033

Найменше та найбільше значення |x|+|y| при x²+(y-4)²=1

Відомо, що x2+(y−4)2=1x^2+(y-4)^2 = 1. Знайдіть найменше та найбільше значення виразу ∣x∣+∣y∣|x| + |y|.
9 класЕкстремальні геометричні конструк…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-034

Перетворення трійки чисел і можливість одержати інші трійки

За один крок дозволяється замінити трійку чисел (a,b,c)(a,b,c) (порядок яких не суттєвий) на трійку (a1,b1,c1)(a_1,b_1,c_1) за таким правилом: a1=2b2+2c2−a2, b1=2c2+2a2−b2, c1=2b2+2a2−c2.a_1 = \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2},\ b_1 = \sqrt{2c^2 + 2a^2 - b^2},\ c_1 = \sqrt{2b^2 + 2a^2 - c^2}. Чи можливо за скінченну кількість кроків з трійки {3,19,22}\{3, \sqrt{19}, \sqrt{22}\} одержати: а) трійку (32007⋅2, 32007⋅4, 32007⋅6)\left(\sqrt{3^{2007} \cdot 2},\ \sqrt{3^{2007} \cdot 4},\ \sqrt{3^{2007} \cdot 6}\right); б) трійку (32008⋅4, 32008⋅13, 32008⋅33)\left(\sqrt{3^{2008} \cdot 4},\ \sqrt{3^{2008} \cdot 13},\ \sqrt{3^{2008} \cdot 33}\right)?
9 класІнші інваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-036

Точки дотику вписаного кола і спільна точка перпендикулярів

Коло, вписане в трикутник ABCABC дотикається до сторін BC,CABC, CA і ABAB в точках A1,B1A_1, B_1 і C1C_1 відповідно. Через середину відрізка A1B1A_1B_1 проведено пряму, перпендикулярну до ABAB, через середину B1C1B_1C_1 – пряму, перпендикулярну до BCBC, і через середину C1A1C_1A_1 – пряму, перпендикулярно до CACA. Доведіть, що ці прямі перетинаються в одній точці.
9 класТочка перетину висот
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-041

Найменше і найбільше значення виразу з модульною умовою

Відомо, що ∣x+y∣+∣x−y∣=1|x + y| + |x - y| = 1. Знайдіть найменше та найбільше значення виразу x2−6x+y2−6yx^2 - 6x + y^2 - 6y.
10 класМетод координат
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-042

Радіус описаного кола трикутника ALK

На продовженні сторони BCBC паралелограма ABCDABCD за точку CC вибрано таку точку KK, що трикутник ΔCDK\Delta CDK є рівнобедреним з основою CKCK, а на продовженні сторони DCDC за точку CC вибрано таку точку LL, що рівнобедреним з основою CLCL є трикутник ΔCBL\Delta CBL. Бісектриси кутів ∠LBC\angle LBC та ∠CDK\angle CDK перетинаються в точці QQ. Знайдіть радіус описаного навколо трикутника ALKALK кола, якщо ∠BQD=α\angle BQD = \alpha і KL=aKL = a.
10 класОписане коло
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-050

Прямий кут на серединах сторін трикутника

Дано трикутник ABCABC всередині якого існує така точка OO, що ∠BOC=90∘\angle BOC = 90^\circ та ∠BAO=∠BCO\angle BAO = \angle BCO. Точки MM і NN – середини сторін ACAC і BCBC відповідно. Доведіть, що кут ∠OMN\angle OMN – прямий.
11 класГомотерія і подібність
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-031

Чотирикутник ABCD з діагоналями та відношенням DO до OB

В чотирикутнику ABCDABCD діагоналі ACAC і BDBD перетинаються в точці OO. Відомо, що діагональ BDBD перпендикулярна стороні ADAD, ∠BAD=∠BCD=60∘\angle BAD = \angle BCD = 60^\circ, ∠ADC=135∘\angle ADC = 135^\circ. Знайдіть відношення DO:OBDO : OB.
8 класБісектриса кута
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-039

Висота BB1, точка D і середина відрізка BF

У гострокутному різносторонньому трикутнику ABCABC проведено висоту BB1BB_1. На стороні BCBC вибрано таку точку DD, що ∠BAD=∠CBB1\angle BAD = \angle CBB_1. Відрізки ADAD і BB1BB_1 перетинаються в точці FF. Через точку BB, перпендикулярно до сторони ABAB провели пряму ll, яка перетинається з прямою CFCF в точці KK. Доведіть, що пряма DKDK перетинає відрізок BFBF у його середині.
9 класЦентральні і вписані кути
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-047

Середина відрізка BH і точки на прямій A2C2

Нехай HH – точка перетину висот гострокутного трикутника ABCABC, точки A1,B1,C1A_1, B_1, C_1, – середини сторін BC,CABC, CA і ABAB відповідно. Нехай A2A_2 та C2C_2 – такі точки, що A2A⊥ACA_2A \perp AC і A2C1⊥ABA_2C_1 \perp AB, C2C⊥ACC_2C \perp AC і C2A1⊥BCC_2A_1 \perp BC. Доведіть такі твердження: а) середина відрізка BHBH лежить на прямій A2C2A_2C_2 б) нехай пряма BB1BB_1 перетинає коло, описане навколо трикутника A1B1C1A_1B_1C_1, в точках B1B_1 і B3B_3, тоді точка B3B_3 лежить на прямій A2C2A_2C_2
10 класРадикальна вісь
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-055

Перетин прямих через основи висот і середини відрізків

У гострокутному трикутнику ABCABC точки A0,B0,C0A_0, B_0, C_0 – основи висот. Усередині трикутника відмічені такі точки A1,B1,C1A_1, B_1, C_1, що ∠A1BC=∠A1AB\angle A_1BC = \angle A_1AB, ∠A1CB=∠A1AC\angle A_1CB = \angle A_1AC, ∠B1CA=∠B1BC\angle B_1CA = \angle B_1BC, ∠B1AC=∠B1BA\angle B_1AC = \angle B_1BA, ∠C1BA=∠C1CB\angle C_1BA = \angle C_1CB, ∠C1AB=∠C1CA\angle C_1AB = \angle C_1CA. Точки A2,B2A_2, B_2 та C2C_2 – середини відрізків AA1,BB1AA_1, BB_1 та CC1CC_1 відповідно. Доведіть, що прямі A0A2,B0B2A_0A_2, B_0B_2 та C0C2C_0C_2 перетинаються в одній точці.
11 класКоло Ейлера (коло 9 точок)
Київська міська олімпіада юних математиківKCMO-06-07-002

Замкнена ламана на папері в клітинку та парність

На папері в клітинку зі стороною клітинки 1 намальовано замкнену ламану, ланки якої йдуть вздовж ліній клітинок, і жодні дві ланки цієї ламаної не перетинаються. Позначимо кількість клітинок, що попали всередину цієї ламаної через NN, а довжину цієї ламаної (суму довжин усіх її ланок) MM. а) Відомо, що число NN – парне, чи обов'язково число MM також парне? б) Відомо, що число NN ділиться націло на 4, чи обов'язково число MM також ділиться націло на 4?
7 класПарність і непарність
Київська міська олімпіада юних математиківKCMO-06-07-007

Трапеція з кутами 120° і 150° та основа CD

В трапеції ABCDABCD кути при основі ABAB дорівнюють: ∠DAB=120∘\angle DAB = 120^\circ та ∠ABC=150∘\angle ABC = 150^\circ. Основа HH перпендикуляра, що опущений з вершини AA на діагональ BDBD, розташована на середній лінії MNMN трапеції, де точка MM належить стороні ADAD. Знаючи величину AB=aAB=a, знайти основу CDCD.
8 класРівнобедрений та рівносторонній т…
Київська міська олімпіада юних математиківKCMO-06-07-012

Побудова трикутника за точками перетину бісектриси з колами

На прямій послідовно задані 4 точки – A,P,Q,WA,P,Q,W, які є точками перетину бісектриси ALAL трикутника ABCABC з описаним та вписаним колом. Знаючи лише ці точки, побудувати трикутник ABCABC.
9 класТеорема про тризуб
Київська міська олімпіада юних математиківKCMO-06-07-017

Геометричне місце вершин за точками на бісектрисі

На площині задано точки P,QP,Q, які є точками перетину бісектриси ALAL деякого трикутника ABCABC з вписаним колом, а також точка WW – перетин бісектриси ALAL з описаним колом, що відмінна від вершини AA. а) Знайти геометричне місце можливого розташування вершини AA трикутника ABCABC. б) Знайти геометричне місце можливого розташування вершини BB трикутника ABCABC.
10 класТеорема про тризуб
Київська міська олімпіада юних математиківKCMO-06-07-024

Описані кола трикутників ABC з умовою на кути

На площині відмічено точки AA і PP. Розглянемо усі такі точки B,CB, C цієї площини, що ∠ABP=∠MAB\angle ABP = \angle MAB і ∠ACP=∠MAC\angle ACP = \angle MAC, де MM – середина відрізка BCBC. Доведіть, що усі описані кола навколо трикутника ABCABC для різних точок BB і CC проходять через деяку фіксовану точку, відмінну від точки AA.
11 класСтепінь точки відносно кола

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.