Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

716 задач
ГеометріяВідношення відрізків
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2000-012

Трикутник з висотою, бісектрисою і медіаною

Нехай точки H,K,MH, K, M вибрано на сторонах трикутника ABCA B C так, що AHA H — висота, BKB K — бісектриса, а CMC M — медіана. Позначимо через DD перетин відрізків AHA H і BKB K, а через EE — перетин відрізків HMH M і BKB K. Відомо, що KD=2,DE=1,EB=3K D=2, D E=1, E B=3: (i) доведіть, що відрізок HMH M паралельний стороні ACA C; (ii) доведіть, що AB=ACA B=A C; (iii) доведіть, що AB=BCA B=B C.
9–11 класиОзнаки подібності2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-1999-005

Середини сторін прямокутника і бісектриса кута

Нехай ABCDABCD — прямокутник, а PP — точка на прямій CDCD. MM і NN — середини сторін ADAD і BCBC. Пряма PMPM перетинає ACAC у точці QQ. Доведіть, що пряма MNMN є бісектрисою кута ∠QNP\angle QNP.
10–11 класиТеорема Менелая
Французька математична олімпіадаFRMO-0000-101

Три внутрішні дотичні кола і центр великого кола

Всередині кола Γ\Gamma містяться три кола γ1\gamma_{1}, γ2\gamma_{2} і γ3\gamma_{3}, дотичні до кола Γ\Gamma відповідно в AA, BB і CC, усі різні. Кола γ2\gamma_{2} і γ3\gamma_{3} мають спільну точку KK, яка належить відрізку [BC][BC], кола γ3\gamma_{3} і γ1\gamma_{1} мають спільну точку LL, яка належить відрізку [CA][CA], а кола γ1\gamma_{1} і γ2\gamma_{2} мають спільну точку MM, яка належить відрізку [AB][AB]. Доведіть, що центр кола Γ\Gamma належить колам γ1\gamma_{1}, γ2\gamma_{2} і γ3\gamma_{3}.
9–11 класиДотична кола
Французька математична олімпіадаFRMO-0000-003

Конкурентність прямих у конфігурації з вписаним колом

Нехай ABCABC — трикутник, а ω\omega — його вписане коло. Позначимо через P,Q,RP, Q, R точки дотику кола ω\omega з прямими (BC),(CA)(BC), (CA) та (AB)(AB). Коло, що проходить через BB і CC, дотикається до кола ω\omega в точці XX, коло, що проходить через CC і AA, дотикається до кола ω\omega в точці YY, а коло, що проходить через AA і BB, дотикається до кола ω\omega в точці ZZ. Доведіть, що прямі (PX),(QY)(PX), (QY) та (RZ)(RZ) перетинаються в одній точці.
8–10 класиПроєктивна геометрія
Французька математична олімпіадаFRMO-0000-009

Циклічний чотирикутник з бісектриси та висоти

Нехай ABCABC — трикутник. Позначимо через DD основу бісектриси кута BAC^\widehat{BAC}, а через EE — основу висоти, проведеної з AA. Серединний перпендикуляр до відрізка [AD][AD] перетинає півкола з діаметрами [AB][AB] і [AC][AC], побудовані зовні трикутника ABCABC, у точках XX і YY. Доведіть, що точки X,Y,D,EX, Y, D, E лежать на одному колі.
8–10 класиІнверсія2 розв’язки
Французька математична олімпіадаFRMO-0000-012

Рівнобедрений трикутник за кутовими умовами

Нехай ABCABC — рівнобедрений трикутник з вершиною AA, DD — основа висоти, проведеної з AA, а MM — внутрішня точка трикутника ADCADC така, що кут AMB^\widehat{AMB} тупий і DBM^+DAM^=MCB^\widehat{DBM} + \widehat{DAM} = \widehat{MCB}. Прямі (CM)(CM) і (AD)(AD) перетинаються в PP, а прямі (BM)(BM) і (AD)(AD) перетинаються в QQ. Нехай SS — точка на відрізку [AB][AB], а RR — точка на промені [AM)[AM), яка не лежить на відрізку [AM][AM], такі, що SQB^=DPC^\widehat{SQB} = \widehat{DPC} і MRQ^=2QAM^\widehat{MRQ} = 2\widehat{QAM}. Доведіть, що трикутник QRSQRS рівнобедрений.
8–10 класиЗастосування тригонометрії
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-078

Чотирикутник середин сторін є паралелограмом

Нехай ABCDABCD — чотирикутник, а M,N,P,QM, N, P, Q — середини відрізків [AB][AB], [BC][BC], [CD][CD], [DA][DA] відповідно. Доведіть, що чотирикутник MNPQMNPQ є паралелограмом.
8–10 класиПаралельні прямі і теорема Фалеса
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-064

Рівність відрізків у прямокутному трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник із прямим кутом при вершині BB. Нехай MM — точка перетину медіани, проведеної з BB, з прямою (AC)(AC), а (d)(d) — перпендикуляр до прямої (BC)(BC), що проходить через точку MM. Нехай UU — середина відрізка [AB][AB], VV — середина відрізка [AM][AM], II — точка перетину прямої (UV)(UV) з прямою (d)(d), а JJ — точка перетину прямої (UV)(UV) з прямою (BC)(BC). Доведіть, що AC=IJAC = IJ.
8–10 класиПаралельні прямі і теорема Фалеса
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-103

Трикутник HLM з висотою AH та бісектрисою BL

Нехай ABCABC — трикутник, HH — основа висоти, проведеної з AA, LL — основа бісектриси, проведеної з BB, а MM — середина відрізка [AB][AB]. Припустимо, що в трикутнику HLMHLM виконуються дві властивості: пряма (AH)(AH) — висота, а пряма (BL)(BL) — бісектриса. Доведіть, що пряма (CM)(CM) — медіана.
9–11 класиПаралельні прямі і теорема Фалеса
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-091

Колінеарність у трикутнику з центром описаного кола

Нехай ABCABC — трикутник. Позначимо через DD і EE середини сторін ABAB і ACAC відповідно. Нехай OO — центр описаного кола трикутника ABCABC. Позначимо через KK точку перетину прямих (OE)(OE) і (BC)(BC). Позначимо через LL другу точку перетину прямої (OD)(OD) з описаним колом трикутника OKBOKB. Позначимо через FF ортогональну проєкцію точки AA на пряму (KL)(KL). Доведіть, що точки DD, EE і FF лежать на одній прямій.
8–10 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-040

Колінеарність центра вписаного кола трикутника

Нехай ADEADE — рівнобедрений трикутник з вершиною AA. Нехай ω\omega — коло, дотичне до прямих (AD)(AD) і (AE)(AE) в точках DD і EE. Нехай BB і CC — дві точки за DD і EE на прямих (AD)(AD) і (AE)(AE). Припустимо, що BC>BD+CEBC > BD + CE. Нарешті, нехай FF і GG — дві точки на відрізку [BC][BC] такі, що BD=BFBD = BF і CG=CECG = CE, прямі (DG)(DG) і (FE)(FE) перетинаються в точці KK, а дотична до кола ω\omega, паралельна прямій (BC)(BC) і розташована між точкою AA та прямою (BC)(BC), дотикається до кола ω\omega в точці LL. Доведіть, що центр вписаного кола трикутника ABCABC лежить на прямій (KL)(KL).
10–11 класиПроєктивна геометрія
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-096

Дотична до вписаного кола в рівносторонньому трикутнику

Нехай ABCABC — рівносторонній трикутник. Нехай XX — точка прямої (BC)(BC), відмінна від BB і CC. Нехай YY і ZZ — точки на прямих (AB)(AB) і (AC)(AC) такі, що обидві прямі (BZ)(BZ) і (CY)(CY) паралельні прямій (AX)(AX). Пряма (XY)(XY) перетинає пряму (AC)(AC) у точці MM, а пряма (XZ)(XZ) перетинає пряму (AB)(AB) у точці NN. Доведіть, що пряма (MN)(MN) дотикається до вписаного кола трикутника ABCABC.
8–10 класиЗовнівписане коло
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-041

Паралельні прямі на трьох збіжних прямих

Нехай d1d_{1}, d2d_{2}, d3d_{3} — прямі, що перетинаються в одній точці, а A,A′A, A^{\prime} — точки на прямій d1d_{1}, B,B′B, B^{\prime} — точки на прямій d2d_{2}, C,C′C, C^{\prime} — точки на прямій d3d_{3} такі, що прямі (AB)(AB) і (A′B′)(A^{\prime}B^{\prime}) паралельні, а прямі (BC)(BC) і (B′C′)(B^{\prime}C^{\prime}) паралельні. Доведіть, що прямі (AC)(AC) і (A′C′)(A^{\prime}C^{\prime}) паралельні.
10–11 класиПаралельні прямі і теорема Фалеса
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-049

Центр описаного кола AIT на прямій BC

Нехай ABCABC — трикутник, а II — центр його вписаного кола. Перпендикуляр до прямої (AI)(AI), що проходить через точку II, перетинає пряму (AB)(AB) у точці DD і пряму (AC)(AC) у точці EE. Припустимо, що існують дві точки FF і GG на відрізку [BC][BC] такі, що BA=BFBA = BF і CA=CGCA = CG. Нехай TT — точка перетину описаних кіл трикутників ADFADF і AEGAEG. Доведіть, що центр описаного кола трикутника AITAIT лежить на прямій (BC)(BC).
10–11 класиТеорема Менелая
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-062

Конкурентність у конфігурації з вписаним колом

Нехай ABCABC — трикутник, а ω\omega — його вписане коло, точки дотику якого зі сторонами [BC][BC], [CA][CA] і [AB][AB] — відповідно DD, EE і FF. Позначимо через Ω\Omega коло, дотичне до кола ω\omega і таке, що проходить через BB і CC, а через TT — точку дотику цих двох кіл. Позначимо через XX і YY середини відрізків [DE][DE] і [DF][DF]. Позначимо через UU і VV другі точки перетину прямих (TX)(TX) і (TY)(TY) з колом Ω\Omega. Позначимо також через ZZ і WW другі точки перетину прямих (AB)(AB) і (AC)(AC) з колом Ω\Omega. Доведіть, що прямі (ZU)(ZU), (WV)(WV), (XY)(XY) і бісектриса кута BAC^\widehat{BAC} перетинаються в одній точці.
10–11 класиКола, що дотикаються
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-051

Перетин прямих на описаному колі

Нехай ABCABC — трикутник, OO — центр його описаного кола. Нехай II — центр вписаного кола трикутника ABCABC, а DD — точка дотику цього кола з відрізком [AC][AC]. Прямі (OI)(OI) і (AB)(AB) перетинаються в точці PP. Нехай MM — середина дуги ACAC, що не містить BB, а NN — середина дуги BCBC, що містить AA. Доведіть, що прямі (MD)(MD) і (NP)(NP) перетинаються на описаному колі трикутника ABCABC.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Італійська математична олімпіадаITAMO-0000-002

Проєкції на бісектриси кутів

Нехай ABCABC — трикутник, а DD і EE — проєкції точки AA на бісектриси, що виходять з BB і CC. Доведіть, що пряма DEDE паралельна BCBC.
10–11 класиПаралельні прямі і теорема Фалеса3 розв’язки
Італійська математична олімпіадаITAMO-0000-013

Вписаний чотирикутник, побудований за центроїдом

Нехай ABCABC — трикутник з центроїдом GG. Нехай D≠AD \neq A — точка на прямій AGAG така, що AG=GDAG = GD, і нехай E≠BE \neq B — точка на прямій GBGB така, що GB=GEGB = GE. Нехай, нарешті, MM — середина сторони ABAB. Доведіть, що чотирикутник BMCDBMC D є вписаним у коло тоді й лише тоді, коли BA=BEBA = BE.
10–11 класиТочка перетину медіан
Інші змаганняMISC-0000-171

Знаходження скарбу геометричною побудовою

Пірат вирішив закопати скарб на острові. Для цього він пройшов від дерева AA до скелі R1R_{1}, а потім ту саму відстань у тому самому напрямку до точки XX. Те саме він зробив відносно входу до печери CC та відносно скелі R2R_{2}, діставшись точок YY і ZZ відповідно. Скарб він закопав у точці TT — середині відрізка AZAZ. Рисунок 54.1 Повернувшись на острів, щоб відкопати скарб, пірат знайшов скелі та печеру, але не знайшов дерева. Як пірат може знайти скарб?
8–9 класиПаралельні прямі і теорема Фалеса
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-0000-002

Конкурентні прямі від середин дуг

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник. Нехай MAM_{A}, MBM_{B} та MCM_{C} — середини сторін BCBC, CACA та ABAB відповідно. Нехай MA′M_{A}^{\prime}, MB′M_{B}^{\prime} та MC′M_{C}^{\prime} — середини менших дуг BCBC, CACA та ABAB на описаному колі трикутника ABCABC відповідно. Нехай PAP_{A} — перетин прямої MBMCM_{B}M_{C} та перпендикуляра до прямої MB′MC′M_{B}^{\prime}M_{C}^{\prime}, проведеного через AA. Точки PBP_{B} та PCP_{C} означено аналогічно. Доведіть, що прямі MAPAM_{A}P_{A}, MBPBM_{B}P_{B} та MCPCM_{C}P_{C} перетинаються в одній точці.
10–11 класиТеорема Чеви2 розв’язки
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-0000-007

Вписаний чотирикутник у рівнобічній трапеції

Нехай ABCDABCD — рівнобічна трапеція з AD>BCAD > BC. Нехай XX — точка перетину бісектриси ∠BAC\angle BAC і сторони BCBC. Нехай EE — точка перетину діагоналі DBDB з прямою, паралельною бісектрисі ∠CBD\angle CBD, що проходить через XX, і нехай FF — точка перетину сторони DCDC з прямою, паралельною бісектрисі ∠DCB\angle DCB, що проходить через XX. Доведіть, що AEFDAEFD — вписаний чотирикутник.
10–11 класиОзнаки подібності
Естонська математична олімпіадаESTMO-2025-020

Рівні відрізки при продовженні висоти

У гострокутному трикутнику ABCABC продовження висоти ADAD за точку DD перетинає описане коло в точці EE. Середина відрізка CECE — точка FF. Описані кола трикутників ABCABC і DEFDEF перетинаються в точці G≠EG \neq E. Основа висоти, проведеної з AA до прямої FGFG, — точка PP. Доведіть, що DA=DPDA = DP.
Допоміжне коло (перекидання кутів)3 розв’язки
Естонська математична олімпіадаESTMO-2025-044

Дотичні кола з рівними відрізками січної

Кола ω1\omega_1 і ω2\omega_2 дотикаються в точці KK. Пряма, що проходить через центри кіл, перетинає коло ω1\omega_1 ще раз у точці AA. Пряма, що проходить через точку AA, перетинає коло ω1\omega_1 ще раз у точці BB, а коло ω2\omega_2 — у точках CC і DD, причому точки A,B,C,DA, B, C, D лежать на прямій у вказаному порядку. Відомо, що відрізки ABAB, BCBC і CDCD мають рівні довжини. Знайдіть відношення радіусів кіл ω1\omega_1 і ω2\omega_2.
Центральні і вписані кути2 розв’язки
Математичний гурток БеркліBMC-2022-001

Основи трапеції за середньою лінією та серединами діагоналей

У трапеції середня лінія має довжину 1717, а відстань між серединами діагоналей дорівнює 77. Знайдіть довжини основ.
Паралельні прямі і теорема Фалеса
Математичний гурток БеркліBMC-2022-009

Бісектриса кута і пряма через середини відрізків

Дано одиничні відрізки ABA B і CDC D такі, що AB∦CDA B \nparallel C D. Якщо MM — середина відрізка ACA C, NN — середина відрізка BDB D, а XX — перетин прямих ABA B і CDC D, причому M≠NM \neq N і A≠X≠CA \neq X \neq C, доведіть, що бісектриса кута ∠AXC\angle A X C або паралельна, або перпендикулярна до прямої MNM N.
Паралельні прямі і теорема Фалеса

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.