Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

7 222 задачі
Комбінаторика
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-051

Розфарбування рівновіддалених точок без одноколірних трійок

Нехай n≥3n \geq 3 — натуральне число. На прямій позначено nn точок P1,P2,P3,…,PnP_{1}, P_{2}, P_{3}, \ldots, P_{n} у цьому порядку на однакових відстанях одна від одної. Далі кожну з точок треба пофарбувати в синій або червоний колір так, щоб не існувало трьох точок Px,Px+y2P_{x}, P_{\frac{x+y}{2}} і PyP_{y} одного кольору, причому x+yx+y парне. a. Покажіть, що для n=8n=8 існує спосіб пофарбувати точки P1,P2,…,P8P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{8} так, щоб задана умова виконувалася. b. Покажіть, що будь-яке фарбування для n=9n=9 не задовольняє задану умову.
Оптимальна конструкція (оцінка і…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-002

Тури на шаховій дошці, що не б'ють одна одну

Шахова дошка — це квадрат 8×88 \times 8, у якому клітинки розподілені у 8 рядків і 8 стовпців. Тура на шаховій дошці б'є всі фігури, які стоять з нею в одному рядку або в одному стовпці. Знаючи це, визначте: а) Яке найбільше число тур можна поставити на шахову дошку так, щоб жодні дві не били одна одну? б) Яке найбільше число тур можна поставити на шахову дошку так, щоб кожна тура перебувала під боєм не більше ніж однієї з інших тур?
Оптимальна конструкція (оцінка і…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-015

Покриття дошки 6×6 L-триміно

Фігурки нижче називаються LL-триміно. Цими фігурками повністю покривають дошку 6×66 \times 6. У такому покритті кожне LL-триміно покриває рівно 3 клітинки дошки 6×66 \times 6, і жодна клітинка не покрита більше ніж одним LL-триміно. а) Скільки LL-триміно використано для покриття дошки 6×66 \times 6? б) У покритті всієї дошки будемо казати, що ряд (рядок або стовпець) перетинає LL-триміно, коли ряд містить принаймні одну з клітинок, покритих цим LL-триміно. Якби існувало покриття дошки 6×66 \times 6, у якому кожен ряд перетинав би рівно однакову кількість L-триміно, то якою була б ця кількість? в) Доведіть, що не існує покриття дошки 6×66 \times 6 LL-триміно, у якому кожен ряд перетинає однакову кількість LL-триміно.
Підрахунок двома способами
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-013

Група гостей свята, що не дарували подарунків одне одному

На святі присутні 2017 людей. У певний момент кожна з них дарує подарунок іншому гостю (можливо, що один гість отримає більше одного подарунка). Покажіть, що можна знайти групу з 673 людей на святі так, щоб жодні двоє з них не дарували подарунків одне одному.
Орієнтовані графи
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-049

Сума третього стовпця на дошці 5×5

Кожне з чисел 1,2,3,…,251,2,3, \ldots, 25 розміщено в одній з клітин дошки 5×55 \times 5. У кожному рядку вони йдуть у порядку зростання зліва направо. Знайдіть найбільше та найменше можливі значення суми чисел третього стовпця.
Оптимальна конструкція (оцінка і…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-005

Спільний дідусь або бабуся серед дітей

На святі є 25 дітей. Відомо, що будь-які двоє з них мають принаймні одного спільного дідуся чи бабусю (діда або бабу). Поясніть, чому принаймні 17 дітей мають або одного й того самого діда, або одну й ту саму бабу в цій родині.
Принцип Діріхле (скінченні множин…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-010

Вибір різнокольорових намистин із коробок

Є 2m2m намистин mm різних кольорів, по дві кожного кольору. Ці намистини розкладено в mm коробок, по дві в кожній коробці, так, що можна вибрати по одній намистині з кожної з них і отримати набір із mm намистин різних кольорів. Доведіть, що кількість способів зробити такий вибір обов'язково є степенем двійки.
Зв’язність
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-018

Розбиття натуральних чисел з нескінченним класом

Розбиттям множини натуральних чисел називається набір множин A1,A2,…,AkA_{1}, A_{2}, \ldots, A_{k} такий, що кожне натуральне число належить рівно одній з них. Зауважимо, що в будь-якому розбитті множини натуральних чисел принаймні одна з цих множин є нескінченною, бо інакше множина натуральних чисел була б об'єднанням скінченної кількості скінченних множин і була б, отже, скінченною. Приклад розбиття множини натуральних чисел: за A1A_{1} взяти множину всіх парних натуральних чисел, а за A2A_{2} — множину всіх непарних натуральних чисел. Існує багато можливих розбиттів, і наступні два пункти є загальними фактами, які можна перевірити для будь-якого з цих розбиттів. a) Поясніть, чому для кожного фіксованого додатного цілого xx завжди існує якась із множин AiA_{i} з нескінченною кількістю кратних xx. b) За попереднім пунктом, для даних двох додатних цілих pp і qq існує одна з множин розбиття з нескінченною кількістю кратних pp та інша множина, що містить нескінченну кількість кратних qq. Однак ці дві множини не обов'язково мають збігатися. Покажіть тепер, що завжди якась із цих множин AiA_{i} містить нескінченну кількість кратних будь-якого додатного цілого.
Принцип Діріхле (інші випадки)
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2016-003

Паралелограми з фігур на шаховій дошці

Для n>1n > 1 розглянемо шахову дошку розміром n×nn \times n і розставимо фігури в центрах різних клітинок. a. Якщо на дошці стоїть 2n2n фігур, доведіть, що серед них знайдеться 4 фігури, які є вершинами паралелограма. b. Доведіть, що можна розставити (2n−1)(2n-1) фігур так, щоб жодні 4 з них не утворювали вершин паралелограма.
Принцип Діріхле (скінченні множин…
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2016-004

Знаки перед кубами для суми 20162016

Знайдіть натуральне число NN та числа a1,a2,…,aNa_{1}, a_{2}, \ldots, a_{N}, де ak=1a_{k}=1 або ak=−1a_{k}=-1 для кожного k=1,2,…,Nk=1,2, \ldots, N, такі, що a1⋅13+a2⋅23+a3⋅33+⋯+aN⋅N3=20162016,a_{1} \cdot 1^{3}+a_{2} \cdot 2^{3}+a_{3} \cdot 3^{3}+\cdots+a_{N} \cdot N^{3}=20162016, або доведіть, що це неможливо.
Конструкція через періодичність
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2016-005

Найбільша кількість видимих порядків вершин n-кутника

Вершини фіксованого опуклого (але не обов'язково правильного) nn-кутника позначено різними літерами. Якщо спостерігач стоїть у точці площини многокутника поза межами многокутника, то він бачить літери в певному порядку зліва направо, і вони складають «слово» (тобто рядок літер; це не обов'язково має бути слово якоюсь мовою). Наприклад, на діаграмі нижче (де n=4n=4) спостерігач у точці XX прочитає «BAMO», а спостерігач у точці YY прочитає «MOAB». Знайдіть, у вигляді формули від nn, найбільшу кількість різних nn-літерних слів, які можна прочитати таким чином з одного nn-кутника. Не враховуйте слова, у яких якоїсь літери бракує через те, що з позиції спостерігача вона розташована точно за іншою літерою.
Дискретні набори точок та прямих…
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2016-006

Прямокутник, замощений заданими квадратами

Наведена нижче схема — приклад прямокутника, замощеного квадратами: Кожен квадрат позначено довжиною його сторони. Квадрати заповнюють прямокутник без перекриттів. Аналогічним чином прямокутник можна замостити дев'ятьма квадратами, довжини сторін яких дорівнюють 22, 55, 77, 99, 1616, 2525, 2828, 3333 і 3636. Накресліть можливе розташування цих квадратів. Вони мають заповнювати прямокутник без перекриттів. Позначте кожен квадрат на своєму рисунку довжиною його сторони, як на малюнку вище.
Розрізання, покриття та замощення
Математичний гурток БеркліBMC-2016-003

Ймовірність збігу червоних шкарпеток

У Віктора в шухляді лежать чотири червоні шкарпетки, дві сині шкарпетки та дві зелені шкарпетки. Він навмання витягує дві шкарпетки з шухляди й з радістю бачить, що вони утворюють пару однакового кольору. Яка ймовірність того, що ця пара червона?
Комбінації
Математичний гурток БеркліBMC-2016-005

Стрибки жабки до простого числа

Жабка Келвін стрибає вздовж числової прямої, починаючи з 00. Щоразу він стрибає на одиницю ліворуч або на одиницю праворуч. Наприклад, одна з послідовностей стрибків може бути такою: 0→−1→0→1→2→3→20 \rightarrow -1 \rightarrow 0 \rightarrow 1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 2. Скількома способами Келвін може зробити рівно 1010 стрибків і опинитися на простому числі? (Прості числа — це послідовність 2,3,5,7,…2, 3, 5, 7, \ldots Від'ємні числа простими не вважаються.)
Парність і непарність
Математичний гурток БеркліBMC-2016-006

Стратегія вгадування переважної масті

У стандартній колоді з 52 карт є по 13 карт кожної з чотирьох мастей. Кевін називає масть верхньої карти, після чого верхню карту відкривають і відкладають. Цей процес триває, доки не закінчаться карти. Якщо Кевін завжди називає масть, карт якої залишилося найбільше (у разі рівності обираючи довільно), доведіть, що він вгадає принаймні 13 разів.
Жадібний алгоритм
Математичний гурток БеркліBMC-2016-009

Коло з дугами з додатною сумою

На колі записано 2n2n дійсних чисел із додатною сумою. Для кожного числа існує два набори з nn чисел, для яких це число стоїть на краю. Доведіть, що знайдеться число, для якого суми обох цих наборів додатні.
Двочасткові графи
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2015-004

Розбиття кубів на конгруентні прямокутні паралелепіпеди

Дано nn однакових кубів, кожен розміру 1×1×11 \times 1 \times 1. Ми розкладаємо всі ці nn кубів так, щоб отримати один або кілька конгруентних прямокутних паралелепіпедів; нехай B(n)B(n) — кількість способів це зробити. Наприклад, якщо n=12n=12, то один зі способів — дванадцять кубів 1×1×11 \times 1 \times 1, інший — один паралелепіпед 3×2×23 \times 2 \times 2, інший — три паралелепіпеди 2×2×12 \times 2 \times 1, інший — три паралелепіпеди 4×1×14 \times 1 \times 1 тощо. Скажімо, 2×2×12 \times 2 \times 1 та 1×2×21 \times 2 \times 2 ми не вважаємо різними; ці паралелепіпеди конгруентні. За бажанням можна перевірити, наприклад, що B(12)=11B(12)=11. Знайдіть з доведенням ціле число mm, для якого 10m<B(2015100)<10m+110^{m}<B\left(2015^{100}\right)<10^{m+1}.
Комбінації
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2015-006

Перетини комітетів і трикольорове розфарбування

Члени парламенту беруть участь у різних комітетах. Кожен комітет складається щонайменше з двох людей, і відомо, що будь-які два комітети мають щонайменше одного спільного члена. Доведіть, що можна роздати кожному члену парламенту кольоровий капелюх (капелюхи бувають чорні, білі або червоні) так, щоб у кожному комітеті було щонайменше двоє членів із капелюхами різних кольорів.
Кольорові інваріанти (розфарбуван…
Математичний гурток БеркліBMC-2015-020

Погоня на числовій прямій з невідомим напрямком

Злодій стартує з точки x=0x=0 на числовій прямій і біжить вліво або вправо зі сталою швидкістю. Через годину поліцейський, який рухається вдвічі швидше за злодія, з'являється в точці x=0x=0. Однак поліцейський не знає, у який бік побіг злодій, і не бачить його. Доведіть, що поліцейський усе одно може наздогнати злодія.
Оптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний гурток БеркліBMC-2015-007

Найбільший заробіток при перекладанні каміння

Є три ящики з камінням. Щогодини Сізіф перекладає один камінець з одного ящика в інший. За кожне таке перенесення він отримує від Зевса кількість монет, що дорівнює кількості каміння в ящику, з якого взято камінець, мінус кількість каміння в ящику-отримувачі, причому щойно перенесений камінець не враховується. Якщо це число від'ємне, Сізіф сплачує відповідну суму (а якщо він без грошей, то може заплатити пізніше). Через 1000 років усе каміння знову лежить у своїх початкових ящиках. Яким є найбільший можливий заробіток Сізіфа на цей момент?
Інші інваріанти
Математичний гурток БеркліBMC-2015-017

Ймовірність виживання колонії клітин

Є колонія, що складається зі 100100 клітин. Щохвилини клітина гине з ймовірністю 13\frac{1}{3}; інакше вона ділиться на дві однакові копії. Яка ймовірність того, що колонія ніколи не вимере?
Розбиття на випадки
Математичний гурток БеркліBMC-2015-010

Різнокольорові трикутники у розфарбованому 17-кутнику

Нехай P\mathcal{P} — правильний 1717-кутник; проведено всі (172)\left(\begin{array}{c}17 \\ 2\end{array}\right) діагоналі й сторони P\mathcal{P}, і кожну сторону чи діагональ пофарбовано в один із восьми різних кольорів. Припустімо, що немає трикутника (з вершинами серед вершин P\mathcal{P}), усі три сторони якого мають однаковий колір. Яка найбільша можлива кількість трикутників, усі сторони яких мають різні кольори?
Підрахунок двома способами
Математичний гурток БеркліBMC-2015-011

Функції зі строгою межею на різницю

Нехай X={1,2,…,100}X=\{1,2, \ldots, 100\}. Скільки функцій f:X→Xf: X \rightarrow X задовольняють f(b)<f(a)+(b−a)f(b)<f(a)+(b-a) для всіх 1≤a<b≤1001 \leq a<b \leq 100?
Метод допоміжних функцій: g(x) =…
Математичний гурток БеркліBMC-2015-012

Найбільше середнє квадратів за нульової суми кубів

Знайдіть із доведенням найбільше можливе значення x12+⋯+xn2n\frac{x_{1}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}}{n} де дійсні числа x1,…,xn≥−1x_{1}, \ldots, x_{n} \geq -1 задовольняють x13+⋯+xn3=0x_{1}^{3}+\cdots+x_{n}^{3}=0.
Числові нерівності
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2015-020

Підпослідовності перестановки та недільники

Нехай nn — натуральне число таке, що існує натуральне число, менше за n\sqrt{n}, яке не ділить nn. Нехай (a1,…,an)(a_1, \dots, a_n) — довільна перестановка чисел 1,…,n1, \dots, n. Нехай ai1<⋯<aika_{i_1} < \dots < a_{i_k} — її найдовша зростаюча підпослідовність, а aj1>⋯>ajla_{j_1} > \dots > a_{j_l} — її найдовша спадна підпослідовність. Доведіть, що набори (ai1,…,aik)(a_{i_1}, \dots, a_{i_k}) і (aj1,…,ajl)(a_{j_1}, \dots, a_{j_l}) разом містять принаймні одне число, яке не ділить nn.
Принцип Діріхле (скінченні множин…3 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.