Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

849 задач
ГеометріяПодібність (без кіл та площ)
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2013-024

Три внутрішні кола і відрізки BC, CA, AB

Всередині кола cc містяться кола c1c_1, c2c_2 і c3c_3, які дотикаються до кола cc у точках AA, BB і CC відповідно, причому всі ці точки різні. Кола c2c_2 і c3c_3 мають спільну точку KK на відрізку BCBC, кола c3c_3 і c1c_1 мають спільну точку LL на відрізку CACA, а кола c1c_1 і c2c_2 мають спільну точку MM на відрізку ABAB. Доведіть, що кола c1c_1, c2c_2 і c3c_3 перетинаються в центрі кола cc.
10–11 класиДотична кола
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2013-029

Медіана, бісектриса і висота з однією спільною точкою

Кути трикутника дорівнюють 22.5∘22.5^\circ, 45∘45^\circ і 112.5∘112.5^\circ. Доведіть, що всередині цього трикутника існує точка, яка лежить на медіані, проведеній з однієї вершини, на бісектрисі, проведеній з іншої вершини, і на висоті, проведеній з третьої вершини.
10–11 класиТеорема Чеви3 розв’язки
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2013-032

Коло через точки на хорді перетину

Кола c1,c2c_1, c_2 з центрами O1,O2O_1, O_2 відповідно перетинаються в точках PP і QQ та дотикаються до кола cc зсередини в точках A1A_1 і A2A_2 відповідно. Пряма PQPQ перетинає коло cc в точках BB і DD. Прямі A1BA_1B і A1DA_1D перетинають коло c1c_1 вдруге в точках E1E_1 і F1F_1 відповідно, а прямі A2BA_2B і A2DA_2D перетинають коло c2c_2 вдруге в точках E2E_2 і F2F_2 відповідно. Доведіть, що E1,E2,F1,F2E_1, E_2, F_1, F_2 лежать на колі, центр якого збігається із серединою відрізка O1O2O_1O_2.
10–11 класиГомотерія і подібність
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-024

Ортогональні проєкції в рівносторонньому трикутнику

Точка DD належить стороні [AC][A C] рівностороннього трикутника ABCA B C. Позначимо через FF ортогональну проєкцію DD на пряму (BC)(B C), далі через KK — ортогональну проєкцію FF на пряму (AB)(A B), і нарешті через EE — ортогональну проєкцію KK на пряму (CA)(C A). Нехай LL — середина відрізка [BC][BC], а PP — перетин прямих (KE)(K E) і (FD)(F D). Доведіть, що пряма (BP)(BP) проходить через середину відрізка [AL][AL].
8–10 класиГомотерія і подібність
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-042

Перпендикулярність прямих із рівнобедрених побудов

Поза трикутником ABCA B C побудовано дві точки XX і YY, що задовольняють умови: - трикутник AXBA X B рівнобедрений з основою [AB][A B]; - трикутник BYCB Y C рівнобедрений з основою [BC][B C]; −AXB^+BYC^=180∘-\widehat{A X B}+\widehat{B Y C}=180^{\circ}. Нехай ZZ — середина сторони [AC][A C]. Доведіть, що прямі (XZ)(X Z) і (YZ)(Y Z) перпендикулярні.
9–11 класиОзнаки подібності
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-004

Пряма через інцентри проходить через середину дуги

Коло ω\omega проходить через вершини BB і CC трикутника ABCA B C і перетинає сторони [AB][A B] і [AC][A C] у точках DD і EE відповідно. Відрізки [CD][C D] і [BE][B E] перетинаються в точці OO. Нехай MM і NN — центри вписаних кіл трикутників ADEA D E і ODEO D E відповідно. Доведіть, що середина дуги DED E (меншої з двох дуг) кола ω\omega лежить на прямій (MNM N).
8–10 класиТочка перетину бісектрис
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-038

Рівність відрізків AB і CD у трьох колах

Нехай ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} — два кола, що перетинаються у двох точках XX і YY. Коло ω\omega дотикається зсередини до кіл ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} у точках PP і QQ відповідно. Відрізок [X,Y][X, Y] перетинає ω\omega у точках MM і NN. Промені [P,M)[P, M) і [P,N)[P, N) перетинають ω1\omega_{1} у точках AA і DD; промені [Q,M)[Q, M) і [Q,N)[Q, N) перетинають ω2\omega_{2} у точках BB і CC. Доведіть, що AB=CDA B=C D.
9–11 класиГомотерія і подібність
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-005

Центр вписаного кола і середні лінії описаного чотирикутника

Коло з центром OO вписане в чотирикутник ABCDA B C D, сторони якого не паралельні. Доведіть, що точка OO збігається з точкою перетину середніх ліній чотирикутника тоді й лише тоді, коли OA⋅OC=OB⋅ODO A \cdot O C=O B \cdot O D. (Середня лінія чотирикутника — це пряма, що сполучає середини протилежних сторін.)
8–10 класиВписане коло2 розв’язки
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-034

Прямі через вершини до других перетинів дотичних кіл

Позначимо через II центр вписаного кола γ\gamma трикутника ABCABC і через OO центр його описаного кола. Нехай ωA\omega_{A} — коло, яке проходить через BB і CC і дотикається до кола γ\gamma. Кола ωB\omega_{B} і ωC\omega_{C} визначаються аналогічно. Позначимо через A′A' другу спільну точку кіл ωB\omega_{B} і ωC\omega_{C}. Точки B′B' і C′C' визначаються аналогічно. Доведіть, що прямі (AA′),(BB′)\left(AA'\right), \left(BB'\right) і (CC′)\left(CC'\right) перетинаються в одній точці KK, яка лежить на одній прямій з OO і II.
9–11 класиРадикальна вісь
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-006

Маркери на прямій та фіксована відстань

Арпон обирає додатне дійсне число kk. Для кожного натурального числа nn він ставить позначку в точці (n,nk)(n, n k) на площині (x,y)(x, y). Припустимо, що дві позначки, координати xx яких відрізняються на 44, перебувають на відстані 3131. Яка відстань між позначками в точках (7,7k)(7,7 k) і (19,19k)(19,19 k)?
10–11 класиВідношення відрізків в подібних т…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-124

Рівнобічна трапеція з перпендикулярним відрізком

Нехай ABCDABCD — рівнобічна трапеція така, що AD=BCAD = BC, AB=3AB = 3 і CD=8CD = 8. Нехай EE — точка на площині така, що BC=ECBC = EC і AE⊥ECAE \perp EC. Обчисліть довжину відрізка AEAE.
10–11 класиПодібність в прямокутному трикутн…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-126

Перетин кіл з відношенням довжин

Нехай ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} — кола з центрами O1O_{1} і O2O_{2} відповідно та радіусами r1r_{1} і r2r_{2} відповідно. Припустімо, що O2O_{2} лежить на колі ω1\omega_{1}. Нехай AA — одна з точок перетину кіл ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2}, а BB — одна з двох точок перетину прямої O1O2O_{1} O_{2} з колом ω2\omega_{2}. Якщо AB=O1AA B = O_{1} A, знайдіть усі можливі значення r1r2\frac{r_{1}}{r_{2}}.
10–11 класиОзнаки подібності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-078

Рівнобедрений трикутник із подібним підтрикутником

Нехай ABCABC — рівнобедрений трикутник з AB=ACAB = AC. Нехай DD і EE — середини відрізків ABAB і ACAC відповідно. Припустимо, що існує точка FF на промені DE→\overrightarrow{DE} поза трикутником ABCABC така, що трикутник BFABFA подібний до трикутника ABCABC. Обчисліть відношення ABBC\frac{AB}{BC}.
10–11 класиОзнаки подібності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-094

Діаметр за відрізками паралельної дотичної

Точки AA, BB, CC лежать на колі ω\omega так, що BCBC — діаметр. Відрізок ABAB продовжено за BB до точки B′B', а відрізок ACAC продовжено за CC до точки C′C' так, що пряма B′C′B'C' паралельна BCBC і дотикається до кола ω\omega в точці DD. Якщо B′D=4B'D = 4 і C′D=6C'D = 6, обчисліть довжину відрізка BCBC.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-128

Чотирикутник з прямими кутами і можливі довжини відрізка DF

Нехай ABCDABCD — чотирикутник такий, що ∠ABC=∠CDA=90∘\angle ABC = \angle CDA = 90^{\circ}, а BC=7BC = 7. Нехай EE і FF — точки на відрізку BDBD такі, що AEAE і CFCF перпендикулярні до BDBD. Припустимо, що BE=3BE = 3. Знайдіть добуток найменшої та найбільшої можливих довжин відрізка DFDF.
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-095

Інцентр як середина відрізка на описаному колі

Нехай трикутник ABCABC задовольняє 2BC=AB+AC2 BC = AB + AC і має інцентр II та описане коло ω\omega. Нехай DD — перетин прямої AIAI і кола ω\omega (причому A,DA, D різні). Доведіть, що II — середина відрізка ADAD.
10–11 класиТеорема про тризуб3 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-099

Колінеарність із перетину внутрішньо дотичних кіл

Нехай точки AA і BB лежать на колі ω\omega з центром OO. Припустімо, що ωA\omega_{A} і ωB\omega_{B} — кола, які не містять OO та внутрішньо дотикаються до кола ω\omega в точках AA і BB відповідно. Нехай ωA\omega_{A} і ωB\omega_{B} перетинаються в точках CC і DD так, що DD лежить усередині трикутника ABCA B C. Припустімо, що пряма BCB C перетинає ω\omega знову в точці EE, а пряма EAE A перетинає ωA\omega_{A} в точці FF. Якщо FC⊥CDF C \perp C D, доведіть, що точки O,CO, C і DD лежать на одній прямій.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-031

Трикутник з подвоєним кутом і відношенням на бісектрисі

Розглянемо трикутник ABCABC з ∠A=2∠B\angle A = 2 \angle B. Бісектриси з вершин AA і CC перетинаються в точці DD, а бісектриса з вершини CC перетинає AB‾\overline{AB} в точці EE. Якщо DEDC=13\frac{DE}{DC} = \frac{1}{3}, обчисліть ABAC\frac{AB}{AC}.
10–11 класиОсновна властивість бісектриси
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-041

Радіуси описаних кіл у рівнобічній трапеції

Рівнобічна трапеція ABCDABCD з основами ABAB і CDCD, у якої AB=13AB = 13, CD=17CD = 17, а висота дорівнює 33. Нехай EE — точка перетину діагоналей ACAC і BDBD. Кола Ω\Omega і ω\omega описані навколо трикутників ABEABE і CDECDE. Обчисліть суму радіусів кіл Ω\Omega і ω\omega.
10–11 класиОписане коло
Відбіркові тести на IMOTST-2013-003

Хорда-дотична до внутрішнього кола

На площині лежать два концентричні кола з радіусами r1=13r_{1}=13 і r2=8r_{2}=8. Нехай ABAB — діаметр більшого кола, а BCBC — його хорда, яка дотикається до меншого кола в точці DD. Обчисліть довжину відрізка ADAD.
10–11 класиДотична кола
Відбіркові тести на IMOTST-2013-011

Чотирикутник із дотичними хордами

Нехай PP — точка перетину діагоналей опуклого чотирикутника ABCDABCD. Нехай XX, YY і ZZ — внутрішні точки відповідно сторін ABAB, BCBC і CDCD такі, що ∣AX∣∣XB∣=∣BY∣∣YC∣=∣CZ∣∣ZD∣=2\frac{|AX|}{|XB|} = \frac{|BY|}{|YC|} = \frac{|CZ|}{|ZD|} = 2 Припустімо додатково, що XYXY дотикається до описаного кола △CYZ\triangle CYZ і що YZYZ дотикається до описаного кола △BXY\triangle BXY. Доведіть, що ∠APD=∠XYZ\angle APD = \angle XYZ.
10–11 класиДотична кола
Відбіркові тести на IMOTST-2013-014

Коло через симетричні образи точок на описаному колі

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з описаним колом ω\omega. Доведіть, що існує точка JJ з такою властивістю: якщо XX — внутрішня точка трикутника ABCABC, промені AXAX, BXBX і CXCX перетинають коло ω\omega повторно в точках A1A_{1}, B1B_{1} і C1C_{1}, а точки A2A_{2}, B2B_{2} і C2C_{2} симетричні точкам A1A_{1}, B1B_{1} і C1C_{1} відносно середин відрізків BC‾\overline{BC}, CA‾\overline{CA} і AB‾\overline{AB} відповідно, то чотири точки A2A_{2}, B2B_{2}, C2C_{2} і JJ лежать на спільному колі.
10–11 класиСиметрія
Відбіркові тести на IMOTST-2013-013

Рівні кути з перетину кіл

Нехай ABCABC — різносторонній трикутник, у якого ∠BCA=90∘\angle BCA = 90^\circ, а DD — основа висоти, проведеної з CC. Нехай XX — точка всередині відрізка CDCD. Нехай KK — точка на відрізку AXAX така, що BK=BCBK = BC. Аналогічно, нехай LL — точка на відрізку BXBX така, що AL=ACAL = AC. Описане коло трикутника DKLDKL перетинає відрізок ABAB у другій точці TT (іншій, ніж DD). Доведіть, що ∠ACT=∠BCT\angle ACT = \angle BCT.
10–11 класиТеорема Чеви
Відбіркові тести на IMOTST-2013-032

Чи є вписаний чотирикутник ACPQ квадратом

Нехай DD — відмінна від BB точка на гіпотенузі ABAB прямокутного трикутника ABCABC така, що ∣CB∣=∣CD∣|CB| = |CD|. Нехай OO — центр описаного кола трикутника ACDACD. Промені ODOD і CBCB перетинаються в точці PP, а пряма, що проходить через точку OO перпендикулярно до сторони ABAB, і промінь CDCD перетинаються в точці QQ. Точки AA, CC, PP, QQ лежать на одному колі. Чи випливає з цього, що ACPQACPQ — квадрат?
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2013-016

Довжина згину в прямокутнику

Анаклето щойно доїв плитку шоколаду й починає гратися з обгорткою, прямокутником зі сторонами 360 мм360~\text{мм} і 300 мм300~\text{мм}. Він вирішує зробити один прямолінійний згин так, щоб після згинання паперу одна вершина прямокутника опинилася точно посередині короткої сторони, кінцем якої вона не є. Скільки міліметрів становить довжина згину?
9–11 класиОзнаки подібності

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.