Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 140 задач
ГеометріяВизначні точки та лінії трикутника
Середньоєвропейська математична олімпіада (MEMO)MEMO-2018-009

Паралелограм з основою висоти, ортоцентром і серединою

Нехай точка DD — основа висоти, проведеної з вершини AA в гострокутному трикутнику ABCABC, у якому AB<ACAB < AC. Точки B′B' і C′C' лежать на променях ABAB і ACAC відповідно так, що точки B′B', C′C' і DD колінеарні, а точки BB, CC, B′B' і C′C' лежать на одному колі із центром у точці OO. Доведіть, що коли точка MM — середина сторони BCBC, а точка HH — ортоцентр трикутника ABCABC, то чотирикутник DHMODHMO — паралелограм.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2018-006

Дотичні з точок кола і описане коло трикутника

Зафіксуємо коло Γ\Gamma, пряму ll, що дотикається до кола Γ\Gamma, і ще одне коло Ω\Omega, яке не має спільних точок із прямою ll, причому кола Γ\Gamma і Ω\Omega лежать по різні боки від ll. Дотичні до кола Γ\Gamma, проведені зі змінної точки XX, що лежить на колі Ω\Omega, перетинають пряму ll у точках YY та ZZ. Доведіть, що коли точка XX пробігає коло Ω\Omega, то описане коло трикутника XYZXYZ дотикається до двох фіксованих кіл.
10–11 класиІнверсія
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2017-001

Вписаний чотирикутник із середин

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник з ∠DAB=∠BCD=90∘\angle DAB = \angle BCD = 90^{\circ} та ∠ABC>∠CDA\angle ABC > \angle CDA. Нехай QQ і RR — точки на відрізках BCBC і CDCD відповідно, такі, що пряма QRQR перетинає прямі ABAB і ADAD у точках PP і SS відповідно. Відомо, що PQ=RSPQ = RS. Нехай MM — середина діагоналі BDBD, а NN — середина відрізка QRQR. Доведіть, що M,N,AM, N, A і CC лежать на одному колі.
10–11 класиОписане коло3 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-008

Дотичні та інцентри в описаному чотирикутнику

Опуклий чотирикутник ABCDABCD має вписане коло з центром II. Нехай IaI_{a}, IbI_{b}, IcI_{c} і IdI_{d} — інцентри трикутників DABDAB, ABCABC, BCDBCD і CDACDA відповідно. Припустимо, що спільні зовнішні дотичні до кіл AIbIdA I_{b} I_{d} і CIbIdC I_{b} I_{d} перетинаються в точці XX, а спільні зовнішні дотичні до кіл BIaIcB I_{a} I_{c} і DIaIcD I_{a} I_{c} перетинаються в точці YY. Доведіть, що ∠XIY=90∘\angle X I Y = 90^{\circ}.
10–11 класиГомотерія і подібність
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2016-012

Колінеарність із побудови за інцентром трикутника

Нехай ABCABC — трикутник, а DD і EE — точки на прямих CACA і BABA такі, що CD=ABCD = AB, BE=ACBE = AC, а AA, DD і EE лежать по один бік від прямої BCBC. Нехай II — інцентр трикутника ABCABC, а HH — така точка, що II є ортоцентром трикутника BCHBCH. Доведіть, що DD, EE і HH лежать на одній прямій.
10–11 класиЗовнівписане коло
Шорт-лист IMOIMOSL-2016-003

Конкурентність прямих у рівнобедреній п'ятикутній конструкції

В опуклому п'ятикутнику ABCDEA B C D E нехай FF — точка на діагоналі ACA C така, що ∠FBC=90∘\angle F B C = 90^{\circ}. Припустимо, що трикутники ABFA B F, ACDA C D і ADEA D E — подібні рівнобедрені трикутники, причому ∠FAB=∠FBA=∠DAC=∠DCA=∠EAD=∠EDA.\angle F A B = \angle F B A = \angle D A C = \angle D C A = \angle E A D = \angle E D A. Нехай MM — середина відрізка CFC F. Точку XX вибрано так, що AMXEA M X E — паралелограм. Доведіть, що прямі BDB D, EME M і FXF X перетинаються в одній точці.
10–11 класиПоворотна гомотетія3 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2016-004

Перетин на описаному колі через перпендикуляри

Нехай ABCABC — трикутник з описаним колом Γ\Gamma та інцентром II. Нехай MM — середина сторони BCBC. Позначимо через DD основу перпендикуляра з II на сторону BCBC. Пряма через II, перпендикулярна до прямої AIAI, перетинає сторони ABAB і ACAC у точках FF та EE відповідно. Припустімо, що описане коло трикутника AEFAEF перетинає Γ\Gamma у точці XX, відмінній від AA. Доведіть, що прямі XDXD і AMAM перетинаються на колі Γ\Gamma.
10–11 класиПоворотна гомотетія2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2016-005

Центр описаного кола рівновіддалений від основи висоти і середини

Нехай DD — основа перпендикуляра з AA на пряму Ейлера (пряму, що проходить через центр описаного кола та ортоцентр) гострокутного різностороннього трикутника ABCA B C. Коло ω\omega з центром SS проходить через AA і DD, і воно перетинає сторони ABA B і ACA C у точках XX і YY відповідно. Нехай PP — основа висоти з AA на сторону BCB C, а MM — середина сторони BCB C. Доведіть, що центр описаного кола трикутника XSYX S Y рівновіддалений від PP і MM.
10–11 класиПоворотна гомотетія2 розв’язки
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2015-001

Основа висоти, бісектриса і дотична до кола

Нехай точка DD — основа висоти, проведеної з вершини CC гострокутного трикутника ABCABC. Бісектриса кута ABCABC перетинає пряму CDCD у точці EE і вдруге перетинає описане коло ω\omega трикутника ADEADE у точці FF. Доведіть, що пряма CFCF дотикається до кола ω\omega, якщо відомо, що ∠ADF=45∘\angle ADF = 45^\circ.
10–11 класиДотична кола
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2015-006

Умова рівності відрізків HG і GP' у трикутнику

Нехай HH — ортоцентр, а GG — центроїд гострокутного трикутника ABCABC (AB≠AC)(AB \ne AC). Пряма AGAG перетинає описане коло трикутника ABCABC у точках AA та PP. Нехай точка P′P' симетрична точці PP відносно прямої BCBC. Доведіть, що ∠CAB=60∘\angle CAB = 60^\circ тоді і лише тоді, коли HG=GP′HG = GP'.
10–11 класиСиметрія
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2015-003

Описані кола трикутників KQH і FKM

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, у якому AB>ACAB > AC, Γ\Gamma — описане коло, а точка HH — ортоцентр цього трикутника. Нехай точка FF — основа висоти, що проведена з вершини AA, а точка MM — середина сторони BCBC. Нехай QQ — точка на колі Γ\Gamma така, що ∠HQA=90∘\angle HQA = 90^\circ, KK — точка на колі Γ\Gamma така, що ∠HKQ=90∘\angle HKQ = 90^\circ. Нехай точки AA, BB, CC, KK та QQ різні та лежать на колі Γ\Gamma у наведеному порядку. Доведіть, що описані кола трикутників KQHKQH та FKMFKM дотикаються одне до одного.
10–11 класиКола, що дотикаються
Шорт-лист IMOIMOSL-2015-003

Ортоцентр трикутника, паралелограм і коло GCI

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з ортоцентром HH. Нехай GG — точка, така, що чотирикутник ABGHABGH — паралелограм. Нехай II — точка на прямій GHGH така, що ACAC ділить навпіл відрізок HIHI. Припустімо, що пряма ACAC перетинає описане коло трикутника GCIGCI в точках CC і JJ. Доведіть, що IJ=AHIJ = AH. (Австралія)
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2015-001

Колінеарність з бісектрис і вписаного кола

Нехай ABCABC — трикутник, а Γ\Gamma — коло з діаметром ABAB. Бісектриси кутів ∠BAC\angle BAC та ∠ABC\angle ABC перетинають Γ\Gamma (також) у точках DD та EE відповідно. Вписане коло трикутника ABCABC дотикається до сторін BCBC та ACAC у точках FF та GG відповідно. Доведіть, що D,E,FD, E, F і GG лежать на одній прямій.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2015-004

Центр описаного кола трикутника AJbJc на бісектрисі

Вписане коло трикутника ABCABC дотикається до сторони BCBC у точці DD. Нехай JbJ_b та JcJ_c — центри вписаних кіл трикутників ABDABD та ACDACD відповідно. Доведіть, що центр описаного кола трикутника AJbJcAJ_bJ_c лежить на бісектрисі кута BACBAC.
10–11 класиВписане коло
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2014-002

Інцентр, ортоцентр і середина дуги BAC

На сторонах ABAB та ACAC трикутника ABCABC позначено відмінні від вершин точки DD та EE відповідно так, що DB=BC=CEDB = BC = CE. Прямі CDCD і BEBE перетинаються в точці FF. Доведіть, що інцентр II трикутника ABCABC, ортоцентр HH трикутника DEFDEF і середина MM дуги BACBAC описаного кола трикутника ABCABC лежать на одній прямій.
10–11 класиРадикальна вісь
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2014-003

Чотирикутник з двома прямими кутами та дотична до кола

Дано опуклий чотирикутник ABCDABCD, у якому ∠ABC=∠CDA=90∘\angle ABC = \angle CDA = 90^\circ. Точка HH — основа перпендикуляра, опущеного з точки AA на пряму BDBD. Точки SS і TT вибрали на відрізках ABAB і ADAD відповідно таким чином, що точка HH знаходиться всередині трикутника SCTSCT і виконуються рівності ∠CHS−∠CSB=90∘,∠THC−∠DTC=90∘.\angle CHS - \angle CSB = 90^\circ, \quad \angle THC - \angle DTC = 90^\circ. Доведіть, що пряма BDBD дотикається до кола, описаного навколо трикутника TSHTSH.
10–11 класиІнверсія
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2013-014

Відстань до ексцентра та нерівність для точки

Трикутник ABCABC задовольняє AB<ACAB < AC. Нехай II — центр зовнівписаного кола, яке дотикається до сторони ACAC. Точка PP лежить усередині кута BACBAC, але поза трикутником ABCABC і задовольняє ∠CPB=∠PBA+∠ACP\angle CPB = \angle PBA + \angle ACP. Доведіть, що AP≤AIAP \le AI.
10–11 класиТеорема про тризуб
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2013-016

Дотичні до вписаних кіл перетинаються на стороні трикутника

DD — точка всередині трикутника ABCABC. Коло S1S_1, вписане в трикутник ABDABD, дотикається до кола S2S_2, вписаного в трикутник CBDCBD. Доведіть, що точка перетину зовнішніх спільних дотичних до кіл S1S_1 і S2S_2 лежить на прямій ACAC.
10–11 класиВписане коло
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2013-017

Місце інцентрів, дотичне до фіксованого кола

AA і BB — точки на даному колі. Точки CC і DD рухаються по колу так, що CC і DD лежать з одного боку від прямої ABAB, а довжина відрізка CDCD не змінюється. I1I_1 і I2I_2 — інцентри трикутників ABCABC і ABDABD. Доведіть, що існує коло таке, що в кожний момент пряма I1I2I_1I_2 дотикається до цього кола.
10–11 класиТеорема про тризуб
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2013-021

Сума відношень відрізків чевіан, що перетинаються

Нехай ABCABC — трикутник, а XX, YY, ZZ — точки на сторонах BCBC, CACA, ABAB відповідно. Припустімо, що відрізки AXAX, BYBY і CZCZ перетинаються в точці PP. Доведіть, що APAX+BPBY+CPCZ=2.\frac{AP}{AX} + \frac{BP}{BY} + \frac{CP}{CZ} = 2.
10–11 класиПаралельні прямі і теорема Фалеса
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2013-003

Точки дотику зовнівписаних кіл і описані кола

Нехай зовнівписане коло трикутника ABCABC, що лежить навпроти вершини AA, дотикається до сторони BCBC у точці A1A_1. Точки B1B_1 на стороні ACAC і C1C_1 на стороні ABAB визначаються аналогічним чином з використанням зовнівписаних кіл, що лежать навпроти вершин BB і CC відповідно. Відомо, що центр описаного кола трикутника A1B1C1A_1B_1C_1 лежить на колі, описаному навколо трикутника ABCABC. Доведіть, що трикутник ABCABC прямокутний.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2013-004

Відбиття на одному колі і висота трикутника

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а HH — точка в його внутрішності. Нехай відбиття точки HH відносно сторін ABAB і ACAC позначено HcH_{c} і HbH_{b} відповідно, а відбиття точки HH відносно середин цих самих сторін позначено Hc′H_{c}^{\prime} і Hb′H_{b}^{\prime} відповідно. Доведіть, що чотири точки Hb,Hb′,HcH_{b}, H_{b}^{\prime}, H_{c} і Hc′H_{c}^{\prime} лежать на одному колі тоді й лише тоді, коли принаймні дві з них збігаються або HH лежить на висоті з AA в трикутнику ABCABC.
10–11 класиГомотерія і подібність
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2012-007

Точка перетину прямих KH, EM і BC

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, Γ\Gamma — коло, описане навколо трикутника ABCABC, HH — точка перетину висот трикутника. Нехай KK — деяка точка на колі Γ\Gamma, що лежить з іншого боку від AA відносно BCBC. Точка LL симетрична до KK відносно прямої ABAB, а точка MM симетрична до KK відносно прямої BCBC. Хай також EE — друга точка перетину кола Γ\Gamma з описаним колом трикутника BLMBLM. Доведіть, що прямі KHKH, EMEM та BCBC перетинаються в одній точці.
10–11 класиСиметрія
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2012-001

Точки дотику зовнівписаного кола та перетини на BC

Нехай точка JJ — центр зовнівписаного кола трикутника ABCABC, яке дотикається до сторони BCBC трикутника. Позначимо точку дотику кола до сторони BCBC через MM, а до прямих ABAB та ACAC — через KK та LL відповідно. Прямі LMLM і BJBJ перетинаються в точці FF, а прямі KMKM і CJCJ перетинаються в точці GG. Нехай SS — точка перетину прямих AFAF та BCBC, а TT — точка перетину прямих AGAG та BCBC. Доведіть, що точка MM ділить відрізок STST навпіл.
10–11 класиЗовнівписане коло
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-006

Описані чотирикутники з паралельними сторонами

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник з непаралельними сторонами BCBC і ADAD. Припустимо, що існує точка EE на стороні BCBC така, що чотирикутники ABEDABED і AECDAECD є описаними. Доведіть, що існує точка FF на стороні ADAD така, що чотирикутники ABCFABCF і BCDFBCDF є описаними, тоді й лише тоді, коли сторона ABAB паралельна стороні CDCD.
10–11 класиВписане коло

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.