Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

824 задачі
ГеометріяДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2016-026

Бісектриса, висота і добуток сторін трикутника

Нехай ABCABC — трикутник з AB≠ACAB \neq AC і нехай MM — середина сторони BCBC. Бісектриса ∠BAC\angle BAC перетинає пряму BCBC у точці QQ. Нехай HH — основа висоти, проведеної з вершини AA на пряму BCBC. Перпендикуляр до прямої AQAQ, що проходить через AA, перетинає пряму BCBC у точці SS. Доведіть, що MH⋅QS=AB⋅ACMH \cdot QS = AB \cdot AC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2016-001

Кут у трикутнику з перетинами описаних кіл

Нехай ABCABC — трикутник з ∠BAC=60∘\angle BAC = 60^{\circ}. Нехай EE — точка на стороні BCBC, така, що 2∠BAE=∠ACB2 \angle BAE = \angle ACB. Нехай DD — друга точка перетину прямої ABAB та описаного кола трикутника AECAEC, а PP — друга точка перетину прямої CDCD та описаного кола трикутника DBEDBE. Обчисліть кут ∠BAP\angle BAP.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2016-008

Дотичне до сторін коло на бісектрисі

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AB<ACAB < AC. Бісектриса кута ∠BAC\angle BAC перетинає сторону BCBC в точці DD. Нехай kk — коло, яке проходить через точку DD і дотикається до відрізків ACAC та ABAB в точках EE, відповідно FF. Нехай GG — друга точка перетину кола kk зі стороною BCBC. Нехай SS — точка перетину прямих EGEG і DFDF. Доведіть, що пряма ADAD перпендикулярна до прямої BSBS.
10–11 класиДотична кола
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2016-012

Рівність відрізків у трикутнику з ортоцентром

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а HH — його ортоцентр. Нехай GG — точка перетину прямої, паралельної до ABAB, проведеної через HH, з прямою, паралельною до AHAH, проведеною через BB. Нехай II — точка на прямій GHGH така, що ACAC перетинає відрізок HIHI в його середині. Нехай JJ — друга точка перетину прямої ACAC з описаним колом трикутника CGICGI. Доведіть, що IJ=AHIJ = AH.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2015-016

Перетин описаних кіл і перпендикулярність

Центром описаного кола гострокутного трикутника ABCABC є точка OO. Пряма ACAC перетинає описане коло трикутника AOBAOB у точці XX, відмінній від вершини AA. Доведіть, що пряма XOXO перпендикулярна до прямої BCBC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-002

Колінеарність у трикутнику з ортоцентром

Нехай ABCABC — трикутник, усі кути якого гострі, а HH — його ортоцентр. Бісектриси кутів ABH^\widehat{ABH} і ACH^\widehat{ACH} перетинаються в точці II. Доведіть, що II лежить на одній прямій із серединами відрізків [BC][BC] і [AH][AH].
9–11 класиВекторний метод
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-020

Ортоцентр як інцентр ортотрикутника

Нехай ABCABC — трикутник. HH — його ортоцентр, а PP, QQ і RR — основи висот, проведених з AA, BB і CC. Доведіть, що HH є центром вписаного кола трикутника PQRPQR.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-055

Вписаний чотирикутник у конфігурації вписаного кола

Нехай ABCABC — нерівнобедрений трикутник. Нехай ω\omega — вписане коло, а II — його центр. Позначимо через M,N,PM, N, P точки дотику кола ω\omega зі сторонами [BC],[CA],[AB][BC], [CA], [AB]. Нехай JJ — точка перетину прямих (MN)(MN) і (IC)(IC). Пряма (PJ)(PJ) вдруге перетинає ω\omega в точці KK. Доведіть, що a) чотирикутник CKIPCKIP є вписаним; b) пряма (CI)(CI) є бісектрисою PCK^\widehat{PCK}.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-041

Кут між проєкціями бісектрис

Нехай ABCABC — прямокутний трикутник з прямим кутом у CC. Бісектриса кута BAC^\widehat{BAC} перетинає [BC][BC] в точці PP, а бісектриса кута ABC^\widehat{ABC} перетинає [AC][AC] в точці QQ. Нехай MM і NN — точки на гіпотенузі [AB][AB] такі, що прямі (MP)(MP) і (NQ)(NQ) перпендикулярні до прямої (AB)(AB). Знайдіть кут MCN^\widehat{MCN}.
9–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-016

Фіксована точка перетину від проєкцій на дотичні

Нехай Γ\Gamma — коло з центром OO, а (d)(d) — пряма, що не перетинає Γ\Gamma. Позначимо через PP ортогональну проєкцію OO на (d)(d). Нехай QQ — змінна точка на прямій (d)(d), а (t1)\left(t_{1}\right) і (t2)\left(t_{2}\right) — дотичні до кола Γ\Gamma, що проходять через QQ. Позначимо через AA і BB ортогональні проєкції PP на (t1)\left(t_{1}\right) і (t2)\left(t_{2}\right). Доведіть, що точка перетину (AB)(AB) і (OP)(OP) залишається нерухомою, коли QQ змінюється.
8–10 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-027

Відстані до ортоцентра в гострокутному трикутнику

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з ортоцентром HH. Нехай D,ED, E — основи висот, проведених з вершин AA і BB відповідно. Відомо, що AH=20AH = 20 і HD=15HD = 15 та BE=56BE = 56, знайдіть довжину BHBH.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові тести на IMOTST-2015-003

Чотирикутник з прямими кутами та відстанями до середини

Для чотирикутника ABCDA B C D виконується ∠A=∠C=90∘\angle A = \angle C = 90^{\circ}. Нехай EE — точка всередині чотирикутника. Нехай MM — середина відрізка BEB E. Доведіть, що ∠ADB=∠EDC\angle A D B = \angle E D C тоді й лише тоді, коли ∣MA∣=∣MC∣|M A| = |M C|.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2015-010

Рівносторонній трикутник із серединного перпендикуляра

Дано рівносторонній трикутник ABCA B C. На прямій через BB, паралельній стороні ACA C, лежить точка DD, причому DD і CC лежать з одного боку від прямої ABA B. Серединний перпендикуляр до відрізка CDC D перетинає пряму ABA B в точці EE. Доведіть, що трикутник CDEC D E рівносторонній.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2015-013

Кола, що перетинаються, з паралельними прямими

Нехай кола Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} з центрами відповідно O1O_{1} і O2O_{2} перетинаються у двох різних точках AA і BB. Пряма O1AO_{1} A перетинає Γ2\Gamma_{2} ще раз у точці CC, а пряма O2AO_{2} A перетинає Γ1\Gamma_{1} ще раз у точці DD. Пряма через точку BB, паралельна до прямої ADA D, перетинає Γ1\Gamma_{1} ще раз у точці EE. Припустімо, що пряма O1AO_{1} A паралельна до прямої DED E. Доведіть, що пряма CDC D перпендикулярна до прямої O2CO_{2} C.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2015-012

Коло через вершину і середину дуги з рівними кутами

У трикутнику ABCABC точка DD — перетин внутрішньої бісектриси кута ∠BAC\angle BAC зі стороною BCBC. Нехай PP — друга точка перетину зовнішньої бісектриси кута ∠BAC\angle BAC з описаним колом трикутника △ABC\triangle ABC. Коло, що проходить через точки AA і PP, перетинає відрізок BPBP у внутрішній точці EE та відрізок CPCP у внутрішній точці FF. Доведіть, що ∠DEP=∠DFP\angle DEP = \angle DFP.
10–11 класиОзнаки подібності
Відбіркові тести на IMOTST-2015-020

Паралелограм з умовою на рівність кутів

Нехай ABCDABCD — паралелограм. Припустимо, існує точка PP всередині паралелограма, яка лежить на серединному перпендикулярі до сторони ABAB і така, що ∠PBA=∠ADP\angle PBA = \angle ADP. Доведіть, що ∠CPD=2∠BAP\angle CPD = 2 \angle BAP.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Італійська математична олімпіадаITAMO-2015-002

Трикутник з бісектрисою та точками на трисектрисі

Нехай ABCABC — трикутник, KK — основа бісектриси, проведеної до сторони BCBC, а JJ — основа трисектриси, проведеної до сторони BCBC, ближчої до сторони ACAC (тобто JJ — точка на стороні BCBC така, що 3⋅∠CAJ=∠CAB3 \cdot \angle CAJ = \angle CAB). Нехай далі C′C' і B′B' — дві точки на прямій AJAJ, з того боку від AA, де лежить JJ, такі, що AC′=ACAC' = AC і AB=AB′AB = AB'. Доведіть, що чотирикутник ABB′CABB'C можна вписати в коло тоді й лише тоді, коли прямі C′KC'K і B′BB'B паралельні.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2015-003

Чотирикутник з рівними сторонами і бісектрисою кута

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник такий, що AB=AC=ADAB = AC = AD і BC<CDBC < CD. Бісектриса кута BAD^\widehat{BAD} перетинає сторону CDCD у внутрішній точці MM і продовження сторони BCBC у точці NN. Доведіть, що a. чотирикутник ABCMABCM можна вписати в коло; b. трикутники ANBANB і ABMABM подібні.
9–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2015-014

Дотики D, E і перетини кіл BEI, CDI

Нехай ABCABC — трикутник, який не є рівнобедреним. Нехай Γ\Gamma — його описане коло, а II — центр його вписаного кола. Нехай DD і EE — точки дотику вписаного кола трикутника ABCABC до сторін ABAB і ACAC відповідно. Нехай PP — відмінна від BB точка перетину кола Γ\Gamma й описаного кола трикутника BEIBEI, а QQ — відмінна від CC точка перетину кола Γ\Gamma й описаного кола трикутника CDICDI. Доведіть, що чотири точки DD, EE, PP, QQ лежать на одному колі.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2015-004

Центр кола через ортоцентр на описаному колі

Нехай HH — ортоцентр гострокутного трикутника ABCABC, а коло ω\omega, що проходить через точки HH, AA, BB, перетинає відрізок BCBC у точці D(≠B)D (\neq B). Нехай PP — точка перетину прямої DHDH і відрізка ACAC, а QQ — центр описаного кола трикутника ADPADP. Доведіть, що центр кола ω\omega лежить на описаному колі трикутника BDQBDQ.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2015-007

Вписаний чотирикутник, утворений бісектрисами

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а WW — точка перетину бісектриси кута ∠ACB\angle ACB зі стороною ABAB. Далі нехай IAI_{A} і IBI_{B} — центри вписаних кіл трикутників AWCAWC і WBCWBC відповідно. Прямі IAWI_{A}W і IBBI_{B}B перетинаються в точці DD. Нехай MM — середина відрізка DIBDI_{B}. Доведіть, що MWBCMWBC — вписаний чотирикутник. Зауваження: три бісектриси трикутника перетинаються в одній точці — центрі вписаного кола.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2014-004

Рівні кути у вписаному чотирикутнику

Чотирикутник ABCDABCD вписано в коло. Точка PP лежить усередині чотирикутника ABCDABCD, причому ∠PAB=∠PBC=∠PCD=∠PDA\angle PAB = \angle PBC = \angle PCD = \angle PDA. Прямі ADAD і BCBC перетинаються в точці QQ, а прямі ABAB і CDCD перетинаються в точці RR. Доведіть, що прямі PQPQ і PRPR утворюють такий самий кут, як діагоналі чотирикутника ABCDABCD.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-120

Кут ACD у чотирикутнику з рівними AD і BC

У чотирикутнику ABCDA B C D, ∠DAC=98∘\angle D A C = 98^{\circ}, ∠DBC=82∘\angle D B C = 82^{\circ}, ∠BCD=70∘\angle B C D = 70^{\circ} і BC=ADB C = A D. Знайдіть ∠ACD\angle A C D.
10–11 класиСиметрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-051

Косинус кута при рівнобедрених прямокутних добудовах

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=13AB = 13, BC=14BC = 14 і CA=15CA = 15. Побудуємо рівнобедрений прямокутний трикутник ACDACD з ∠ADC=90∘\angle ADC = 90^{\circ}, причому DD, BB лежать по один бік від прямої ACAC, а прямі ADAD і CBCB перетинаються в точці FF. Аналогічно побудуємо рівнобедрений прямокутний трикутник BCEBCE з ∠BEC=90∘\angle BEC = 90^{\circ}, причому EE, AA лежать по один бік від прямої BCBC, а прямі BEBE і CACA перетинаються в точці GG. Знайдіть cos⁡∠AGF\cos \angle AGF.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2014-011

Ортогональні прямі в трикутнику з вписаним колом

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з описаним колом kk та центром вписаного кола II. Перпендикуляр до CICI, проведений через II, перетинає сторону BCBC в точці UU, а коло kk — в точці VV, причому VV і AA лежать по різні боки від прямої BCBC. Пряма, паралельна AIAI і проведена через UU, перетинає AVAV у точці XX. Доведіть: якщо прямі XIXI та AIAI перпендикулярні між собою, то XIXI перетинає сторону ACAC в її середині MM.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.