Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

7 066 задач
Алгебра
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-007

Дійсні многочлени зі сталою різницею

Знайти всі многочлени з дійсними коефіцієнтами PP такі, що многочлен (X+1)P(X−1)−(X−1)P(X)(X+1) P(X-1)-(X-1) P(X) є сталим.
8–10 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-011

Сума модулів попарних сум

Нехай x1,…,xnx_{1}, \ldots, x_{n} — довільні дійсні числа. Доведіть, що ∑i=1n∑j=1n∣xi+xj∣⩾n∑i=1n∣xi∣.\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}\left|x_{i}+x_{j}\right| \geqslant n \sum_{i=1}^{n}\left|x_{i}\right| .
8–10 класиЧислові нерівності
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-017

Функціональне рівняння на додатних дійсних числах

Нехай R+∗\mathbb{R}_{+}^{*} — множина додатних дійсних чисел. Знайдіть усі функції f:R+∗⟶R+∗f: \mathbb{R}_{+}^{*} \longrightarrow \mathbb{R}_{+}^{*} такі, що для всіх x,y>0x, y>0 виконується f(f(x)yf(x)+1)=xxf(y)+1f\left(\frac{f(x)}{y f(x)+1}\right)=\frac{x}{x f(y)+1}
8–10 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-070

Простий модуль зі степеневими остачами

Нехай m,n⩾2m, n \geqslant 2 — цілі числа, які задовольняють таку властивість: an≡1( mod m)a=1,…,na^{n} \equiv 1 \quad(\bmod m) \quad a=1, \ldots, n Доведіть, що mm — просте число і що n=m−1n = m - 1.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Відбіркові тести на IMOTST-0000-006

Розфарбування ребер турніру без одноколірних шляхів довжини 2

Нехай f(n)f(n) — найменша кількість кольорів, потрібна для правильного розфарбування орієнтованих ребер турніру на nn вершинах так, щоб ніякі два ребра одного кольору не утворювали орієнтований шлях довжини 22. Знайдіть f(n)f(n) для всіх n≥1n \ge 1.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові тести на IMOTST-0000-003

Рівняння f((x-y)²) = x² - 2yf(x) + f(y)²

Знайдіть усі функції f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, такі, що для всіх x,y∈Rx, y \in \mathbb{R} виконується рівність: f((x−y)2)=x2−2yf(x)+(f(y))2f\left((x-y)^2\right)=x^2-2 y f(x)+(f(y))^2
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-0000-005

Циклічна нерівність з умовою суми

Доведіть для додатних дійсних чисел x,y,zx, y, z, для яких x+y+z=1x+y+z=1, таку нерівність: x2+y2z+y2+z2x+z2+x2y≥2\frac{x^{2}+y^{2}}{z}+\frac{y^{2}+z^{2}}{x}+\frac{z^{2}+x^{2}}{y} \geq 2
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського10 розв’язків
Італійська математична олімпіадаITAMO-0000-005

Трицифрові числа, кратні сумі своїх цифр

Знайдіть усі трицифрові натуральні числа, які дорівнюють 34-кратній сумі своїх цифр.
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Італійська математична олімпіадаITAMO-0000-003

Середні бали після підвищення оцінок

У тесті з математики беруть участь N<40N<40 осіб. Прохідний бал встановлено 65. Результати тесту такі: середній бал усіх учасників дорівнює 66, тих, хто склав, — 71, а тих, хто не склав, — 56. Однак через помилку у формулюванні одного запитання всі бали збільшено на 5. Після цього середній бал тих, хто склав, стає 75, а тих, хто не склав, — 59. a) Знайти всі можливі значення NN. b) Знайти всі можливі значення NN у випадку, коли після підвищення середній бал тих, хто склав, став би 79, а тих, хто не склав, — 47.
10–11 класиЛінійні діофантові рівняння
Італійська математична олімпіадаITAMO-0000-004

Екстремальні попарні суми п'яти дійсних чисел

Нехай a<b<c<d<ea < b < c < d < e — дійсні числа. Обчислюються всі можливі попарні суми цих 5 чисел. З цих 10 сум три найменші дорівнюють 32,36,3732, 36, 37, а дві найбільші — 4848 і 5151. Визначте всі можливі значення, які може набувати ee.
10–11 класиЛінійні рівняння та системи
Італійська математична олімпіадаITAMO-0000-007

Різниця значень подібних многочленів

Назвемо два многочлени з цілими коефіцієнтами pp і qq подібними, якщо вони мають однаковий степінь і однакові коефіцієнти з точністю до порядку. а. Доведіть, що якщо pp і qq подібні, то p(2007)−q(2007)p(2007)-q(2007) кратне 22. б. Чи існують цілі числа k>2k>2 такі, що для довільних подібних многочленів pp і qq число p(2007)−q(2007)p(2007)-q(2007) кратне kk?
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Італійська математична олімпіадаITAMO-0000-015

Степінь двійки у виразі з показником

Знайдіть усі пари натуральних чисел (a,n)\left(a, n\right), де a≥n≥2a \geq n \geq 2, для яких число (a+1)n+a−1(a+1)^{n}+a-1 є степенем числа 22.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Італійська математична олімпіадаITAMO-0000-018

Раціональна послідовність з рекурсією за парністю чисельника

Нехай x0,x1,x2,…x_{0}, x_{1}, x_{2}, \ldots — послідовність раціональних чисел, задана рекурентно таким чином: x0x_{0} — довільне раціональне число, а для n≥0n \geq 0 xn+1={∣xn2−1∣ якщо чисельник xn парний ,∣1xn−1∣ якщо чисельник xn непарний ,x_{n+1}= \begin{cases}\left|\frac{x_{n}}{2}-1\right| & \text { якщо чисельник } x_{n} \text { парний }, \\ \left|\frac{1}{x_{n}}-1\right| & \text { якщо чисельник } x_{n} \text { непарний },\end{cases} де під чисельником раціонального числа розуміється чисельник дробу, зведеного до найменшого вигляду. Доведіть, що для кожного значення x0x_{0}: (a) послідовність містить лише скінченну кількість попарно різних членів; (b) послідовність містить рівно одне з чисел 0 і 2/32 / 3 (тобто: або існує індекс kk такий, що xk=0x_{k}=0, або існує індекс mm такий, що xm=2/3x_{m}=2 / 3, але не обидва разом).
10–11 класиНапівінваріанти
Італійська математична олімпіадаITAMO-0000-024

Найменша сума дробів при фіксованому добутку

Для кожного цілого n≥2n \geq 2 визначити: a. найбільше дійсне число cnc_{n} таке, що 11+a1+11+a2+…+11+an≥cn\frac{1}{1+a_{1}}+\frac{1}{1+a_{2}}+\ldots+\frac{1}{1+a_{n}} \geq c_{n} для будь-якого вибору додатних дійсних чисел a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} таких, що a1⋅a2⋅…⋅an=1a_{1} \cdot a_{2} \cdot \ldots \cdot a_{n}=1; b. найбільше дійсне число dnd_{n} таке, що 11+2a1+11+2a2+…+11+2an≥dn\frac{1}{1+2 a_{1}}+\frac{1}{1+2 a_{2}}+\ldots+\frac{1}{1+2 a_{n}} \geq d_{n} для будь-якого вибору додатних дійсних чисел a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} таких, що a1⋅a2⋅…⋅an=1a_{1} \cdot a_{2} \cdot \ldots \cdot a_{n}=1.
10–11 класиЧислові нерівності
Інші змаганняMISC-0000-128

Однакові суми вздовж сторін трикутника і квадрата

Аманда намалювала таку фігуру: Зауважимо, що сума вздовж будь-якої сторони трикутника вище завжди однакова, бо, як можна перевірити, 1+3+6=6+2+2=1+7+21+3+6=6+2+2=1+7+2 a) Впишіть числа, яких бракує, у кружечки на фігурі нижче так, щоб суми вздовж будь-якої сторони квадрата завжди були однаковими. b) Знайдіть спосіб розставити числа в кружечках так, щоб суми вздовж будь-якої лінії завжди були однаковими. Чи існує більше ніж один розв'язок? c) На фігурі нижче, яку намальовано лише частково (через брак місця!), сума вздовж кожного відрізка також завжди однакова. Проте Аманда стерла всі числа, крім двох чисел, показаних на фігурі (3 і 4). Відомо, що на малюнку є 40 кружечків. Чи можна дізнатися, які числа були в кружечках, зафарбованих у світло-сірий і темно-сірий кольори?
8–9 класиЛінійні рівняння та системи
Інші змаганняMISC-0000-092

Рух черв'яка зі змінними кроками

a) Черв'як завжди рухається по прямій лінії. Щодня він просувається на 5 м5\ \text{м} вперед і відступає на 3 м3\ \text{м} назад. Наприкінці 1515 днів, на якій відстані від початкової точки буде черв'як? b) Наприкінці цих 1515 днів, скільки метрів пройде цей черв'як загалом? c) Інший черв'як також рухається по прямій лінії, але інакше, ніж перший. У перший день він проходить 1 м1\ \text{м} вперед і 1/2 м1/2\ \text{м} назад. На другий день він проходить 1/2 м1/2\ \text{м} вперед і 1/3 м1/3\ \text{м} назад. На третій день він проходить 1/3 м1/3\ \text{м} вперед і 1/4 м1/4\ \text{м} назад, і так далі. На якій відстані від початкової точки він буде після 10001000 днів? d) Чи зможе цей другий черв'як колись опинитися на відстані 2 м2\ \text{м} від початкової точки?
10–11 класиСуми послідовностей
Інші змаганняMISC-0000-094

Час зустрічі човна та буя

Моторний човен о 10:00 скидає буй у річку з прямими паралельними берегами і починає рухатися проти течії до 10:15. Після цього він розвертається і так само рухається вздовж річки. О котрій годині човен знову зустріне буй?
8–9 класиЛінійні заміни (зведення до нуля,…
Інші змаганняMISC-0000-132

Множення на 9, що обертає цифри

Число 10891089 має цікаву властивість. Коли ми множимо це число на 99, як показано нижче, | 1 | 0 | 8 | 9 | |:--- |:--- |:--- |:--- | | | | ×\times | 9 | | 9 | 8 | 0 | 1 | отримуємо число 98019801, яке є числом 10891089 з його цифрами, записаними справа наліво! a) Знайдіть п'ятицифрове число ABCDEA B C D E таке, що його добуток на 99 дорівнює числу, яке має цифри числа ABCDEA B C D E, записані справа наліво, тобто | AA | BB | CC | DD | EE | |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: | | | | | ×\times | 9 | | EE | DD | CC | BB | AA | b) Знайдіть усі семицифрові числа, множення яких на 99, як раніше, обертає порядок їхніх цифр.
8–9 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Інші змаганняMISC-0000-082

Співвідношення братів і сестер у сім'ї

У сім'ї кожен хлопчик має однакову кількість братів і сестер, а кожна дівчинка має вдвічі більше братів, ніж сестер. Який склад цієї сім'ї?
6–9 класиЛінійні рівняння та системи
Інші змаганняMISC-0000-179

Мінімізація суми площ квадратів

Августо має дріт завдовжки 10 м10~\text{м}. Він розрізає дріт в одному місці й отримує таким чином два дроти: один завдовжки xx, а інший завдовжки 10−x10-x, як показано на малюнку нижче: Августо використовує обидва шматки дроту, щоб зробити два квадрати. a) Яка довжина сторони кожного з квадратів? Яка площа кожного з них? b) Якими мають бути довжини кожного з двох шматків дроту, щоб сума площ отриманих квадратів була найменшою? c) Припустімо, що Августо розрізає дріт на десять шматків і використовує кожен з них, щоб зробити квадрат. Яким має бути розмір кожного зі шматків, щоб сума площ отриманих квадратів була найменшою?
10–11 класиКвадратні рівняння та системи
Інші змаганняMISC-0000-181

Ймовірність не виграти до заданого дня в казино

Від сьогодні великий гравець Карло П'єтро вирішив щодня ходити до казино. Першого дня він зіграє в гру, ймовірність виграшу в якій дорівнює 12\frac{1}{2}. Другого, третього і четвертого днів він гратиме в інші ігри, ймовірності перемоги в яких дорівнюють відповідно 13,14,15\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5} і так далі в наступні дні. а) Яка ймовірність того, що він не виграє до третього дня включно? б) Яка ймовірність того, що він не виграє до п'ятого дня включно? в) Яка ймовірність того, що він не виграє до 20132013-го дня включно?
10–11 класиПравила суму та добутку
Інші змаганняMISC-0000-079

Папужині обчислення

У Рози є папуга, який рахує дивним способом. Щоразу, коли Роза називає два числа, він виконує ту саму дію, погляньте: - Якщо Роза каже «4 і 2», папуга відповідає «9» - Якщо Роза каже «5 і 3», папуга відповідає «12» - Якщо Роза каже «3 і 5», папуга відповідає «14» - Якщо Роза каже «9 і 7», папуга відповідає «24» - Якщо Роза каже «0 і 0», папуга відповідає «1» Якщо Роза каже «1 і 8», що відповість папуга?
6–7 класиЛінійні рівняння та системи
Інші змаганняMISC-0000-139

Справедливий розподіл джекфрутів

У Ренато тридцять кавунів, у Леандро вісімнадцять кавунів, а в Марсело двадцять чотири джекфрути. На відміну від Леандро і Ренато, Марсело не любить джекфрут. З іншого боку, усі троє люблять кавуни. Тоді вони домовляються: Марсело віддає свої двадцять чотири джекфрути Леандро і Ренато, а кавуни Леандро і Ренато діляться порівну між усіма трьома, тобто по шістнадцять кожному. Який справедливий розподіл джекфрутів між Ренато і Леандро?
8–9 класиЛінійні рівняння та системи
Інші змаганняMISC-0000-182

Сума чисел із повторюваною одиницею

Обчисліть суму 1+11+111+1111+⋯+1111…11⏟n одиниць 1+11+111+1111+\cdots+\underbrace{1111 \ldots 11}_{n \text{ одиниць }}
10–11 класиСуми послідовностей
Інші змаганняMISC-0000-083

Канікули Томаша з дощем

Під час канікул у Томаша було 11 дощових днів. Протягом цих 11 днів, якщо дощило вранці, то після обіду було сонячно без дощу, а якщо дощило після обіду, то вранці було сонячно без дощу. Загалом у Томаша було 9 ранків без дощу і 12 днів, коли після обіду не було дощу. Скільки днів тривали канікули Томаша?
6–9 класиЛінійні рівняння та системи

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.