Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

824 задачі
ГеометріяДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2014-017

Рівність відрізків при перетині описаних кіл

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, у якому ∣AB∣≠∣AC∣|AB| \neq |AC|. Нехай DD та EE — середини сторін AB‾\overline{AB} та AC‾\overline{AC} відповідно. Нехай описані кола трикутників BCDBCD і BCEBCE перетинають описане коло трикутника ADEADE у точках PP та QQ відповідно, причому P≠DP \neq D і Q≠EQ \neq E. Доведіть, що ∣AP∣=∣AQ∣|AP| = |AQ|.
10–11 класиІнверсія2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2014-019

Коло через вершину, дотичне в інцентрі

У трикутнику ABCABC точка II — центр вписаного кола. Коло дотикається до прямої AIAI в точці II і проходить через точку BB. Це коло перетинає ABAB ще раз у точці PP, а BCBC — ще раз у точці QQ. Пряма QIQI перетинає ACAC у точці RR. Доведіть, що ∣AR∣⋅∣BQ∣=∣PI∣2|AR| \cdot |BQ| = |PI|^{2}.
10–11 класиДотична кола
Відбіркові тести на IMOTST-2014-025

Бісектриса і проєкція центра описаного кола

Нехай △ABC\triangle ABC — трикутник, у якому ∣AC∣=2∣AB∣|AC| = 2|AB|, і нехай OO — центр описаного кола. Нехай DD — точка перетину бісектриси ∠A\angle A зі стороною BCBC. Нехай EE — перпендикулярна проєкція OO на пряму ADAD, а F≠DF \neq D — точка на прямій ADAD, для якої ∣CD∣=∣CF∣|CD| = |CF|. Доведіть, що ∠EBF=∠ECF\angle EBF = \angle ECF.
10–11 класиСиметрія
Відбіркові тести на IMOTST-2014-027

Конкурентні чевіани з кутовою умовою

Нехай ABCABC — трикутник, у якому α=∠BAC\alpha = \angle BAC — строго найменший кут, а PP — точка на стороні BCBC. Далі нехай DD — точка на прямій ABAB, така, що BB лежить між AA і DD та виконується ∠BPD=α\angle BPD = \alpha, а EE — точка на прямій ACAC, така, що CC лежить між AA і EE та виконується ∠EPC=α\angle EPC = \alpha. Доведіть, що прямі APAP, BEBE і CDCD перетинаються в одній точці тоді й лише тоді, коли прямі APAP і BCBC перпендикулярні.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2014-006

Коло через точки перетину, дотичне до сторони

Нехай Γ\Gamma — описане коло трикутника ABCABC, а ℓ\ell — пряма, дотична до кола Γ\Gamma в точці AA. Нехай D,ED, E — внутрішні точки сторін AB,ACAB, AC відповідно, що задовольняють умову BD:DA=AE:ECBD : DA = AE : EC. Нехай F,GF, G — дві точки перетину прямої DEDE і кола Γ\Gamma, HH — точка перетину прямої ℓ\ell і прямої, паралельної до ACAC, що проходить через точку DD, а II — точка перетину прямої ℓ\ell і прямої, паралельної до ABAB, що проходить через точку EE. Доведіть, що чотири точки F,G,H,IF, G, H, I лежать на колі, яке дотикається до прямої BCBC. Тут для відрізка XYXY його довжину також позначаємо через XYXY.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2014-002

Вписаність і серединний перпендикуляр у трикутнику

Дано трикутник ABCABC, у якого AC=BC>ABAC = BC > AB. Нехай EE і FF — середини сторін ACAC і ABAB відповідно. Серединний перпендикуляр ℓ\ell до сторони ACAC перетинає ABAB у точці KK, а пряма, паралельна до KCKC, що проходить через точку BB, перетинає ACAC у точці LL. Для точки PP на відрізку BFBF нехай HH — ортоцентр трикутника ACPACP. Відрізки BHBH і CPCP перетинаються в точці JJ, а прямі FJFJ і ℓ\ell перетинаються в точці MM. Нехай WW — точка перетину прямих FLFL і ℓ\ell. Доведіть, що AW=PWAW = PW тоді й лише тоді, коли точки B,E,F,MB, E, F, M лежать на одному колі.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2013-006

Відображення, дотичне до описаного кола

Нехай OO — центр описаного кола гострокутного трикутника ABCABC. Нехай точка PP на стороні ABAB така, що ∠BOP=∠ABC\angle BOP = \angle ABC, а точка QQ на стороні ACAC така, що ∠COQ=∠ACB\angle COQ = \angle ACB. Доведіть, що відображення прямої BCBC відносно прямої PQPQ дотикається до описаного кола трикутника APQAPQ.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Естонська математична олімпіадаESTMO-2013-007

Рівнобедрена трапеція за відношенням діагоналей

Основи трапеції ABCDABCD — це ABAB і CDCD, а точка перетину її діагоналей — PP. Доведіть, що якщо ∣PA∣∣PD∣=∣PB∣∣PC∣\frac{|PA|}{|PD|} = \frac{|PB|}{|PC|}, то трапеція є рівнобедреною.
10 класОзнаки подібності2 розв’язки
Естонська математична олімпіадаESTMO-2013-011

Точка на описаному колі з перетину висоти й бісектриси

У гострокутному трикутнику ABCABC висота, проведена з вершини BB, і бісектриса, проведена з вершини CC, перетинаються в точці DD. Нехай EE — точка, симетрична точці DD відносно прямої ACAC. Точки AA, BB, CC і EE лежать на одному колі. Доведіть, що трикутник ABCABC рівнобедрений.
10 класДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Естонська математична олімпіадаESTMO-2013-014

Колінеарність із перетину описаних кіл

На площині задано опуклий чотирикутник ABCDABCD, для якого ∠DAB+∠ABC<180∘\angle DAB + \angle ABC < 180^\circ. Нехай EE — відмінна від вершин чотирикутника точка на відрізку ABAB така, що описані кола трикутників AEDAED і BECBEC перетинаються всередині чотирикутника ABCDABCD у точці FF. Точку GG визначено так, що ∠DCG=∠DAB\angle DCG = \angle DAB, ∠CDG=∠ABC\angle CDG = \angle ABC, а трикутник CDGCDG розташований зовні чотирикутника ABCDABCD. Доведіть, що точки EE, FF, GG лежать на одній прямій.
11 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2013-012

Точка з рівними кутами в рівнобедреному прямокутному трикутнику

У рівнобедреному прямокутному трикутнику ABCABC прямий кут при вершині CC. На стороні ACAC вибрано точки KK, LL, а на стороні BCBC — точки MM, NN так, що вони ділять відповідну сторону на три рівні частини. Доведіть, що всередині трикутника ABCABC існує рівно одна точка PP така, що ∠KPL=∠MPN=45∘\angle KPL = \angle MPN = 45^\circ.
8–10 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-008

Проєкції на діагоналі вписаного чотирикутника лежать на одному колі

Нехай A,B,C,DA, B, C, D — чотири точки на одному колі. Позначимо через A′A', C′C' ортогональні проєкції AA і CC на пряму (BD)(BD), а через B′B', D′D' — ортогональні проєкції BB і DD на пряму (AC)(AC). Доведіть, що A′A', B′B', C′C', D′D' лежать на одному колі.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-012

Рівність відрізків від перетину діагоналей

Чотирикутник ABCDABCD вписано в коло. Його діагоналі перетинаються в точці KK. Коло, що проходить через AA, BB, KK, перетинає прямі (BC)(BC) та (AD)(AD) у точках MM та NN відповідно. Доведіть, що KM=KNKM = KN.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-037

Точки на одному колі з рівних відрізків

Нехай ABCABC — трикутник. Позначимо через OO центр його описаного кола. Нехай DD, EE, FF — точки, що лежать на сторонах [BC][BC], [CA][CA] і [AB][AB] відповідно. Припустимо, що FB=FDFB = FD і ED=ECED = EC. Коло з центром FF і радіусом FBFB та коло з центром EE і радіусом ECEC перетинаються вдруге в точці GG. Доведіть, що AA, FF, OO, EE, GG лежать на одному колі.
9–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-040

Центр описаного кола на спільній бісектрисі кутів

Нехай ABCABC — трикутник, усі кути якого гострі, а кут B^\widehat{B} дорівнює 60 градусів (=π/3=\pi/3 радіана). Висоти [AD][AD] і [CE][CE] перетинаються в точці HH. Доведіть, що центр описаного кола трикутника ABCABC лежить на спільній бісектрисі кутів AHE^\widehat{AHE} і CHD^\widehat{CHD}.
9–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-088

Дотик описаного кола і довжина відрізка

Нехай ABCABC — трикутник з центром описаного кола OO такий, що AC=7AC = 7. Припустімо, що описане коло трикутника AOCAOC дотикається до сторони BCBC в точці CC і перетинає пряму ABAB у точках AA і FF. Нехай FOFO перетинає BCBC у точці EE. Обчисліть довжину відрізка BEBE.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-128

Чотирикутник з прямими кутами і можливі довжини відрізка DF

Нехай ABCDABCD — чотирикутник такий, що ∠ABC=∠CDA=90∘\angle ABC = \angle CDA = 90^{\circ}, а BC=7BC = 7. Нехай EE і FF — точки на відрізку BDBD такі, що AEAE і CFCF перпендикулярні до BDBD. Припустимо, що BE=3BE = 3. Знайдіть добуток найменшої та найбільшої можливих довжин відрізка DFDF.
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-132

Відбиття і дотичні в колі

Трикутник ABCABC вписано в коло ω\omega. Нехай бісектриса кута AA перетинає ω\omega в точці DD, а BCBC — в точці EE. Нехай відображеннями точки AA відносно DD і CC є D′D' і C′C' відповідно. Припустимо, що ∠A=60∘\angle A = 60^\circ, AB=3AB = 3 і AE=4AE = 4. Якщо дотична до кола ω\omega в точці AA перетинає пряму BCBC в точці PP, а описане коло трикутника APD′APD' перетинає пряму BCBC в точці FF (відмінній від PP), обчисліть довжину відрізка FC′FC'.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2013-031

Рівні відрізки від середини сторони гострокутного трикутника

У гострокутному трикутнику основи висот, проведених з вершин AA і BB, — це DD і EE відповідно. Нехай MM — середина сторони ABAB. Пряма CMCM перетинає описане коло трикутника CDECDE вдруге в точці PP, а описане коло трикутника CABCAB вдруге — у точці QQ. Доведіть, що ∣MP∣=∣MQ∣.|MP| = |MQ|.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2013-032

Чи є вписаний чотирикутник ACPQ квадратом

Нехай DD — відмінна від BB точка на гіпотенузі ABAB прямокутного трикутника ABCABC така, що ∣CB∣=∣CD∣|CB| = |CD|. Нехай OO — центр описаного кола трикутника ACDACD. Промені ODOD і CBCB перетинаються в точці PP, а пряма, що проходить через точку OO перпендикулярно до сторони ABAB, і промінь CDCD перетинаються в точці QQ. Точки AA, CC, PP, QQ лежать на одному колі. Чи випливає з цього, що ACPQACPQ — квадрат?
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2013-005

Рівні відстані від точки перетину

Нехай ABCABC — трикутник, для якого ∠B>∠C\angle B > \angle C, і нехай DD — точка на стороні ACAC така, що ∠ADC=∠C\angle ADC = \angle C. Нехай II — інцентр трикутника ABCABC, а EE — точка перетину описаного кола трикутника CDICDI з прямою AIAI, відмінна від II. Нехай PP — точка перетину прямої BDBD з прямою, паралельною ABAB, що проходить через EE. Нехай JJ — інцентр трикутника ABDABD, а A′A' — точка, симетрична точці AA відносно II. Припустімо, що прямі JPJP і A′CA'C перетинаються в точці QQ. Доведіть, що QJ=QA′QJ = QA'.
10–11 класиТеорема Менелая
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2012-005

Колінеарність у трикутнику з бісектрисами

Нехай Γ\Gamma — описане коло гострокутного трикутника ABCA B C. Бісектриса кута ABCA B C перетинає ACA C в точці B1B_{1}, а коротку дугу ACA C кола Γ\Gamma в точці PP. Пряма, що проходить через B1B_{1} перпендикулярно до BCB C, перетинає коротку дугу BCB C кола Γ\Gamma в точці KK. Пряма, що проходить через BB перпендикулярно до AKA K, перетинає ACA C в точці LL. Доведіть, що K,LK, L і PP лежать на одній прямій.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Французька математична олімпіадаFRMO-2012-010

Рівність кутів у трапеції

ABCDABCD — трапеція, в якій сторони ADAD і BCBC паралельні, KK — точка сторони ABAB, а LL — точка сторони CDCD. Доведіть, що якщо кути BAL^\widehat{BAL} і CDK^\widehat{CDK} рівні, то кути BLA^\widehat{BLA} і CKD^\widehat{CKD} також рівні.
8–10 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-059

Умова прямого кута A через вписаний XBYC

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AB<ACAB < AC. Нехай MM — середина сторони BCBC. Через MM проведено пряму ll, перпендикулярну до AMAM, яка перетинає пряму ABAB у точці XX, а пряму ACAC — у точці YY. Доведіть, що ∠BAC=90∘\angle BAC = 90^{\circ} тоді й лише тоді, коли чотирикутник XBYCXBYC вписаний.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-072

Перпендикуляр до медіани і вписаний чотирикутник XBYC

Нехай ABCABC — трикутник з AB<ACAB < AC. Нехай MM — середина сторони BCBC. Через MM проведено пряму ll, перпендикулярну до AMAM, яка перетинає пряму ABAB в точці XX і пряму ACAC в точці YY. Доведіть, що ∠BAC=90∘\angle BAC = 90^{\circ} тоді й лише тоді, коли чотирикутник XBYCXBYC вписаний.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.