Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

995 задач
ГеометріяГеометричні перетворення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-058

Радіус описаного кола: дотичні кола та відношення

Нехай ω\omega і Γ\Gamma — кола, причому ω\omega внутрішньо дотикається до кола Γ\Gamma у точці PP. Нехай ABAB — хорда кола Γ\Gamma, яка дотикається до кола ω\omega у точці QQ. Нехай R≠PR \neq P — друга точка перетину прямої PQPQ з колом Γ\Gamma. Якщо радіус кола Γ\Gamma дорівнює 1717, радіус кола ω\omega дорівнює 77 і AQBQ=3\frac{AQ}{BQ} = 3, знайдіть радіус описаного кола трикутника AQRAQR.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-061

Відношення відстаней до середин діагоналей у чотирикутнику з вписаним колом

Нехай ABCDABCD — чотирикутник, у який вписано коло ω\omega. Нехай II — центр кола ω\omega, причому IA=12IA = 12, IB=16IB = 16, IC=14IC = 14 і ID=11ID = 11. Нехай MM — середина відрізка ACAC. Обчисліть відношення IMIN\frac{IM}{IN}, де NN — середина відрізка BDBD.
10–11 класиІнверсія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-011

Області, на які симетричні поверхні ділять простір

Розглянемо у тривимірному просторі графік рівняння 0=xyz(x+y)(y+z)(z+x)(x−y)(y−z)(z−x)0 = x y z (x + y)(y + z)(z + x)(x - y)(y - z)(z - x) Цей графік ділить тривимірний простір на NN зв'язних областей. Чому дорівнює NN?
10–11 класиСиметрія
Відбіркові тести на IMOTST-2017-012

П'ятикутник з рівними сторонами та умовами на кути

Нехай ABCDEA B C D E — опуклий п'ятикутник з властивостями AB‾=BC‾=CD‾,∠BAE=∠DCB і ∠EDC=∠CBA.\overline{A B}=\overline{B C}=\overline{C D}, \angle B A E=\angle D C B \text{ і } \angle E D C=\angle C B A . Доведіть, що пряма, проведена через EE перпендикулярно до сторони BCB C, проходить через точку перетину діагоналей ACA C і BDB D.
10–11 класиСиметрія
Відбіркові тести на IMOTST-2017-020

Симетричний інцентру відносно сторони на описаному колі

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AB=AC≠BCAB = AC \neq BC. Нехай далі II — центр вписаного кола трикутника ABCABC. Пряма BIBI перетинає ACAC у точці DD, а перпендикуляр до ACAC, проведений через DD, перетинає AIAI у точці EE. Доведіть, що точка, симетрична точці II відносно прямої ACAC, лежить на описаному колі трикутника BDEBDE.
10–11 класиТеорема про тризуб
Відбіркові тести на IMOTST-2017-022

Дотик зовнівписаного кола до описаного кола

Нехай ABCABC — трикутник. Зовнівписане коло ω\omega, протилежне вершині AA, дотикається до відрізка BC‾\overline{BC}, а також до променів ACAC і ABAB у точках DD, EE та FF відповідно. Описане коло трикутника AEFAEF перетинає пряму BCBC у точках PP і QQ. Нарешті, нехай MM — середина відрізка AD‾\overline{AD}. Доведіть, що коло ω\omega і описане коло трикутника MPQMPQ дотикаються.
10–11 класиІнверсія
Відбіркові тести на IMOTST-2017-042

Геометричне місце центрів подібності трикутників

Нехай B=(−1,0)B = (-1,0) і C=(1,0)C = (1,0) — фіксовані точки координатної площини. Непорожню обмежену підмножину SS площини називають гарною, якщо (i) існує точка T∈ST \in S така, що для кожної точки Q∈SQ \in S відрізок TQTQ цілком міститься в SS; та (ii) для будь-якого трикутника P1P2P3P_1P_2P_3 існує єдина точка A∈SA \in S і перестановка σ\sigma індексів {1,2,3}\{1,2,3\}, для яких трикутники ABCABC і Pσ(1)Pσ(2)Pσ(3)P_{\sigma(1)}P_{\sigma(2)}P_{\sigma(3)} подібні. Доведіть, що існують дві різні гарні підмножини SS і S′S' множини {(x,y):x≥0,y≥0}\{(x,y): x \ge 0, y \ge 0\} такі, що якщо A∈SA \in S і A′∈S′A' \in S' — єдині точки з (ii), то добуток BA⋅BA′BA \cdot BA' є сталою, незалежною від трикутника P1P2P3P_1P_2P_3.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Відбіркові тести на IMOTST-2017-044

Проєкція на спільну дотичну до півкіл

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AB=AC2+BCAB = \frac{AC}{2} + BC. Розглянемо два півкола поза трикутником з діаметрами ABAB і BCBC. Нехай XX — ортогональна проєкція точки AA на спільну дотичну до цих півкіл. Знайдіть ∠CAX\angle CAX.
10–11 класиГомотерія і подібність
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-033

Конгруентні трикутники на зовнішніх квадратах

Розглянемо трикутник ABCABC і квадрати ABDEABDE та ACFGACFG, побудовані назовні на його сторонах. Відрізки BGBG і ECEC перетинаються в точці PP. a) Доведіть, що трикутники BAGBAG і EACEAC конгруентні. b) Оскільки ці два трикутники конгруентні та мають спільну точку AA, ми можемо повернути один із них навколо точки AA, щоб отримати інший. Визначте кут повороту та обчисліть кут ∠BPC\angle BPC.
8–9 класиПоворот
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-038

Братні трикутники, квадрати та поворот

На рисунку нижче зображено трикутник ABCA B C, два квадрати ABDEA B D E і ACFGA C F G, обидва побудовані на сторонах трикутника ABCA B C, та інший трикутник AEGA E G. Будемо казати, що трикутники ABCA B C і AEGA E G, розташовані таким чином відносно двох квадратів, є трикутниками-братами. a. Перевірте, що ∠BAC+∠GAE=180∘\angle B A C+\angle G A E=180^\circ. b. Після перевірки попереднього пункту ми можемо повернути трикутник AEGA E G на 90∘90^\circ проти годинникової стрілки навколо AA, щоб перейти в положення BAG′B A G'. Зазначимо, що BA=AEB A=A E, оскільки це сторони квадрата ABDEA B D E. Виходячи з цього, доведіть, що трикутники-брати ABCA B C і AEGA E G мають однакову площу.
8–9 класиПоворот
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2017-005

Трикутник з дотичною та відстанню між серединами

Нехай ABCABC — трикутник, у якого AC>ABAC > AB. Нехай PP — точка перетину прямої BCBC і дотичної, проведеної через AA, до описаного кола трикутника ABCABC. Нехай QQ — точка на прямій ACAC, така, що виконується AQ=ABAQ = AB і AA лежить між CC і QQ. Нехай XX і YY — середини відрізків BQBQ і APAP відповідно. Нехай RR — точка на відрізку APAP, така, що виконується AR=BPAR = BP і RR лежить між AA і PP. Доведіть, що виконується BR=2XYBR = 2XY.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-123

Відстань між центрами описаних кіл трикутників з ортоцентром

Нехай ABCABC — трикутник з AB=13AB = 13, BC=14BC = 14, CA=15CA = 15. Нехай HH — ортоцентр трикутника ABCABC. Знайдіть відстань між центрами описаних кіл трикутників AHBAHB і AHCAHC.
10–11 класиТочка перетину висот
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-002

Коло через середини та ортоцентр

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з центром описаного кола OO, ортоцентром HH і описаним колом Ω\Omega. Нехай MM — середина відрізка AHAH, а NN — середина відрізка BHBH. Припустимо, що точки M,N,O,HM, N, O, H різні й лежать на колі ω\omega. Доведіть, що кола ω\omega і Ω\Omega дотикаються внутрішнім чином.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-090

Відбиття лазера між дзеркалами під кутом

Мегал грає у гру, що складається з 2016 раундів 1,2,⋯ ,20161,2, \cdots, 2016. У раунді nn два прямокутні двосторонні дзеркала розташовано так, що вони мають спільне ребро, а кут між поверхнями дорівнює 2πn+2\frac{2 \pi}{n+2}. Мегал спрямовує лазер на ці дзеркала, і її результат за раунд — це кількість точок на двох дзеркалах, у яких промінь лазера торкається дзеркала. Який найбільший можливий сумарний результат Мегал після завершення гри?
10–11 класиСиметрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-121

Симетрична система з квадратичними виразами

Нехай aa, bb і cc — додатні дійсні числа такі, що a2+ab+b2=9b2+bc+c2=52c2+ca+a2=49\begin{aligned} a^{2}+a b+b^{2} & =9 \\ b^{2}+b c+c^{2} & =52 \\ c^{2}+c a+a^{2} & =49 \end{aligned} Обчисліть значення 49b2−33bc+9c2a2\frac{49 b^{2}-33 b c+9 c^{2}}{a^{2}}.
10–11 класиІнверсія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-130

Трикутник із центрами напіввписаних кіл

Вписане коло трикутника ABCABC дотикається до сторони BCBC у точці DD. Нехай HH і Γ\Gamma позначають ортоцентр і описане коло △ABC\triangle ABC. BB-напіввписане коло з центром у точці OBO_{B} дотикається до прямих BABA і BCBC та внутрішньо дотикається до кола Γ\Gamma. CC-напіввписане коло з центром у точці OCO_{C} визначено аналогічно. Припустімо, що DH‾⊥OBOC‾\overline{DH} \perp \overline{O_{B}O_{C}}, AB=3AB=\sqrt{3} і AC=2AC=2. Знайдіть довжину сторони BCBC.
10–11 класиРадикальна вісь
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-101

Колінеарність у конфігурації з вписаним колом

Нехай ABCABC — трикутник з інцентром II, вписане коло якого дотикається до BC‾\overline{BC}, CA‾\overline{CA}, AB‾\overline{AB} у точках D,E,FD, E, F. Точка PP лежить на EF‾\overline{EF} так, що DP‾⊥EF‾\overline{DP} \perp \overline{EF}. Промінь BPBP перетинає AC‾\overline{AC} у точці YY, а промінь CPCP перетинає AB‾\overline{AB} у точці ZZ. Точку QQ вибрано на описаному колі △AYZ\triangle AYZ так, що AQ‾⊥BC‾\overline{AQ} \perp \overline{BC}. Доведіть, що P,I,QP, I, Q лежать на одній прямій.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-050

Ланцюжок вписаних кіл і кількість перетинів

Нехай ΔA1B1C\Delta A_{1} B_{1} C — трикутник, у якому ∠A1B1C=90∘\angle A_{1} B_{1} C=90^{\circ} і CA1CB1=5+2\frac{C A_{1}}{C B_{1}}=\sqrt{5}+2. Для довільного i≥2i \geq 2 визначимо AiA_{i} як точку на прямій A1CA_{1} C таку, що AiBi−1⊥A1CA_{i} B_{i-1} \perp A_{1} C, а BiB_{i} визначимо як точку на прямій B1CB_{1} C таку, що AiBi⊥B1CA_{i} B_{i} \perp B_{1} C. Нехай Γ1\Gamma_{1} — вписане коло трикутника ΔA1B1C\Delta A_{1} B_{1} C, а для i≥2,Γii \geq 2, \Gamma_{i} — коло, дотичне до Γi−1,A1C,B1C\Gamma_{i-1}, A_{1} C, B_{1} C, яке менше за Γi−1\Gamma_{i-1}. Скільки існує цілих чисел kk таких, що пряма A1B2016A_{1} B_{2016} перетинає Γk\Gamma_{k}?
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-056

Еліпс через чотири точки з мінімальною площею

Знайдіть найменшу можливу площу еліпса, що проходить через (2,0)(2,0), (0,3)(0,3), (0,7)(0,7) і (6,0)(6,0).
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…
Відбіркові тести на IMOTST-2016-012

Дотик і конкурентність у прямокутному трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник з ∠BCA=90∘\angle BCA = 90^\circ і HH — основа висоти, проведеної з вершини CC. Нехай DD — точка всередині трикутника BCHBCH, така, що CHCH ділить відрізок ADAD навпіл. Нехай PP — точка перетину прямих BDBD і CHCH. Нехай ω\omega — півколо з діаметром BDBD, яке перетинає відрізок CBCB. Дотична, проведена з PP до півкола ω\omega, дотикається до нього в QQ. Доведіть, що точка перетину прямих CQCQ і ADAD лежить на півколі ω\omega.
10–11 класиОсновна властивість бісектриси
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-005

Пряма Сімсона проходить через центроїд

Нехай ABCABC — трикутник. Нехай PP належить описаному колу. Відомо, що проєкції точки PP на (BC)(BC), (CA)(CA) і (AB)(AB) лежать на одній прямій, що називається прямою Сімсона. Припустимо, що ця пряма проходить через точку, діаметрально протилежну точці PP. Доведіть, що вона також проходить через центроїд трикутника ABCABC.
9–11 класиГомотерія і подібність
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-004

Конкурентність прямих при дотику кіл у трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник, а Γ\Gamma — його описане коло. Нехай MM — середина дуги BCBC, яка не містить AA. Коло C\mathscr{C} дотикається до променів [AB),[AC)[AB), [AC) у точках DD і EE відповідно та дотикається зсередини до кола Γ\Gamma у точці FF. Доведіть, що прямі (DE),(BC)(DE), (BC) і (FM)(FM) перетинаються в одній точці.
9–11 класиПроєктивна геометрія
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-013

Чотирикутник зі спільною точкою вписаних кіл

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник. Припустимо, що вписані кола трикутників ABCABC, BCDBCD, CDACDA і DABDAB мають спільну точку. Доведіть, що ABCDABCD — ромб.
8–10 класиВписане коло
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-028

Симетричні точки дотику відносно інцентра і перпендикулярність

Нехай ABCABC — трикутник, D,E,FD, E, F — точки дотику вписаного кола зі сторонами (BC)(BC), (AC)(AC) і (AB)(AB), MM — середина сторони [BC][BC], II — центр вписаного кола трикутника ABCABC. Точки GG і HH симетричні точкам EE і FF відносно II. Позначимо через QQ перетин прямих (BC)(BC) і (GH)(GH). Доведіть, що прямі (IQ)(IQ) і (IM)(IM) перпендикулярні.
9–11 класиПроєктивна геометрія
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-015

Конкурентність прямих у конфігурації з дотичними колами

Два кола ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} дотикаються в точці SS, причому ω1\omega_{1} лежить усередині кола ω2\omega_{2}. Нехай OO — центр кола ω1\omega_{1}. Хорда [AB][AB] кола ω2\omega_{2} дотикається до кола ω1\omega_{1} в точці TT. Доведіть, що пряма (AO)(AO), перпендикуляр до прямої (AB)(AB), який проходить через BB, і перпендикуляр до прямої (ST)(ST), який проходить через SS, перетинаються в одній точці.
8–10 класиТеорема Чеви

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.