Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

689 задач
КомбінаторикаПідрахунок двома способами
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2022-029

Трикутники з пронумерованих паличок

Є палички довжини 11, на кожній з яких написано число 11, 22 або 33. Паличок з кожним числом є необмежена кількість. Два трикутники, що складаються з трьох паличок, вважаються різними, якщо жоден з трикутників не можна скласти з паличок іншого трикутника. a. Скільки різних трикутників, що складаються з трьох паличок, можливо? b. З 1818 паличок складають рівносторонній трикутник зі стороною 33, розбитий на 99 попарно різних рівносторонніх трикутників зі стороною 11. Знайдіть найбільшу можливу суму чисел, написаних на 99 паличках на межі великого трикутника.
Оптимальна конструкція (оцінка і…2 розв’язки
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2020-002

Площини, що розділяють точки на сфері

Нехай SS — множина з a+b+3a+b+3 точок на сфері, де a,ba, b — невід’ємні цілі числа і жодні чотири точки з SS не компланарні (тобто жодні чотири точки не лежать в одній площині). Визначте, скільки площин проходить через три точки з SS і розділяє решту точок на aa точок з одного боку площини та bb точок з іншого боку.
Підрахунок двома способами
Математичний гурток БеркліBMC-2020-008

Сума квадратів біноміальних коефіцієнтів

Знайдіть формулу для суми квадратів чисел nn-го рядка трикутника Паскаля (тобто чисел (n0),(n1),…,(nn)\left(\begin{array}{l}n \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}n \\ 1\end{array}\right), \ldots,\left(\begin{array}{l}n \\ n\end{array}\right)).
Підрахунок двома способами
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2018-004

Числа ±1 по колу з від'ємною сумою добутків сусідніх

Нехай по колу записані 20022002 числа, кожне з яких дорівнює 11 або −1-1. Для кожних двох сусідніх чисел береться їхній добуток; виявляється, що сума всіх 20022002 таких добутків від'ємна. Доведіть, що модуль суми початкових чисел не перевищує 10001000. (Модуль числа xx зазвичай позначають ∣x∣|x|. Він дорівнює xx, якщо x≥0x \geq 0, і −x-x, якщо x<0x<0. Наприклад, ∣6∣=6|6|=6, ∣0∣=0|0|=0 і ∣−7∣=7|-7|=7.)
Підрахунок двома способами
Естонська математична олімпіадаESTMO-2018-004

Групи з попарно одним спільним учнем

Нехай n≥2n \ge 2 — натуральне число. Вчитель математики Лаури любить групові вправи. На кожному уроці статистики вчитель складав у класі Лаури нові групи. Коли весь матеріал зі статистики було пройдено, виявилося, що будь-які двоє різних учнів були разом рівно в одній групі, а будь-які дві різні групи мали рівно одного спільного учня. Того дня, коли вивчали кореляцію, у групі Лаури було рівно nn учнів, крім самої Лаури. Скільки учнів було в класі Лаури, якщо їхня кількість була більшою за n+2n + 2?
Дискретні набори точок та прямих…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-054

Числа на колі з умовами на відношення та різницю

На колі записано 99 натуральних чисел. Якщо aa і bb — два сусідні числа на колі, то ab=2\frac{a}{b}=2, a−b=1a-b=1 або a−b=2a-b=2. Доведіть, що існує деяке число на колі, яке ділиться на 3.
Арифметика остач (базові властиво…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-002

Тури на шаховій дошці, що не б'ють одна одну

Шахова дошка — це квадрат 8×88 \times 8, у якому клітинки розподілені у 8 рядків і 8 стовпців. Тура на шаховій дошці б'є всі фігури, які стоять з нею в одному рядку або в одному стовпці. Знаючи це, визначте: а) Яке найбільше число тур можна поставити на шахову дошку так, щоб жодні дві не били одна одну? б) Яке найбільше число тур можна поставити на шахову дошку так, щоб кожна тура перебувала під боєм не більше ніж однієї з інших тур?
Оптимальна конструкція (оцінка і…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-015

Покриття дошки 6×6 L-триміно

Фігурки нижче називаються LL-триміно. Цими фігурками повністю покривають дошку 6×66 \times 6. У такому покритті кожне LL-триміно покриває рівно 3 клітинки дошки 6×66 \times 6, і жодна клітинка не покрита більше ніж одним LL-триміно. а) Скільки LL-триміно використано для покриття дошки 6×66 \times 6? б) У покритті всієї дошки будемо казати, що ряд (рядок або стовпець) перетинає LL-триміно, коли ряд містить принаймні одну з клітинок, покритих цим LL-триміно. Якби існувало покриття дошки 6×66 \times 6, у якому кожен ряд перетинав би рівно однакову кількість L-триміно, то якою була б ця кількість? в) Доведіть, що не існує покриття дошки 6×66 \times 6 LL-триміно, у якому кожен ряд перетинає однакову кількість LL-триміно.
Підрахунок двома способами
Математичний гурток БеркліBMC-2015-010

Різнокольорові трикутники у розфарбованому 17-кутнику

Нехай P\mathcal{P} — правильний 1717-кутник; проведено всі (172)\left(\begin{array}{c}17 \\ 2\end{array}\right) діагоналі й сторони P\mathcal{P}, і кожну сторону чи діагональ пофарбовано в один із восьми різних кольорів. Припустімо, що немає трикутника (з вершинами серед вершин P\mathcal{P}), усі три сторони якого мають однаковий колір. Яка найбільша можлива кількість трикутників, усі сторони яких мають різні кольори?
Підрахунок двома способами
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2015-008

Неперетинні множини смаків морозива

Педру вирішив повести всіх своїх дітей, хлопчиків і дівчаток, у морозивницю «Математичне морозиво» поласувати морозивом. У морозивниці є 12 різних смаків морозива, і кожна дитина замовила комбо з 3 кульок морозива. Після виходу з морозивниці Педру помітив, що загалом було замовлено рівно по дві кульки кожного наявного смаку. a) Скільки всього дітей (дівчаток і хлопчиків) у Педру, якщо сам він морозива не їв? b) Педру уважніше придивився до смаків, які замовив кожен, і помітив, що жоден смак не був замовлений і хлопчиком, і дівчинкою, тобто якщо хлопчик обрав якийсь смак, то жодна дівчинка той самий смак не обирала. Знаючи, що принаймні один з його дітей — хлопчик і що доньок у нього більше, ніж синів, визначте кількість його доньок.
Парність та непарність
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2015-028

Непарні квадрати за модулем 8 і послідовність

Числа, які є квадратами додатних цілих чисел, називаються повними квадратами; наприклад, 16 — повний квадрат, бо дорівнює 424^{2}. Цікавим фактом є те, що повні квадрати дають лише остачі 0 або 1 при діленні на 4. Завдяки цьому можна довести, наприклад, що 2014 не є повним квадратом, бо 2014 дає остачу 2 при діленні на 4. a) Знаючи, що кожне непарне ціле число має вигляд 2k+12k+1, покажіть, що непарні повні квадрати дають остачу 1 при діленні на 8. b) Чи можна розставити 45 непарних цілих чисел у послідовність так, щоб сума будь-яких 5 послідовних і будь-яких 9 послідовних чисел була повним квадратом?
Міркування за модулем
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2015-030

Шаховий турнір і загальна кількість очок

У шаховому турнірі всі гравці зіграли один з одним рівно один раз. У кожній партії гравець здобуває 1 очко, якщо перемагає, 1/21/2, якщо грає внічию, і 0 очок, якщо програє. Наприкінці турніру репортер додав очки всіх гравців і отримав 190 очок. У турнірі такого типу переможцем є той, хто набирає найбільше очок. a) Скільки гравців брали участь у турнірі? b) Андре брав участь у турнірі й набрав 9 очок. Покажіть, що, навіть не знаючи інших результатів, Андре не був переможцем турніру.
Підрахунок двома способами
Математичний гурток БеркліBMC-2013-013

Магічний куб з неповторними числами на ребрах

На кожному ребрі куба написано число. Куб називається магічним, якщо: (i) Для кожної грані чотири ребра навколо неї мають однакову суму. (ii) Для кожної вершини три ребра, що сходяться в ній, мають однакову суму. (Суми для граней і для вершин можуть бути різними.) Визначте, чи існує магічний куб, який використовує (a) числа від 1 до 12, кожне рівно один раз; (b) числа від 1 до 13, кожне не більше одного разу.
Підрахунок двома способами
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-044

Підрахунок очок у забігах без перемог лідерів

П'ятеро друзів — Арналдо, Берналдо, Черналдо, Дерналдо й Ерналдо — змагалися між собою у п'яти забігах. У кожному забігу переможець отримував п'ять очок, друге місце — чотири очки і так далі аж до останнього місця, яке отримувало лише одне очко. Щоб отримати підсумкову кількість очок кожного бігуна, додавали очки, набрані у п'яти забігах. У підсумковому заліку Арналдо посів перше місце з 19 очками, за ним Берналдо з 16 очками. Третє, четверте й п'яте місця посіли Черналдо, Дерналдо й Ерналдо відповідно. Не було нічиїх у жодному забігу й у підсумковому заліку. Але цікаво те, що ні Арналдо, ні Берналдо не виграли жодного з п'яти забігів. a) Доведіть, що в кожному забігу Арналдо й Берналдо завжди посідали друге й третє місця (у якомусь порядку). b) Скажіть, скільки очок набрав Черналдо. c) Скільки забігів виграв кожен із бігунів?
Оптимальна конструкція (оцінка і…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2011-035

Хорди й трикутники з точок на колі

Десять точок позначено на колі, як показано на рисунку. (a) Скільки хорд можна утворити, сполучивши будь-які дві з цих точок? (Хорда — це відрізок, що сполучає дві точки на колі.) (b) Скільки трикутників можна утворити, сполучивши будь-які три з цих точок?
Комбінації
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2011-037

Матчі в турнірі на вибування

У тенісному турнірі кожен гравець проходить до наступного кола лише в разі перемоги. Якщо неможливо, щоб до наступного кола завжди проходила парна кількість гравців, організатори турніру вирішують, у яких колах мають грати окремі гравці. Наприклад, сіяний гравець на розсуд організаторів може вступити в гру в другому колі або перейти з першого кола до третього, так, щоб загальна кількість гравців, які беруть участь у кожному колі, була парною. a. Розглянемо тенісний турнір із 64 гравцями. Скільки матчів буде зіграно? b. А в турнірі з 2011 гравцями?
Підрахунок двома способами
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2011-052

Суми у вершинах прямокутного паралелепіпеда

У вершинах прямокутного паралелепіпеда розміщено вісім чисел з-поміж 1,2,3,4,5,6,7,8,9,101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 так, що сума чисел на будь-якій грані дорівнює 1818. a. Які числа відкинуто в цьому розміщенні? b. Наведіть можливе розміщення.
Підрахунок двома способами
Естонська математична олімпіадаESTMO-2010-006

Розфарбування квадратів 2×2 на дошці

Кожну клітинку дошки n×nn \times n пофарбовано в червоний або синій колір так, що серед усіх квадратів 2×22 \times 2 на цій дошці трапляються всі можливі розфарбування квадратів 2×22 \times 2 у ці два кольори (розфарбування, отримані одне з одного поворотом чи відбиттям, вважаються різними). a) Знайдіть найменше можливе значення nn. б) Для найменшого можливого значення nn знайдіть найменшу можливу кількість червоних клітинок.
Оптимальна конструкція (оцінка і…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2009-012

Критерій зростання кількості розкладів у суму

Нехай N={0,1,2,3,… }N = \{0, 1, 2, 3, \dots\}. Для заданих множин A,B⊂NA, B \subset N для кожного натурального числа nn позначимо через r(A,B,n)r(A, B, n) кількість розв'язків рівняння a+b=na + b = n, a∈A,b∈Ba \in A, b \in B. Доведіть, що існує n0∈Nn_0 \in N таке, що r(A,B,n+1)>r(A,B,n)r(A, B, n+1) > r(A, B, n) для всіх n>n0n > n_0 тоді й лише тоді, коли N∖AN \setminus A і N∖BN \setminus B обидві скінченні.
Підрахунок двома способами
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2007-001

Лінійка із заданими довжинами відрізків

На паличці завдовжки 15 дюймів є чотири позначки, які поділяють її на п'ять відрізків довжиною 11, 22, 33, 44 і 55 дюймів (хоча не обов'язково саме в такому порядку), утворюючи «лінійку». Ось приклад. За допомогою такої лінійки можна виміряти 88 дюймів (між позначками BB і DD) та 1111 дюймів (між кінцем лінійки в точці AA і позначкою EE), але виміряти 1212 дюймів не можна жодним чином. Доведіть, що неможливо нанести на паличку чотири позначки так, щоб п'ять відрізків мали довжини 11, 22, 33, 44 і 55 дюймів, і щоб кожну цілочислову відстань від 11 до 1515 дюймів можна було виміряти.
Принцип Діріхле (скінченні множин…3 розв’язки
Математичний гурток БеркліBMC-2006-005

Множина кіл, кожне з яких дотикається до п’яти інших

Скінченну множину кіл на площині називають гарною, якщо виконано такі три умови: (i) Жодні два кола не перетинаються більш ніж в одній точці; (ii) Для кожної точки AA площини існує не більше двох кіл, що проходять через AA; (iii) Кожне коло з множини дотикається рівно до 5 інших кіл з множини. Чи існує гарна множина, що складається рівно з (a) 2006 кіл? (b) 2007 кіл?
Підрахунок двома способами
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2006-034

Кількість швів на футбольному м’ячі з п’ятикутників і шестикутників

Футбольний м’яч виготовлено з 32 шкіряних деталей. З цих деталей 12 — однакові правильні п’ятикутники, а інші 20 — також однакові правильні шестикутники. Сторони п’ятикутників дорівнюють сторонам шестикутників. Щоб з’єднати дві сторони двох таких деталей, потрібен один шов. Скільки швів потрібно, щоб виготовити м’яч? A) 60 B) 64 C) 90 D) 120 E) 180
Підрахунок двома способами
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2006-002

Рівнобедрені трикутники на множині точок

Нехай nn — ціле число, n≥3n \ge 3. Нехай f(n)f(n) — найбільша кількість рівнобедрених трикутників, вершини яких належать деякій множині з nn точок на площині, жодні три з яких не лежать на одній прямій. Доведіть, що існують додатні дійсні сталі aa і bb такі, що an2<f(n)<bn2an^2 < f(n) < bn^2 для кожного цілого nn, n≥3n \ge 3.
Підрахунок двома способами
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2004-004

Циклічна сума добутків сусідніх чисел

Нехай дано nn дійсних чисел, не всі з яких дорівнюють нулю, причому їх сума дорівнює нулю. Доведіть, що ці числа можна позначити a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} так, що a1a2+a2a3+⋯+an−1an+ana1<0.a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+\cdots+a_{n-1} a_{n}+a_{n} a_{1}<0 .
Підрахунок двома способами
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2004-004

Максимум різних цифр у рядку чи стовпці дошки

Розглянемо всі способи записати рівно по десять разів кожне з чисел 0,1,2,3,…,90, 1, 2, 3, \ldots, 9 у клітинках дошки 10×1010 \times 10. Знайдіть найбільше ціле число nn з такою властивістю: завжди знайдеться рядок або стовпець з nn різними числами.
Підрахунок двома способами

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.