Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

995 задач
ГеометріяГеометричні перетворення
Відбіркові тести на IMOTST-2021-014

Відбиття центра описаного кола на сторону

Нехай ABCABC — гострокутний нерівнобедрений трикутник з ортоцентром HH. Нехай OO — центр описаного кола трикутника ABCABC, а KK — центр описаного кола трикутника AHOAHO. Доведіть, що образ точки KK при симетрії відносно прямої OHOH лежить на прямій BCBC.
10–11 класиСиметрія
Відбіркові тести на IMOTST-2021-021

Паралельна пряма, дотична до вписаного кола

Дано трикутник ABCA B C з властивістю, що ∣AB∣+∣AC∣=3∣BC∣|A B|+|A C|=3|B C|. Нехай TT — точка на відрізку ACA C така, що ∣AC∣=4∣AT∣|A C|=4|A T|. Нехай KK і LL — внутрішні точки відрізків ABA B і ACA C відповідно такі, що, по-перше, KL∥BCK L \| B C і, по-друге, KLK L дотикається до вписаного кола трикутника △ABC\triangle A B C. Нехай SS — точка перетину відрізків BTB T і KLK L. Знайдіть відношення ∣SL∣∣KL∣\frac{|S L|}{|K L|}.
10–11 класиВписане коло
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2021-002

Чотирикутник з рівними сторонами та прямими кутами

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник такий, що AB+BC=2021AB + BC = 2021 і AD=CDAD = CD. Відомо також, що ∠ABC=∠CDA=90∘\angle ABC = \angle CDA = 90^{\circ} Знайдіть довжину діагоналі BDBD.
10–11 класиПоворот2 розв’язки
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2021-006

Рівнобедрений трикутник з обчисленням кутів

Нехай ABCABC — трикутник із AB=ACAB = AC і ∠BAC=20∘\angle BAC = 20^{\circ}. Нехай DD — точка на стороні ABAB така, що ∠BCD=70∘\angle BCD = 70^{\circ}. Нехай EE — точка на стороні ACAC така, що ∠CBE=60∘\angle CBE = 60^{\circ}. Знайдіть величину кута ∠CDE\angle CDE.
10–11 класиРівнобедрений та рівносторонній т…2 розв’язки
Естонська математична олімпіадаESTMO-2020-003

Три діагоналі правильного многокутника в одній точці

Чи існує ціле число n≥3n \ge 3 таке, що якісь 3 діагоналі правильного nn-кутника перетинаються в одній точці, яка не є ні вершиною, ні центром nn-кутника? Якщо так, знайдіть найменше таке nn.
9 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Естонська математична олімпіадаESTMO-2020-010

Інцентр і трикутник найбільшої площі

Чотирикутник ABCDABCD має вписане коло з центром II. Діагоналі ACAC і BDBD перетинаються в точці PP. Відомо, що II лежить усередині трикутника PABPAB (а не на його стороні). Доведіть, що площа трикутника PABPAB більша за площу кожного з трикутників PBCPBC, PCDPCD і PDAPDA.
11 класВідношення площ трикутників
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-031

Паралельні прямі через вершини трикутника і три центри кіл

Нехай ABCABC — трикутник, а ω\omega — його описане коло. Нехай ℓB\ell_{B} і ℓC\ell_{C} — дві прямі, паралельні одна одній, що проходять відповідно через точки BB і CC. Позначимо через DD точку перетину, відмінну від BB, між колом ω\omega і прямою ℓB\ell_{B}. Так само позначимо через EE точку перетину, відмінну від CC, між колом ω\omega і прямою ℓC\ell_{C}. Припустимо, що прямі ℓC\ell_{C} і (AD)(AD) перетинаються в точці FF, а прямі ℓB\ell_{B} і (AE)(AE) перетинаються в точці GG. Позначимо далі через O,O1O, O_{1} і O2O_{2} центри відповідно описаних кіл трикутників ABCABC, ADGADG і AEFAEF. Нарешті, позначимо через PP центр описаного кола трикутника OO1O2OO_{1}O_{2}. Доведіть, що пряма (OP)(OP) паралельна обом прямим ℓB\ell_{B} і ℓC\ell_{C}.
8–10 класиГомотерія і подібність
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-045

Рівні відрізки AX, AY, AD і дотик кіл

Нехай ABCABC — трикутник з гострими кутами, а DD — основа висоти, проведеної з вершини AA. Нехай XX і YY — дві точки описаного кола трикутника ABCABC такі, що AX=AY=ADAX = AY = AD, і такі, що BB і XX містяться по один бік від прямої (AD)(AD). Нехай EE — точка перетину прямих (BX)(BX) і (CY)(CY). Нарешті, нехай FF — точка перетину, відмінна від EE, прямої (DE)(DE) з описаним колом трикутника EXYEXY. Доведіть, що описані кола трикутників BCFBCF і EXYEXY дотикаються.
9–11 класиІнверсія2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-036

Розфарбування кола і паралельні прямі

Нехай nn — натуральне число. Є nn кольорів, і кожна точка кола пофарбована в один із цих кольорів. Доведіть, що існують дві паралельні прямі, які перетинають коло в 4 різних точках одного кольору.
8–10 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-041

Точки на одному колі в конфігурації напіввписаного кола

Нехай ABCABC — трикутник, Ω\Omega — його описане коло, а OO — центр кола Ω\Omega. Нехай SS — центр кола, дотичного до сторін ABAB і ACAC та дотичного внутрішнім чином до кола Ω\Omega в точці KK. Коло з діаметром [AS][AS] вдруге перетинає коло Ω\Omega в точці TT. Нехай MM — середина відрізка [BC][BC]. Доведіть, що точки KK, TT, MM і OO належать одному колу.
10–11 класиКола, що дотикаються
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-093

Ланцюжок рівнобедрених трикутників і відновлення точки

Алан малює опуклий 2020-кутник A=A1A2⋯A2020\mathcal{A}=A_{1} A_{2} \cdots A_{2020} з вершинами в порядку обходу за годинниковою стрілкою і вибирає 2020 кутів θ1,θ2,…,θ2020∈(0,π)\theta_{1}, \theta_{2}, \ldots, \theta_{2020} \in (0, \pi) у радіанах із сумою 1010π1010 \pi. Далі він будує зовні многокутника A\mathcal{A} рівнобедрені трикутники △AiBiAi+1\triangle A_{i} B_{i} A_{i+1} з BiAi=BiAi+1B_{i} A_{i}=B_{i} A_{i+1} і ∠AiBiAi+1=θi\angle A_{i} B_{i} A_{i+1}=\theta_{i}. (Тут A2021=A1A_{2021}=A_{1}.) Зрештою він стирає A\mathcal{A} і точку B1B_{1}. Потім він повідомляє Джейсону вибрані ним кути θ1,θ2,…,θ2020\theta_{1}, \theta_{2}, \ldots, \theta_{2020}. Доведіть, що Джейсон може визначити, де була точка B1B_{1}, за рештою 2019 точок, тобто доведіть, що B1B_{1} однозначно визначається тією інформацією, яку має Джейсон.
10–11 класиПоворот
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-005

Обмеження площі перетину трикутника і круга

Трикутник і круг лежать в одній площині. Доведіть, що площа перетину трикутника і круга не перевищує третини площі трикутника плюс половини площі круга.
10–11 класиСиметрія2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-129

Площа чотирикутника у правильному шестикутнику поза колом

Нехай ABCDEFA B C D E F — правильний шестикутник зі стороною 22. Проведено коло радіуса 33 з центром у точці AA. Знайдіть площу частини чотирикутника BCDEB C D E, що лежить поза колом.
10–11 класиПоворот
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-082

Відбиття інцентра і поділ відрізка навпіл

У трикутнику ABCABC, де AB=8AB=8 і AC=10AC=10, інцентр II відображено симетрично відносно сторони ABAB у точку XX та відносно сторони ACAC у точку YY. Відомо, що відрізок XYXY ділить AIAI навпіл. Обчисліть BC2BC^{2}. (Інцентр II — це центр вписаного кола трикутника ABCABC.)
10–11 класиСиметрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-131

Відрізок дотичної у вкладених колах

Нехай Γ\Gamma — коло, а ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} — два кола, що не перетинаються, всередині Γ\Gamma, які дотикаються до кола Γ\Gamma внутрішньо в точках X1X_{1} і X2X_{2} відповідно. Нехай одна зі спільних внутрішніх дотичних до кіл ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} дотикається до кіл ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} в точках T1T_{1} і T2T_{2} відповідно, перетинаючи при цьому Γ\Gamma у двох точках AA і BB. Відомо, що 2X1T1=X2T22 X_{1} T_{1}=X_{2} T_{2} і що кола ω1,ω2\omega_{1}, \omega_{2} і Γ\Gamma мають радіуси 2, 3 і 12 відповідно, обчисліть довжину відрізка ABA B.
10–11 класиГомотерія і подібність2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-100

Рівність DE=DF і точка перетину на описаному колі

Нехай ABCABC — різносторонній трикутник з бісектрисами ADAD, BEBE і CFCF, такими, що DD, EE і FF лежать на відрізках BCBC, CACA і ABAB відповідно. Нехай MM і NN — середини сторони BCBC і відрізка EFEF відповідно. Доведіть, що пряма ANAN і пряма через MM, паралельна ADAD, перетинаються на описаному колі трикутника ABCABC тоді й лише тоді, коли DE=DFDE = DF.
10–11 класиІнверсія2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-132

Радіус описаного кола через відрізки на бісектрисі

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з описаним колом Γ\Gamma. Нехай внутрішня бісектриса кута ∠BAC\angle BAC перетинає BCBC і Γ\Gamma у точках EE і NN відповідно. Нехай A′A' — точка на колі Γ\Gamma, діаметрально протилежна AA, а VV — точка перетину відрізка AA′AA' зі стороною BCBC. Відомо, що EV=6EV=6, VA′=7VA'=7 і A′N=9A'N=9. Обчисліть радіус кола Γ\Gamma.
10–11 класиОсновна властивість бісектриси2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-084

Відбиття променя у півкруглій кімнаті

На декартовій площині ідеально відбивна півкругла кімната обмежена верхньою половиною одиничного кола з центром у (0,0)(0,0) та відрізком від (−1,0)(-1,0) до (1,0)(1,0). Девід стоїть у точці (−1,0)(-1,0) і світить ліхтариком у кімнату під кутом 46∘46^{\circ} над горизонталлю. Скільки разів промінь світла відіб'ється від стін, перш ніж уперше повернеться до Девіда в точку (−1,0)(-1,0)?
10–11 класиСиметрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-133

Відстань від перетину BE і CF до спільної дотичної

Кола ωa,ωb,ωc\omega_{a}, \omega_{b}, \omega_{c} мають центри A,B,CA, B, C відповідно й попарно зовнішньо дотикаються в точках D,E,FD, E, F (причому D∈BC,E∈CA,F∈ABD \in BC, E \in CA, F \in AB). Прямі BEBE і CFCF перетинаються в точці TT. Відомо, що коло ωa\omega_{a} має радіус 341341, існує пряма ℓ\ell, дотична до всіх трьох кіл, та існує коло радіуса 4949, дотичне до всіх трьох кіл. Обчисліть відстань від TT до прямої ℓ\ell.
10–11 класиКола, що дотикаються3 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-134

Сума площ дружніх кіл

Нехай Γ\Gamma — коло радіуса 11 з центром у точці OO. Коло Ω\Omega називається дружнім, якщо існують різні кола ω1,ω2,…,ω2020\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots, \omega_{2020}, такі, що для всіх 1≤i≤20201 \leq i \leq 2020 коло ωi\omega_{i} дотикається до кіл Γ\Gamma, Ω\Omega і ωi+1\omega_{i+1}. (Тут ω2021=ω1\omega_{2021}=\omega_{1}.) Для кожної точки PP площини нехай f(P)f(P) позначає суму площ усіх дружніх кіл з центром у точці PP. Якщо AA і BB — точки такі, що OA=12OA=\frac{1}{2} і OB=13OB=\frac{1}{3}, знайдіть f(A)−f(B)f(A)-f(B).
10–11 класиІнверсія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-038

Трикутник із вписаним колом, дотичним до серединного перпендикуляра

Нехай ABCABC — трикутник, вписане коло якого дотикається до серединного перпендикуляра до сторони BCBC. Якщо BC=AE=20BC = AE = 20, де EE — точка дотику AA-зовнівписаного кола до сторони BCBC, обчисліть площу △ABC\triangle ABC.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-055

Вписаний чотирикутник з основами висот і серединами сторін

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник, а відрізки ACAC і BDBD перетинаються в точці EE. Нехай WW і YY — основи висот, проведених із точки EE на сторони DADA і BCBC відповідно, а XX і ZZ — середини сторін ABAB і CDCD відповідно. Відомо, що площа трикутника AEDAED дорівнює 99, площа трикутника BECBEC дорівнює 2525, а ∠EBC−∠ECB=30∘\angle EBC - \angle ECB = 30^{\circ}. Обчисліть площу чотирикутника WXYZWXYZ.
10–11 класиПлощі подібних фігур
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-061

Тетраедр з концентричними сферами

Нехай ABCDABCD — тетраедр, у якого описана сфера радіуса RR та вписана сфера радіуса rr мають спільний центр. Відомо, що AB=AC=1≤BCAB = AC = 1 \leq BC і R=4rR = 4r. Знайдіть BC2BC^2.
10–11 класиСиметрія
Відбіркові тести на IMOTST-2020-001

Гострокутний трикутник з умовою про вписане коло

У гострокутному трикутнику ABCABC центр вписаного кола — II, причому ∣AC∣+∣AI∣=∣BC∣|AC| + |AI| = |BC|. Доведіть, що ∠BAC=2∠ABC\angle BAC = 2\angle ABC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2020-010

Відображення відносно бісектриси кута в трикутнику

Дано трикутник ABCA B C і його описане коло, причому ∣AC∣<∣AB∣|A C| < |A B|. На короткій дузі ACA C лежить змінна точка DD, відмінна від AA. Нехай EE — відображення точки AA відносно внутрішньої бісектриси кута ∠BDC\angle B D C. Доведіть, що пряма DED E проходить через фіксовану точку, незалежно від положення точки DD.
10–11 класиЦентральні і вписані кути2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.