Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 352 задачі
АлгебраПослідовності і суми
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-056

Нескінченна сума знаків синусів степенів двійки

Означимо sgn⁡(x)\operatorname{sgn}(x) як 11, коли xx додатне, −1-1, коли xx від'ємне, і 00, коли xx дорівнює 00. Обчисліть ∑n=1∞sgn⁡(sin⁡(2n))2n.\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{\operatorname{sgn}(\sin(2^{n}))}{2^{n}}. (Аргументи sin⁡\sin задано в радіанах.)
10–11 класиСистеми числення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-047

Прості числа з періодичним функціональним рівнянням

Нехай Z\mathbb{Z} — множина цілих чисел. Знайдіть із доведенням усі прості числа pp, для яких існує функція f ⁣:Z→Zf\colon \mathbb{Z}\to \mathbb{Z} така, що для будь-якого цілого числа xx, f(x+p)=f(x)f(x + p) = f(x) і pp ділить f(x+f(x))−xf(x + f(x)) - x.
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-020

Квадратичний многочлен плюс геометрична прогресія

Нехай ff — квадратичний многочлен із дійсними коефіцієнтами, а g1g_{1}, g2g_{2}, g3g_{3},... — геометрична прогресія дійсних чисел. Визначимо an=f(n)+gna_{n} = f(n) + g_{n}. Відомо, що a1a_{1}, a2a_{2}, a3a_{3}, a4a_{4} та a5a_{5} дорівнюють 11, 22, 33, 1414 та 1616 відповідно. Обчисліть g2g1\frac{g_{2}}{g_{1}}.
10–11 класиГеометрична прогресія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-027

Факторіальний многочлен за модулем квадрата числа 101

Для будь-якого цілого xx нехай f(x)=100!(1+x+x22!+x33!+⋯+x100100!).f(x) = 100! \left(1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots + \frac{x^{100}}{100!}\right). Натуральне число aa вибрано так, що f(a)−20f(a) - 20 ділиться на 1012101^{2}. Обчисліть остачу від ділення f(a+101)f(a + 101) на 1012101^{2}.
10–11 класиФормула біном Ньютона2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-029

Очікувана кількість синіх діамантів після випадкового процесу

В Ізабелли в мішку 20 синіх діамантів і 25 фіолетових діамантів. Вона повторює такий процес 44 рази: навмання рівномірно виймає з мішка один діамант, а потім кладе в мішок один синій діамант і один фіолетовий діамант. Обчисліть математичне сподівання кількості синіх діамантів у мішку після всіх 44 повторень.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-031

Рекурентна функція з округленням вниз і вгору

Нехай ff — функція з невід'ємних цілих чисел у невід'ємні цілі числа така, що f(0)=0f(0) = 0 і f(m)=f(⌊m2⌋)+⌈m2⌉2f(m) = f\left(\left\lfloor \frac{m}{2} \right\rfloor\right) + \left\lceil \frac{m}{2} \right\rceil^2 для всіх натуральних чисел mm. Обчисліть f(1)1⋅2+f(2)2⋅3+f(3)3⋅4+⋯+f(31)31⋅32.\frac{f(1)}{1 \cdot 2} + \frac{f(2)}{2 \cdot 3} + \frac{f(3)}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{f(31)}{31 \cdot 32}. (Тут ⌊z⌋\lfloor z\rfloor — найбільше ціле число, не більше за zz, а ⌈z⌉\lceil z\rceil — найменше додатне ціле число, не менше за zz.)
10–11 класиСуми послідовностей
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-035

Очікувана кількість перебувань у максимумі замкненого блукання

На координатній площині замкнений ґратчастий цикл довжини 2n2n — це послідовність точок цілочисельної решітки P0,P1,P2,…,P2nP_{0}, P_{1}, P_{2}, \ldots , P_{2n} така, що P0P_{0} і P2nP_{2n} збігаються з початком координат, а PiPi+1=1P_{i}P_{i + 1} = 1 для кожного ii. Замкнений ґратчастий цикл довжини 20262026 вибирають рівномірно навмання серед усіх таких циклів. Нехай kk — найбільше ціле число таке, що пряма ℓ\ell з рівнянням x+y=kx + y = k проходить принаймні через одну точку циклу. Обчисліть математичне сподівання кількості індексів ii таких, що 0≤i≤20250 \leq i \leq 2025 і PiP_{i} лежить на прямій ℓ\ell. (Точка цілочисельної решітки — це точка з цілими координатами.)
10–11 класиВластивості біноміальних коефіціє…
Відбіркові тести на IMOTST-2025-001

Рекурентна послідовність, що дає повні квадрати

Розглянемо послідовність y0,y1,…y_0, y_1, \dots таку, що y0=−14y_0 = -\frac{1}{4} і y1=0y_1 = 0, а крім того yn+1+yn−1=4yn+1y_{n+1} + y_{n-1} = 4y_n + 1 для всіх n≥1n \ge 1. Доведіть, що для всіх n≥0n \ge 0 вираз 2y2n+322y_{2n} + \frac{3}{2} є a) додатним цілим числом, а b) квадратом цілого числа.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Відбіркові тести на IMOTST-2025-014

Спадно зростаюча послідовність і різниці

Будемо казати, що послідовність a1,…,ana_1, \dots, a_n дійсних чисел є спадно зростаючою, якщо для всіх 1<i<n1 < i < n виконується 0<ai+1−ai<ai−ai−10 < a_{i+1} - a_i < a_i - a_{i-1}. Знайдіть для кожного натурального числа mm найменше натуральне число kk, для якого існує спадно зростаюча послідовність довжини kk така, що 1 можна записати принаймні mm різними способами як різницю двох елементів aia_i та aja_j цієї послідовності.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2025-007

Красива послідовність з обмеженням на медіану

Для цілого n≥3n \ge 3 послідовність цілих чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n називається красивою послідовністю, якщо всі наведені нижче умови виконано. 0=a1<a2<⋯<an0 = a_1 < a_2 < \dots < a_n. Існує ціле ii таке, що 1≤i≤n1 \le i \le n і ai=2025a_i = 2025. Для всіх цілих i,j,ki, j, k з 1≤i<j<k≤n1 \le i < j < k \le n виконується нерівність ai+ak2≤aj\frac{a_i + a_k}{2} \le a_j. Нехай NN — максимально можлива довжина красивої послідовності. Для красивих послідовностей a1,a2,…,aNa_1, a_2, \dots, a_N довжини NN визначте найменше можливе значення aNa_N. Тут довжина послідовності цілих чисел x1,x2,…,xlx_1, x_2, \dots, x_l дорівнює ll.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2025-010

Орієнтований граф з вершинами, що еволюціонують

Кластер JMO спочатку складається з п'яти зірок OO, AA, BB, CC і DD. Кожній зірці присвоюється значення, яке називається її важливістю. Важливість OO дорівнює 00, а важливість кожної зі зірок AA, BB, CC і DD дорівнює 11. Крім того, існують односторонні прямі рейси з OO до AA і CC; з AA до BB і DD; з BB до OO; з CC до BB і DD; і з DD до OO, і жодних інших прямих рейсів не існує. Щоб запобігти старінню зірок, Кластер JMO періодично виконує операцію, що складається з такої послідовності дій: (1) Скасувати всі існуючі прямі рейси та знищити всі зірки. (2) Для кожного прямого рейсу ff, скасованого на кроці (1), побудувати нову зірку SfS_f. Потім присвоїти SfS_f важливість, що дорівнює сумі важливостей зірок відправлення та прибуття ff. (3) Для кожної впорядкованої пари (f,f′)(f, f') двох скасованих прямих рейсів, таких, що зірка прибуття ff збігається зі зіркою відправлення f′f', відкрити односторонній прямий рейс з SfS_f до Sf′S_{f'}. Знайдіть суму важливостей зірок, побудованих під час 100-ї операції.
10–11 класиОрієнтовані графи
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2025-003

Сума четвертих степенів з обмеженими змінними

Для яких натуральних чисел nn існує послідовність дійсних чисел (x1,x2,…,xn)(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}) така, що - −2<xi<2-2 < x_{i} < 2 для всіх ii, - x1+x2+x3+⋯+xn=0x_{1} + x_{2} + x_{3} + \dots + x_{n} = 0, а також - x14+x24+x34+⋯+xn4⩾32x_{1}^{4} + x_{2}^{4} + x_{3}^{4} + \dots + x_{n}^{4} \geqslant 32.
10–11 класиЧислові нерівності
Американські математичні змагання 10 (AMC 10)AMC10-2024-007

Циклічний розподіл кульок по контейнерах

Кульки, пронумеровані 1,2,3,…1, 2, 3, \ldots, розкладають у 55 контейнерів, позначених AA, BB, CC, DD та EE, за такою процедурою. Кульку 11 кладуть у контейнер AA, а кульки 22 і 33 — у контейнер BB. Наступні 33 кульки кладуть у контейнер CC, наступні 44 — у контейнер DD і так далі, причому після того, як кульки покладено в контейнер EE, знову переходять до контейнера AA. (Наприклад, кульки з номерами 22,23,…,2822, 23, \ldots, 28 кладуть у контейнер BB на кроці 77 цього процесу.) У який контейнер потрапить кулька 20242024? (A) A (B) B (C) C (D) D (E) E
8–10 класиСуми послідовностей
Американські математичні змагання 10 (AMC 10)AMC10-2024-017

Ітерований процес із діленням та збільшенням

Розглянемо таку операцію. Нехай дано натуральне число nn. Якщо nn кратне 33, то замініть nn на n3\frac{n}{3}. Якщо nn не кратне 33, то замініть nn на n+10n+10. Далі продовжуйте цей процес. Наприклад, починаючи з n=4n=4, ця процедура дає 4→14→24→8→18→6→2→12→…4 \rightarrow 14 \rightarrow 24 \rightarrow 8 \rightarrow 18 \rightarrow 6 \rightarrow 2 \rightarrow 12 \rightarrow \dots. Припустимо, що починаємо з n=100n=100. Яке значення отримаємо, якщо виконати цю операцію рівно 100100 разів? (A) 10 (B) 20 (C) 30 (D) 40 (E) 50
8–10 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Американські математичні змагання 10 (AMC 10)AMC10-2024-020

Мови з попарно різними множинами

На математичне змагання з'їхалися 100 учнів із різних країн. Кожен учень знає однакову кількість мов, причому для кожної пари учнів AA та BB учень AA знає якусь мову, якої не знає учень BB, а учень BB знає якусь мову, якої не знає учень AA. Яка найменша можлива загальна кількість мов, якими володіють усі учні разом? (A) 9 (B) 10 (C) 12 (D) 51 (E) 100
8–10 класиКомбінації
Американські математичні змагання 10 (AMC 10)AMC10-2024-033

Геометрична прогресія з цілими членами

Перші три члени геометричної прогресії — цілі числа aa, 720720 і bb, причому a<720<ba < 720 < b. Чому дорівнює сума цифр найменшого можливого значення bb? (A) 9 (B) 12 (C) 16 (D) 18 (E) 21
8–10 класиГеометрична прогресія
Американські математичні змагання 10 (AMC 10)AMC10-2024-037

Таблиця 5×5 з арифметичними рядками і стовпцями

У таблиці розміру 5×55 \times 5, заповненій цілими числами, числа кожного рядка по порядку та числа кожного стовпця по порядку утворюють арифметичну прогресію довжини 55. Числа в позиціях (5,5)(5, 5), (2,4)(2, 4), (4,3)(4, 3) і (3,1)(3, 1) дорівнюють відповідно 00, 4848, 1616 і 1212. Яке число стоїть у позиції (1,2)(1, 2)? [⋅?⋅⋅⋅⋅⋅⋅48⋅12⋅⋅⋅⋅⋅⋅16⋅⋅⋅⋅⋅⋅0]\begin{bmatrix} \cdot & ? & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & 48 & \cdot \\ 12 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & 16 & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 0 \end{bmatrix}
8–10 класиАрифметична прогресія
Американські математичні змагання 10 (AMC 10)AMC10-2024-040

Сума відношень чисел Фібоначчі

Числа Фібоначчі визначено як F1=1F_1 = 1, F2=1F_2 = 1 і Fn=Fn−1+Fn−2F_n = F_{n-1} + F_{n-2} при n≥3n \ge 3. Чому дорівнює F2F1+F4F2+F6F3+⋯+F20F10?\frac{F_2}{F_1} + \frac{F_4}{F_2} + \frac{F_6}{F_3} + \dots + \frac{F_{20}}{F_{10}}?
8–10 класиЧисла Фібоначі
Американські математичні змагання 12 (AMC 12)AMC12-2024-003

Знакозмінна сума непарних чисел

У наведеному нижче виразі Мелані замінила деякі знаки «плюс» на знаки «мінус»: 1+3+5+7+⋯+97+99.1 + 3 + 5 + 7 + \dots + 97 + 99. Після обчислення нового виразу його значення виявилося від'ємним. Яку найменшу кількість знаків «плюс» Мелані могла замінити на знаки «мінус»? (A) 14 (B) 15 (C) 16 (D) 17 (E) 18
10–11 класиСуми послідовностей
Американські математичні змагання 12 (AMC 12)AMC12-2024-028

Квадратичне рекурентне співвідношення і сума квадратів

Нехай a1=2a_1 = 2, а послідовність (an)(a_n) задовольняє рекурентне співвідношення an−1n−1=an−1+1(n−1)+1\frac{a_n - 1}{n - 1} = \frac{a_{n-1} + 1}{(n-1) + 1} для всіх n≥2n \ge 2. Чому дорівнює найбільше ціле число, що не перевищує ∑n=1100an2?\sum_{n=1}^{100} a_n^2?
10–11 класиСуми послідовностей
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2024-002

Послідовність з умовою на цілу частину

Означимо послідовність із a1=850a_{1}=850 і an+1=an2an−1a_{n+1} = \frac{a_{n}^{2}}{a_{n}-1} для n≥1n \geq 1. Знайдіть усі значення nn, для яких виконується ⌊an⌋=2024\left\lfloor a_{n}\right\rfloor=2024. При цьому ціла частина ⌊a⌋\lfloor a\rfloor дійсного числа aa означає найбільше ціле число, менше або рівне aa.
10–11 класиСуми послідовностей2 розв’язки
Естонська математична олімпіадаESTMO-2024-022

Сума дев’ятих степенів і десятий степінь

Доведіть, що 202310>10⋅(19+29+39+⋯+20229)2023^{10} > 10 \cdot (1^9 + 2^9 + 3^9 + \dots + 2022^9).
10–11 класиФормула біном Ньютона3 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2024-043

Цілочислова послідовність із лічильною властивістю

Нехай cc — невід'ємне ціле число. Знайдіть усі послідовності натуральних чисел a1,a2,…a_{1}, a_{2}, \ldots такі, що для кожного натурального числа nn число ana_{n} дорівнює кількості цілих чисел ii, для яких виконується ai⩽an+1+ca_{i} \leqslant a_{n+1}+c.
8–10 класиПослідовності (інші властивості)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2024-011

Рекурентна послідовність із добутком у знаменнику

Послідовність (an)(a_{n}) задано умовами a1=1a_{1}=1 і an=1n+1a1⋅…⋅an−1a_{n} = \frac{1}{n} + \frac{1}{a_{1} \cdot \ldots \cdot a_{n-1}} Доведіть, що для кожного цілого m⩾3m \geqslant 3 виконується am⩽1a_{m} \leqslant 1.
10–11 класиМетод математичної індукції2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-114

Різниця сум у заповнених таблицях

Нехай aa і bb — натуральні числа. Ізабелла та Відур заповнюють таблицю a×ba \times b. Ізабелла заповнює її числами 1,2,…,ab1,2, \ldots, a b, записуючи числа 1,2,…,b1,2, \ldots, b у перший рядок, b+1,b+2,…,2bb+1, b+2, \ldots, 2 b — у другий рядок і так далі. Відур заповнює її як таблицю множення, записуючи iji j у клітинку в рядку ii і стовпці jj. (Приклади для таблиці 3×43 \times 4 наведено нижче.) | 1 | 2 | 3 | 4 | |:---: |:---: |:---: |:---: | | 5 | 6 | 7 | 8 | | 9 | 10 | 11 | 12 | Таблиця Ізабелли | 1 | 2 | 3 | 4 | |:---: |:---: |:---: |:---: | | 2 | 4 | 6 | 8 | | 3 | 6 | 9 | 12 | Таблиця Відура Ізабелла підсумовує числа у своїй таблиці, а Відур підсумовує числа у своїй таблиці; різниця між цими двома сумами дорівнює 1200. Обчисліть a+ba+b.
10–11 класиМетод оцінок, що веде до малого п…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.