Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

775 задач
КомбінаторикаКомбінаторна геометрія
Естонська математична олімпіадаESTMO-2013-017

Розбиття правильного многокутника на правильні многокутники

Для яких натуральних чисел n≥3n \ge 3 можна розрізати правильний nn-кутник на менші частини, що мають форму правильних многокутників? (Частини можуть мати різну кількість сторін.)
11 класРозрізання, покриття та замощення
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-002

Забарвлені точки з умовою про точку всередині трикутника

Дано nn точок площини, жодні три з яких ніколи не лежать на одній прямій. Кожну з них пофарбовано в червоний або в синій колір. Припускається, що всередині кожного трикутника з червоними вершинами міститься рівно одна синя точка, а всередині кожного трикутника з синіми вершинами — одна червона точка. Яке найбільше можливе значення nn?
8–10 класиОпуклі множини
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-005

Нерівність опуклості для площі многокутника

а. Нехай XX — скінченна множина точок на площині, а fX(n)f_{X}(n) — найбільша можлива площа многокутника з не більше ніж nn вершинами, усі з яких є точками множини XX. Доведіть, що якщо m,nm, n — цілі числа, для яких m≥n>2m \geq n > 2, то fX(m)+fX(n)≥fX(m+1)+fX(n−1)f_{X}(m) + f_{X}(n) \geq f_{X}(m+1) + f_{X}(n-1). б. Нехай P0P_{0} — прямокутник 1 на 2 (разом із внутрішністю), а многокутник PiP_{i} індуктивно означається як результат згинання Pi−1P_{i-1} по деякій прямій, що розрізає Pi−1P_{i-1} на дві зв’язні частини. Діаметром многокутника PiP_{i} називається найбільша відстань між двома точками PiP_{i}. Знайдіть найменший можливий діаметр многокутника P2013P_{2013}. (Іншими словами, для даного многокутника Pi−1P_{i-1} згин Pi−1P_{i-1} складається з прямої ll, яка ділить Pi−1P_{i-1} на дві зв’язні частини AA і BB, а згорнутий многокутник має вигляд Pi=A∪BlP_{i} = A \cup B_{l}, де BlB_{l} — образ BB при симетрії відносно прямої ll.)
10–11 класиОпуклі множини
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-058

Переріз гіперкуба з найбільшою кількістю граней

Нехай WW — гіперкуб {(x1,x2,x3,x4)∣0≤x1,x2,x3,x4≤1}\{ (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) \mid 0 \leq x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} \leq 1 \}. Перетин WW з гіперплощиною, паралельною до x1+x2+x3+x4=0x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0, є невиродженим тривимірним многогранником. Яка найбільша можлива кількість граней цього многогранника?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2013-022

Таблиці нулів і одиниць з упорядкованими нулями

У таблиці з nn рядками та 2n2n стовпцями, де nn — фіксоване натуральне число, у кожну клітинку записуємо або нуль, або одиницю так, щоб кожен рядок містив nn нулів і nn одиниць. Для 1≤k≤n1 \le k \le n і 1≤i≤n1 \le i \le n означимо ak,ia_{k,i} так, що ii-й нуль у kk-му рядку стоїть у ak,ia_{k,i}-му стовпці. Нехай F\mathcal{F} — множина таких таблиць, для яких a1,i≥a2,i≥⋯≥an,ia_{1,i} \ge a_{2,i} \ge \dots \ge a_{n,i} для кожного ii з 1≤i≤n1 \le i \le n. Для C∈FC \in \mathcal{F} зіставимо іншу таблицю f(C)f(C) розміру n×2nn \times 2n так: для kk-го рядка таблиці f(C)f(C) запишемо nn одиниць у стовпцях an,k−k+1,an−1,k−k+2,…,a1,k−k+na_{n,k} - k + 1, a_{n-1,k} - k + 2, \dots, a_{1,k} - k + n (а в інші клітинки цього рядка запишемо нулі). a. Доведіть, що f(C)∈Ff(C) \in \mathcal{F}. b. Доведіть, що f(f(f(f(f(f(C))))))=Cf(f(f(f(f(f(C)))))) = C для будь-якого C∈FC \in \mathcal{F}.
10–11 класиБієкції
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-019

Замощення дошки 2×n доміно

Малий Абель отримав у подарунок дошку 2×n2 \times n і nn фішок розміром 2×12 \times 1. Наприклад, на рисунку нижче показано випадок, коли n=10n=10, тобто коли Абель має дошку 2×102 \times 10 і 10 фішок розміром 2×12 \times 1. Він бавиться, заповнюючи дошку за допомогою nn фішок. Наприклад, при n=10n=10 Абель міг би заповнити її способами, проілюстрованими нижче: Зауважте, однак, що існує багато інших способів, якими Абель може заповнити свою дошку. a) Обчисліть загальну кількість способів, якими Абель може заповнити свою дошку у випадках, коли n=1,n=2n=1, n=2 і n=3n=3, тобто у випадку, коли дошки мають розміри 2×1,2×22 \times 1,2 \times 2 і 2×32 \times 3. b) Нехай ana_{n} — кількість способів, якими Абель може заповнити дошку 2×n2 \times n, використавши nn фішок 2×12 \times 1. Покажіть, що a10=a9+a8a_{10}=a_{9}+a_{8}. c) Обчисліть загальну кількість способів, якими Абель може заповнити свою дошку, коли n=10n=10.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2012-007

Хроматичне число цілочисельної решітки при відстані п'ять

Знайдіть найменшу кількість кольорів, необхідну для того, щоб пофарбувати всі точки площини з цілими координатами так, щоб жодні дві точки, відстань між якими дорівнює рівно п'яти одиницям, не мали однакового кольору.
8–10 класиГеометричні розфарбування
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2012-034

Зведення подвійного покриття доміно

Скінченну клітинну дошку вкрито картками 1×21 \times 2 так, що краї карток збігаються з лініями сітки, жодна картка не виходить за край дошки, а кожна клітинка вкрита рівно двома картками. Доведіть, що можна прибрати деякі з карток так, щоб кожна клітинка була вкрита рівно однією карткою.
11 класРозрізання, покриття та замощення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-099

Вершини крос-політопа та куба

Нехай SS — множина точок (x1,x2,…,x2012)(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{2012}) у 2012-вимірному просторі таких, що ∣x1∣+∣x2∣+⋯+∣x2012∣≤1|x_{1}| + |x_{2}| + \cdots + |x_{2012}| \leq 1. Нехай TT — множина точок у 2012-вимірному просторі таких, що max⁡i=12012∣xi∣=2\max_{i=1}^{2012} |x_{i}| = 2. Нехай pp — випадково вибрана точка множини TT. Яка ймовірність того, що найближча до pp точка множини SS є вершиною SS?
10–11 класиВекторний метод
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-052

Очікувані перетини у випадковому многокутнику

Нехай A1A2…A100A_{1} A_{2} \ldots A_{100} — вершини правильного 100-кутника. Нехай π\pi — навмання вибрана перестановка чисел від 1 до 100. Проведено відрізки Aπ(1)Aπ(2),Aπ(2)Aπ(3),…,Aπ(99)Aπ(100),Aπ(100)Aπ(1)A_{\pi(1)} A_{\pi(2)}, A_{\pi(2)} A_{\pi(3)}, \ldots, A_{\pi(99)} A_{\pi(100)}, A_{\pi(100)} A_{\pi(1)}. Знайдіть математичне сподівання кількості пар відрізків, які перетинаються у внутрішній точці 100-кутника.
10–11 класиПравила суму та добутку
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-092

Обмеженість двовимірного многочлена знизу

Нехай є 16 змінних {ai,j}0≤i,j≤3\{a_{i, j}\}_{0 \leq i, j \leq 3}, кожна з яких може дорівнювати 0 або 1. Для скількох наборів значень змінних ai,ja_{i, j} існують додатні дійсні числа ci,jc_{i, j} такі, що многочлен f(x,y)=∑0≤i,j≤3ai,jci,jxiyjf(x, y) = \sum_{0 \leq i, j \leq 3} a_{i, j} c_{i, j} x^{i} y^{j} (x,y∈R)(x, y \in \mathbb{R}) обмежений знизу?
10–11 класиОпуклі множини
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-030

Розфарбування дошки літерами з умовою суміжності

Шахову дошку 88 на 88 заповнюють літерами AA, BB, CC, DD так, що дві клітинки зі спільною стороною або спільною вершиною містять різні літери, і так, що літери AA і літери BB мають таку властивість: щоразу, коли AA або BB має певну літеру XX, сусідню по горизонталі чи вертикалі (XX може бути AA, BB, CC або DD), то з протилежного боку є інша XX (хіба що там край дошки). Скількома способами можна розставити такі літери на дошці? (A) 136 (B) 144 (C) 168 (D) 328 (E) 360.
10–11 класиГеометричні розфарбування
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2012-005

Розфарбування таблиці з локальними обмеженнями

Скількома способами можна розфарбувати клітинки таблиці n×nn \times n, кожну в один із чотирьох кольорів, так, щоб жодні дві клітинки зі спільною стороною не мали однакового кольору й у кожному квадраті 2×22 \times 2, утвореному сусідніми клітинками, траплялися всі чотири кольори?
10–11 класиГеометричні розфарбування
Естонська математична олімпіадаESTMO-2011-006

Розфарбування граней куба з нульовою сумою

На кожній грані одиничного куба написано одне з чисел −1-1, 00, 11 так, що будь-які дві грані зі спільним ребром містять різні числа. Чи можна скласти а) куб розміру 2×2×22 \times 2 \times 2; б) куб розміру 3×3×33 \times 3 \times 3 так, щоб у сітках, які утворяться на гранях, будь-які два квадрати зі спільною стороною містили різні числа і сума всіх чисел на кожній грані дорівнювала 00?
10 класГеометричні розфарбування
Естонська математична олімпіадаESTMO-2011-014

Розфарбування граней октаедра у три кольори

В Антса є три олівці, кожен іншого кольору. Скількома способами він може розфарбувати грані правильного октаедра так, щоб грані зі спільним ребром завжди мали різні кольори? Розфарбування, які можна одержати одне з одного поворотами октаедра, вважаються однаковими.
11 класРозбиття на випадки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-115

Збурення вершин правильного шестикутника й опуклість

Нехай HH — правильний шестикутник зі стороною xx. Назвемо шестикутник у тій самій площині «спотворенням» шестикутника HH тоді й лише тоді, коли його можна отримати з HH зсувом кожної вершини шестикутника HH на відстань, строго меншу за 11. Знайдіть найменше значення xx, для якого кожне спотворення шестикутника HH обов’язково є опуклим.
10–11 класиОпуклі множини
Відбіркові тести на IMOTST-2011-009

Роздільність замощення прямокутника доміно

Розглянемо замощення прямокутної дошки m×nm \times n плитками 1×21 \times 2. Плитки можуть лежати як горизонтально, так і вертикально, але вони не можуть перекриватися і виступати за межі дошки. Усі клітинки дошки мають бути покриті плиткою. a) Доведіть, що за будь-якого замощення дошки 4×20104 \times 2010 плитками 1×21 \times 2 існує пряма лінія, яка ділить дошку на дві частини так, що кожна плитка цілком лежить усередині однієї з частин. b) Доведіть, що існує замощення дошки 5×20105 \times 2010 плитками 1×21 \times 2 таке, що немає прямої лінії, яка ділить дошку на дві частини так, що кожна плитка цілком лежить усередині однієї з частин.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Відбіркові тести на IMOTST-2011-011

Доміно-замощення з рухливою діркою на непарній дошці

Розглянемо дошку з непарними довжинами сторін, розбиту на одиничні квадрати. Дошку без одного кутового поля довільно покрито доміно. За один хід можна зсунути одне доміно в поздовжньому напрямі на одне поле так, щоб попередньо порожнє поле виявилося накритим, а натомість звільнилося нове (на два поля далі). Доведіть, що порожнє поле послідовністю ходів можна перемістити в довільний кут дошки.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Відбіркові тести на IMOTST-2011-033

Королі без нападів на великій шаховій дошці

Доведіть, що існує понад 101310^{13} способів розмістити 81 короля на дошці 18×1818 \times 18 так, щоб жодні два королі не били один одного.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2011-008

Приєднання кубиків для отримання заданого об'єму

Маємо червоний куб з довжиною ребра 22 см. Яка найменша кількість однакових кубиків, які треба приєднати до червоного куба, щоб отримати куб з об'ємом (125)3\left(\frac{12}{5}\right)^3 см³?
6–7 класиРозрізання, покриття та замощення
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2011-014

Рівносторонній трикутник, що покриває точки

Всередині квадрата зі стороною 16 розглянемо 1000 точок. Доведіть, що існує рівносторонній трикутник зі стороною 232\sqrt{3}, який покриває принаймні 16 із цих точок.
8–9 класиПринцип Діріхле (довжини, площі,…
Естонська математична олімпіадаESTMO-2010-026

Розрізання збільшеної L-фігури на одиничні L-фігури

Одинична L-фігура складається з трьох одиничних квадратів, як показано на малюнку. Доведіть, що для будь-якого натурального числа kk подібну L-фігуру, довжини сторін якої у kk разів більші, можна розрізати на одиничні L-фігури.
11 класРозрізання, покриття та замощення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-123

Максимальна кількість драгунів, що обстрілюють одного

Драгуни займають квадрати 1×11 \times 1 на площині зі сторонами, паралельними координатним осям, так що внутрішні частини квадратів не перетинаються. Драгун може стріляти в іншого драгуна, якщо різниця координат xx їхніх центрів і різниця координат yy їхніх центрів обидві не перевищують 66, незалежно від будь-яких драгунів між ними. Наприклад, драгун із центром у точці (4,5)(4,5) може стріляти в драгуна з центром у початку координат, а драгун із центром у точці (7,0)(7,0) — ні. Драгун не може стріляти сам у себе. Яка найбільша можлива кількість драгунів, які можуть одночасно стріляти в одного драгуна?
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-097

Опукла множина зі скінченною площею

Нехай SS — опукла множина на площині зі скінченною площею aa. Доведіть, що або a=0a=0, або SS обмежена. Зауваження: множина обмежена, якщо вона міститься в крузі скінченного радіуса. Зауваження: множина опукла, якщо щоразу, коли дві точки AA і BB належать множині, відрізок між ними також належить множині.
10–11 класиОпуклі множини
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-104

Поділ круга десятьма параболами

На скільки областей можуть розрізати круг 10 парабол?
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.