Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

849 задач
ГеометріяПодібність (без кіл та площ)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-033

Чотирикутник із серединними перпендикулярами

Нехай AMOLAMOL — чотирикутник, у якому AM=10AM = 10, MO=11MO = 11 і OL=12OL = 12. Відомо, що серединні перпендикуляри до сторін AMAM і OLOL перетинаються в середині відрізка AOAO. Знайдіть довжину сторони LALA.
10–11 класиОзнаки подібності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-042

Прямокутник, вписаний у прямокутник

Нехай ABCDABCD — прямокутник з AB=3AB = 3 і BC=7BC = 7. Нехай WW — точка на відрізку ABAB така, що AW=1AW = 1. Нехай X,Y,ZX, Y, Z — точки на відрізках BC,CD,DABC, CD, DA відповідно, такі, що чотирикутник WXYZWXYZ є прямокутником, і BX<XCBX < XC. Знайдіть довжину відрізка BXBX.
10–11 класиОзнаки подібності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-059

Ітеровані перпендикуляри в рівнобедреному трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник такий, що AB=AC=182AB = AC = 182 і BC=140BC = 140. Нехай X1X_{1} лежить на стороні ACAC так, що CX1=130CX_{1} = 130. Нехай пряма через X1X_{1}, перпендикулярна до BX1BX_{1} у точці X1X_{1}, перетинає ABAB у точці X2X_{2}. Визначимо точки X2,X3,…X_{2}, X_{3}, \ldots так: для непарного nn і n≥1n \geq 1 нехай Xn+1X_{n+1} — перетин прямої ABAB з перпендикуляром до прямої Xn−1XnX_{n-1}X_{n} через XnX_{n}; для парного nn і n≥2n \geq 2 нехай Xn+1X_{n+1} — перетин прямої ACAC з перпендикуляром до прямої Xn−1XnX_{n-1}X_{n} через XnX_{n}. Знайдіть суму BX1+X1X2+X2X3+…BX_{1} + X_{1}X_{2} + X_{2}X_{3} + \ldots
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-060

Трикутник з рівними кутами та відношенням відрізків

Нехай ABCABC — трикутник з AB=4AB = 4, BC=8BC = 8 і CA=5CA = 5. Нехай MM — середина сторони BCBC, а DD — точка на описаному колі трикутника ABCABC така, що відрізок ADAD перетинає внутрішність трикутника ABCABC і ∠BAD=∠CAM\angle BAD = \angle CAM. Нехай відрізок ADAD перетинає сторону BCBC в точці XX. Обчисліть відношення AX/ADAX / AD.
10–11 класиОзнаки подібності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-068

Коло, дотичне до описаного кола і сторони

Нехай ABCABC — трикутник з AB=5AB = 5, BC=8BC = 8 і CA=7CA = 7. Нехай Γ\Gamma — коло, яке дотикається зсередини до описаного кола трикутника ABCABC у точці AA і також дотикається до відрізка BCBC. Коло Γ\Gamma перетинає ABAB і ACAC у точках DD і EE відповідно. Знайдіть довжину відрізка DEDE.
10–11 класиГомотерія і подібність
Відбіркові тести на IMOTST-2011-006

Бісектриса кута між дотичними з проєкції

Два кола лежать повністю зовні одне одного. Нехай AA — точка перетину внутрішніх спільних дотичних до кіл, а KK — проєкція цієї точки на їхню зовнішню спільну дотичну. Дотичні до кіл, проведені через точку KK і відмінні від спільної дотичної, перетинають кола в точках M1M_1 і M2M_2. Доведіть, що пряма AKAK ділить навпіл кут M1KM2M_1KM_2.
10–11 класиОзнаки подібності2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2011-001

Відношення на хорді з основ висот

У гострокутному різносторонньому трикутнику ABCABC точки DD, EE, FF лежать на сторонах BCBC, CACA, ABAB відповідно так, що AD⊥BCAD \perp BC, BE⊥CABE \perp CA, CF⊥ABCF \perp AB. Висоти ADAD, BEBE, CFCF перетинаються в ортоцентрі HH. Точки PP і QQ лежать на відрізку EFEF так, що AP⊥EFAP \perp EF і HQ⊥EFHQ \perp EF. Прямі DPDP і QHQH перетинаються в точці RR. Обчисліть відношення HQ/HRHQ/HR.
10–11 класиЗовнівписане коло3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2011-035

Дотична до описаного кола в трикутнику

У трикутнику ABCA B C, у якому AB≠ACA B \neq A C, нехай DD — проєкція точки AA на пряму BCB C. Крім того, нехай E,FE, F — середини відрізків ADA D та BCB C відповідно, а GG — проєкція точки BB на пряму AFA F. Доведіть, що пряма EFE F є дотичною в точці FF до описаного кола трикутника GFCG F C.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2011-036

Бісектриси у квадраті та перпендикулярність

Нехай ABCDA B C D — квадрат, а MM — внутрішня точка відрізка BCB C. Бісектриса кута ∠BAM\angle B A M перетинає відрізок BCB C у точці EE. Крім того, бісектриса кута ∠MAD\angle M A D перетинає пряму CDC D у точці FF. Доведіть, що прямі AMA M і EFE F перпендикулярні.
10–11 класиОзнаки подібності
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2011-002

Вписаний чотирикутник із середин висот трикутника

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а D,ED, E — основи висот, проведених з A,BA, B. Нехай A′A' — середина висоти ADAD, B′B' — середина висоти BEBE. Пряма CA′CA' перетинає BEBE в XX, CB′CB' перетинає ADAD в YY. Доведіть, що існує коло, яке проходить через точки A′,B′,X,YA', B', X, Y.
9–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2011-014

Рівні відрізки з побудови з ортоцентром

Нехай HH — ортоцентр гострокутного трикутника ABCABC, а DD — перетин двох прямих AHAH, BCBC. Нехай EE — точка перетину описаного кола трикутника ABDABD і прямої CHCH, що лежить поза трикутником ABCABC. А нехай FF — точка перетину описаного кола трикутника ACDACD і прямої BHBH, що лежить поза трикутником ABCABC. Доведіть, що відрізки AEAE і AFAF мають однакову довжину.
7–9 класиСтепінь точки відносно кола
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2011-003

Відношення площ у трикутнику з паралельним відрізком

У трикутнику ABCABC точку DD вибрано на стороні ABAB, а точку EE — на стороні ACAC так, що пряма DEDE паралельна прямій BCBC. Нехай MM і NN — середини відрізків BDBD і CECE відповідно. Знайдіть площу трикутника ADEADE, якщо площі чотирикутників DMNEDMNE і MBCNMBCN дорівнюють 11 і 22 відповідно.
7–9 класиГомотерія і подібність
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2011-011

Середини діагоналей описаного чотирикутника

Нехай 4 сторони ABAB, BCBC, CDCD, DADA чотирикутника ABCDABCD дотикаються до кола з центром OO, і виконуються умови OA=5, OB=6, OC=7, OD=8OA = 5,\ OB = 6,\ OC = 7,\ OD = 8 Нехай MM, NN — середини відрізків ACAC, BDBD відповідно. Знайдіть значення OM:ONOM : ON. Тут для відрізка XYXY його довжину також позначено через XYXY.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2011-001

Рівні відрізки та середина сторони в гострокутному трикутнику

Нехай PP — точка на стороні BCBC гострокутного трикутника ABCABC. Нехай HH — ортоцентр △ABC\triangle ABC, а DD — основа перпендикуляра з HH на пряму APAP. Нехай Γ1,Γ2\Gamma_1, \Gamma_2 — описані кола △ABD,△ACD\triangle ABD, \triangle ACD відповідно. Нехай ll — пряма, паралельна стороні BCBC, що проходить через DD. Пряма ll перетинає Γ1\Gamma_1 і Γ2\Gamma_2 у точках XX і YY, відмінних від DD, відповідно. Пряма ll перетинає ABAB і ACAC у точках EE і FF відповідно. Дві прямі XBXB і YCYC перетинаються в точці ZZ. Доведіть, що BP=CPBP = CP тоді й лише тоді, коли ZE=ZFZE = ZF.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2011-011

Рівнобедрений трикутник із середин чотирикутника

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник такий, що AD=DCAD = DC, AC=ABAC = AB і ∠ADC=∠CAB\angle ADC = \angle CAB. Нехай MM і NN — середини сторін ADAD і ABAB. Доведіть, що трикутник MNCMNC рівнобедрений.
8–9 класиЛанцюжок подібних трикутників
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2010-003

Дотична з вершини квадрата до кола

Дано квадрат ABCDABCD з описаним колом Γ1\Gamma_{1}. Нехай PP — точка на дузі ACAC, на якій також лежить BB. Коло Γ2\Gamma_{2} дотикається внутрішньо до кола Γ1\Gamma_{1} в точці PP і, крім того, дотикається до діагоналі ACAC в точці QQ. Нехай RR — точка на колі Γ2\Gamma_{2} така, що пряма DRDR дотикається до кола Γ2\Gamma_{2}. Доведіть, що ∣DR∣=∣DA∣|DR| = |DA|.
10–11 класиГомотерія і подібність
Естонська математична олімпіадаESTMO-2010-008

Нерівність площ при перетині діагоналей трапеції

Діагоналі трапеції ABCDABCD з основами ABAB і CDCD перетинаються в точці PP. Доведіть нерівність SPAB+SPCD>SPBC+SPDAS_{PAB} + S_{PCD} > S_{PBC} + S_{PDA}, де SXYZS_{XYZ} позначає площу трикутника XYZXYZ.
10–11 класиВідношення площ трикутників3 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-109

Відношення для кола, дотичного до хорди

У колі OO проведено хорду ABAB. Деяке коло дотикається до кола OO в точці TT і до хорди ABAB в точці XX так, що AX=2XBAX = 2XB. Чому дорівнює відношення ATBT\frac{AT}{BT}?
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-110

Дотичні кола на діаметрі та відношення відрізків

ABAB — діаметр кола OO. XX — точка на діаметрі ABAB така, що AX=3BXAX = 3 BX. Різні кола ω1\omega_1 і ω2\omega_2 дотикаються до кола OO в точках T1T_1 і T2T_2 та до діаметра ABAB в точці XX. Прямі T1XT_1 X і T2XT_2 X перетинають коло OO знову в точках S1S_1 і S2S_2. Чому дорівнює відношення T1T2S1S2\frac{T_1 T_2}{S_1 S_2}?
10–11 класиКола, що дотикаються
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-090

Мінімальна відстань до вершини в рівнобічній трапеції

Нехай ABCDABCD — рівнобічна трапеція така, що AB=10AB = 10, BC=15BC = 15, CD=28CD = 28 і DA=15DA = 15. Існує точка EE така, що △AED\triangle AED і △AEB\triangle AEB мають однакову площу, причому ECEC є мінімальним. Знайдіть довжину відрізка ECEC.
10–11 класиВідношення площ трикутників
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-079

Довжина хорди, утвореної дотичним колом

Дано два діаметри ABAB і CDCD кола Ω\Omega радіуса 11. В одному з менших утворених секторів проведено коло так, що воно дотикається до прямої ABAB у точці EE, дотикається до прямої CDCD у точці FF і дотикається до кола Ω\Omega у точці PP. Прямі PEPE і PFPF перетинають коло Ω\Omega знову в точках XX і YY. Знайдіть довжину відрізка XYXY, якщо AC=23AC=\frac{2}{3}.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-048

Основи висот трикутника 13, 14, 15 і AG

Дано трикутник ABCA B C з AB=13A B = 13, BC=14B C = 14, CA=15C A = 15. Нехай EE і FF — основи висот з BB і CC відповідно. Нехай GG — основа висоти з AA в трикутнику AFEA F E. Знайдіть довжину відрізка AGA G.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-062

Кола, дотичні до прямих, що перетинаються, у чотирикутнику

Опуклий чотирикутник BCDEBCDE лежить у площині. Прямі EBEB і DCDC перетинаються в точці AA, причому AB=2AB = 2, AC=5AC = 5, AD=200AD = 200, AE=500AE = 500 і cos⁡∠BAC=79\cos \angle BAC = \frac{7}{9}. Яка найбільша кількість кругів, що не перекриваються, які можуть лежати в чотирикутнику BCDEBCDE так, що всі вони дотикаються до обох прямих BEBE і CDCD?
10–11 класиКола, що дотикаються
Відбіркові тести на IMOTST-2010-009

Дотична до кола через перетин діагоналей

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник, діагоналі ACAC і BDBD якого перетинаються в точці EE, а прямі, що містять сторони ADAD і BCBC, перетинаються в точці FF. Середини відрізків ABAB і CDCD позначено через GG і HH відповідно. Доведіть, що пряма EFEF в точці EE дотикається до кола, яке проходить через точки EE, GG і HH.
10–11 класиГомотерія і подібність
Відбіркові тести на IMOTST-2010-007

Рівні хорди з кінця діаметра

Нехай ABAB — діаметр кола kk. Нехай tt — дотична до кола kk у точці BB, а C,DC, D — дві точки на tt, такі, що BB лежить між CC і DD. Прямі ACAC та ADAD перетинають kk ще раз у точках EE та FF відповідно. Прямі DEDE та CFCF перетинають kk ще раз у точках GG та HH відповідно. Доведіть, що відрізки AGAG і AHAH мають однакову довжину.
10–11 класиЦентральні і вписані кути

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.