Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

849 задач
ГеометріяПодібність (без кіл та площ)
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2013-003

Діагоналі трапеції і паралель через їх перетин

Нехай ABCDABCD — трапеція, яка не є паралелограмом. Нехай PP — точка перетину діагоналей, а QQ — точка перетину продовжень бічних сторін. a. Через точку PP проведено пряму, паралельну основам, і нехай XX та YY — точки її перетину з бічними сторонами: доведіть, що XP=YPXP = YP. b. Доведіть, що пряма PQPQ перетинає меншу основу в її середині.
9–11 класиПаралельні прямі і теорема Фалеса
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-012

Дотичні в точках перетину кіл і відношення радіусів

Два кола O1O_1 і O2O_2 перетинаються у двох різних точках PP і QQ. Дотична до кола O1O_1 в точці PP перетинає коло O2O_2 в точці RR, відмінній від PP, а дотична до кола O2O_2 в точці QQ перетинає коло O1O_1 в точці SS, відмінній від QQ. Нехай XX — точка перетину двох прямих PRPR і QSQS. Якщо XR=9XR = 9 і XS=2XS = 2, чому дорівнює відношення r1r2\frac{r_1}{r_2}, де r1r_1 і r2r_2 — радіуси кіл O1,O2O_1, O_2 відповідно? Тут через YZYZ позначено довжину відрізка YZYZ.
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-017

Квадрат з перпендикулярними відстанями

На рисунку PQRSPQRS — квадрат, QE‾=17\overline{QE} = 17 і PH‾=12\overline{PH} = 12. Обчисліть SE‾\overline{SE}.
10–11 класиОзнаки подібності
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-024

Прямокутник з перпендикулярними відрізками

На рисунку показано прямокутник ABCDABCD зі стороною AD‾=4\overline{AD}=4, де точка MM — середина відрізка ABAB. Відомо, що відрізки ACAC і DMDM перпендикулярні. Обчисліть площу прямокутника ABCDABCD.
10–11 класиОзнаки подібності
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2013-001

Точки на сторонах трикутника і відношення відрізків на чевіані

У трикутнику ABCABC точки P,Q,RP, Q, R лежать на сторонах BC,CA,ABBC, CA, AB відповідно. Нехай ωA,ωB,ωC\omega_A, \omega_B, \omega_C позначають описані кола трикутників AQR,BRP,CPQAQR, BRP, CPQ відповідно. Відомо, що відрізок APAP вдруге перетинає ωA,ωB,ωC\omega_A, \omega_B, \omega_C у точках X,Y,ZX, Y, Z відповідно, доведіть, що YX/XZ=BP/PCYX/XZ = BP/PC. (Задачу запропонував Зумін Фен.)
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…3 розв’язки
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2012-001

Трикутник із вписаним колом і рівними кутами

Нехай II — центр вписаного кола трикутника ABCABC. Пряма через II перетинає внутрішність відрізка ABAB в точці MM та внутрішність відрізка BCBC в точці NN. Припустимо, що BMNBMN — гострокутний трикутник. Нехай тепер KK і LL — точки на відрізку ACAC такі, що ∠BMI=∠ILA\angle BMI = \angle ILA і ∠BNI=∠IKC\angle BNI = \angle IKC. Доведіть, що ∣AM∣+∣KL∣+∣CN∣=∣AC∣|AM| + |KL| + |CN| = |AC|.
10–11 класиВписане коло
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2012-012

Рівні центральні кути при паралельних хордах

Два кола cc і c′c' з центрами OO і O′O' лежать повністю зовні одне одного. Точки AA, BB і CC лежать на колі cc, а точки A′A', B′B' і C′C' лежать на колі c′c', так, що AB∥A′B′AB \parallel A'B', BC∥B′C′BC \parallel B'C' і ∠ABC=∠A′B′C′\angle ABC = \angle A'B'C'. Прямі AA′AA', BB′BB' і CC′CC' усі різні й перетинаються в одній точці PP, яка не збігається з жодною з вершин трикутників ABCABC чи A′B′C′A'B'C'. Доведіть, що ∠AOB=∠A′O′B′\angle AOB = \angle A'O'B'. Рис. 1
8–10 класиОзнаки подібності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-094

Серединні перпендикуляри в прямокутному трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник із ∠A=90∘\angle A = 90^{\circ}, AB=1AB = 1 та AC=2AC = 2. Нехай ℓ\ell — пряма через AA, перпендикулярна до гіпотенузи BCBC, а серединні перпендикуляри до катетів ABAB і ACAC перетинають ℓ\ell у точках EE і FF відповідно. Знайдіть довжину відрізка EFEF.
10–11 класиПодібність в прямокутному трикутн…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-100

Шестикутник з описаним і вписаним колами

Шестикутник ABCDEFA B C D E F має описане коло та вписане коло. Якщо AB=9A B=9, BC=6B C=6, CD=2C D=2, а EF=4E F=4, знайдіть {DE,FA}\{D E, F A\}.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Відбіркові тести на IMOTST-2012-002

Нерухома точка на описаному колі

У гострокутному трикутнику ABCABC виконуються нерівності ∠A<∠B\angle A < \angle B і ∠A<∠C\angle A < \angle C. Нехай PP — змінна точка на стороні BCBC. Точки DD і EE лежать на сторонах ABAB і ACAC відповідно так, що BP=PDBP = PD і CP=PECP = PE. Доведіть, що коли PP рухається вздовж сторони BCBC, описане коло трикутника ADEADE проходить через нерухому точку, відмінну від AA.
10–11 класиОписане коло2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2012-010

Вписані точки з паралельної побудови

Нехай ABCABC — трикутник, а XX — точка всередині трикутника. Прямі XAXA, XBXB і XCXC перетинають описане коло трикутника △ABC\triangle ABC вдруге відповідно в точках P,QP, Q і RR. Нехай UU — точка на промені XPXP (тобто на прямій XPXP така, що PP і UU лежать з одного боку від XX). Пряма через UU, паралельна до ABAB, перетинає BQBQ в точці VV. Пряма через UU, паралельна до ACAC, перетинає CRCR в точці WW. Доведіть, що точки Q,R,VQ, R, V і WW лежать на одному колі.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-001

Квадрат у прямокутному трикутнику і рівність для 1/x

На сторонах прямокутного трикутника ABCABC з прямим кутом при вершині AA вибрано три точки DD, EE та FF (відповідно на BCBC, ACAC і ABAB) так, щоб чотирикутник AFDEAFDE був квадратом. Якщо xx — довжина його сторони, доведіть, що 1x=1AB+1AC\frac{1}{x} = \frac{1}{AB} + \frac{1}{AC}
10–11 класиРозбиття і перекидання площ
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-023

Площа рівнобедреного трикутника з серединою сторони

Нехай ABCABC — рівнобедрений трикутник з основою BCBC, нехай DD — середина сторони ACAC. Відомо, що трикутник BCDBCD також рівнобедрений з основою CDCD і що BC=2BC=2. Чому дорівнює площа трикутника ABCABC? (A) 2 (B) 5\sqrt{5} (C) 6\sqrt{6} (D) 7\sqrt{7} (E) 3.
10–11 класиОзнаки подібності
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-010

Центр описаного кола і подібні трикутники в гострокутному трикутнику

У гострокутному трикутнику ABCABC з AB<ACAB < AC бісектриса, проведена з AA, перетинає сторону BCBC у точці PP. Пряма, що проходить через PP паралельно стороні ABAB, перетинає сторону ACAC у точці QQ; на цій прямій нехай RR — точка, що лежить на промені з початком у QQ, який не містить PP, і така, що QR=QAQR = QA. Позначимо далі через SS ортогональну проєкцію RR на пряму BCBC, а через TT — перетин сторони ACAC з прямою, що проходить через PP і перпендикулярна до APAP. a. Доведіть, що центром описаного кола трикутника APRAPR є QQ; b. Доведіть, що трикутник STCSTC подібний до трикутника APCAPC.
10–11 класиРівнобедрений та рівносторонній т…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-009

Перетин висоти з описаним колом і рівність трикутників

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник; нехай OO — центр його описаного кола, а P,QP, Q — точки (відмінні від AA), в яких відповідно висота, проведена з вершини AA, і продовження відрізка AOAO перетинають описане коло трикутника ABCABC. a. Доведіть, що кути BA^PB\widehat{A}P і QA^CQ\widehat{A}C рівні; b. Доведіть, що трикутники BCPBCP і CBQCBQ рівні; c. Доведіть, що, якщо MM і NN — середини сторін ABAB і ACAC, то площа чотирикутника ABPCABPC у чотири рази більша за площу чотирикутника AMONAMON.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2012-014

Трикутник з кутом 30° і кут PMQ

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, у якому ∠BAC=30∘\angle BAC = 30^\circ. Виберемо точку XX всередині трикутника ABCABC так, щоб ∠XBC=∠XCB=30∘\angle XBC = \angle XCB = 30^\circ. Також візьмемо точки PP і QQ на прямих BXBX і CXCX відповідно так, щоб виконувалися рівності AP=BPAP = BP і AQ=CQAQ = CQ. Нехай MM — середина відрізка BCBC. Доведіть, що ∠PMQ=90∘\angle PMQ = 90^\circ.
7–9 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2012-010

Радіуси дотичних кіл у чотирикутнику

Коло XX вписане в чотирикутник PQRSPQRS. Побудовано 4 кола A,B,C,DA, B, C, D, кожне з яких дотикається до 3 із 4 прямих, визначених сторонами чотирикутника, як показано на рисунку нижче. Припустимо, що радіуси кіл A,B,C,XA, B, C, X дорівнюють 22, 11, 44, 33 відповідно. Знайдіть радіус кола DD.
7–9 класиДотична кола
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2012-012

Переріз куба шестикутником і різниця площ

Нехай у просторі розміщено куб ABCDABCD-EFGHEFGH з довжиною ребра 20122012 і площину, причому перетин площини з кубом утворює шестикутник IJKLMNIJKLMN, де точки II, JJ, KK, LL, MM, NN лежать на ребрах AEAE, EFEF, FGFG, GCGC, CDCD, DADA відповідно, як показано на рисунку 3 нижче. Якщо AI−GL=8AI - GL = 8, CM−EJ=6CM - EJ = 6, FK−DN=4FK - DN = 4, визначте значення, яке одержимо, якщо від суми площ трикутників IKMIKM і JLNJLN відняти площу шестикутника IJKLMNIJKLMN. Тут для відрізка XYXY його довжину також позначено через XYXY.
10–11 класиРозбиття і перекидання площ
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2012-002

Точки дотику вписаного кола та середини відрізків між центрами зовнівписаних кіл

Дано трикутник ABC; центр його зовнівписаного кола, протилежного до вершини A, — це точка, де перетинаються зовнішні бісектриси кутів ∠B\angle B і ∠C\angle C. Нехай IAI_A, IBI_B і ICI_C — центри зовнівписаних кіл різностороннього трикутника ABC, протилежних до вершин A, B, C відповідно, а X, Y і Z — середини відрізків IBICI_B I_C, ICIAI_C I_A і IAIBI_A I_B відповідно. Вписане коло трикутника ABC дотикається до сторін BC, CA і AB у точках D, E і F відповідно. Доведіть, що прямі DX, EY і FZ перетинаються в одній точці на прямій IO, яка сполучає інцентр I та центр описаного кола O трикутника ABC.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-006

Площа трикутника при відрізку, паралельному основі

Нехай ABCABC — трикутник з площею 11. Нехай точки DD і EE лежать на сторонах ABAB і ACAC відповідно, так що DEDE паралельна BCBC і DE/BC=1/3DE / BC = 1/3. Якщо FF — образ точки AA при симетрії відносно прямої DEDE, знайдіть площу трикутника FBCFBC.
10–11 класиВідношення площ трикутників
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-102

Рівність кутів у трикутнику з дотичними

Нехай ABCA B C — нерівнобедрений непрямокутний трикутник, нехай ω\omega — його описане коло, а OO — центр цього кола. Нехай MM — середина відрізка BCB C. Нехай дотичні до кола ω\omega в точках BB і CC перетинаються в точці XX. Доведіть, що ∠OAM=∠OXA\angle O A M = \angle O X A. (Підказка: скористайтеся подібністю за двома сторонами та кутом між ними).
10–11 класиОзнаки подібності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-082

Дотичні кола з відношенням хорд

Нехай PP і QQ — точки на прямій ll, причому PQ=12PQ = 12. Два кола, ω\omega і Ω\Omega, обидва дотикаються до прямої ll у точці PP і дотикаються одне до одного зовні. Пряма через QQ перетинає ω\omega у точках AA і BB, причому AA ближча до QQ, ніж BB, так що AB=10AB = 10. Аналогічно, інша пряма через QQ перетинає Ω\Omega у точках CC і DD, причому CC ближча до QQ, ніж DD, так що CD=7CD = 7. Знайдіть відношення AD/BCAD / BC.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-092

Зсув центроїда при відбитті відносно прямої

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=9AB = 9, BC=10BC = 10 і CA=17CA = 17. Нехай B′B' — образ точки BB при симетрії відносно прямої CACA. Нехай GG — центроїд трикутника ABCABC, а G′G' — центроїд трикутника AB′CAB'C. Знайдіть довжину відрізка GG′GG'.
10–11 класиТочка перетину медіан
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-116

Квадрат і трикутник з рівними площами

Нехай ABCDABCD — квадрат зі стороною 1313. Нехай EE і FF — точки на променях ABAB і ADAD відповідно такі, що площа квадрата ABCDABCD дорівнює площі трикутника AEFAEF. Якщо EFEF перетинає BCBC у точці XX і BX=6BX=6, знайдіть довжину відрізка DFDF.
10–11 класиПлощі подібних фігур
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-145

Вписане коло та коло AEF у трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник, а EE і FF — основи висот з BB і CC відповідно. Якщо кут AA не прямий, доведіть, що центр описаного кола трикутника AEFAEF лежить на вписаному колі трикутника ABCABC тоді й лише тоді, коли інцентр трикутника ABCABC лежить на описаному колі трикутника AEFAEF.
10–11 класиГомотерія і подібність

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.