Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 192 задачі
КомбінаторикаІнваріанти та напівінваріанти
Міжнародна Жаутиковська олімпіада (IZhO)IZHO-2021-005

Гра з 99 стільцями по колу і найбільше k

На вечірку прийшли 9999 гостей. Двоє ведучих — Ганна та Боб, що не входять до складу гостей, грають у таку гру. По колу розставлено 9999 стільців, і спочатку гості ходять навколо них. Ганна та Боб роблять ходи по черзі, кожним ходом ведучий вибирає гостя, що стоїть, і вказує йому на вільний стілець cc, на який той має сісти. Якщо при цьому принаймні один зі стільців, що є сусіднім до стільця cc, зайнятий, то гість, котрий на ньому сидить, має підвестися. Якщо зайнято обидва стільці, то ведучий вибирає одного з двох гостей, хто має підвестися. Ганна, яка розпочинає гру першою, прагне, щоб після її деякого ходу були зайнятими принаймні kk стільців. При якому найбільшому значенні kk, незалежно від того, як гратиме Боб, вона зможе цього досягти?
10–11 класиНапівінваріанти
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2021-006

Початковий многочлен для отримання (A, B)-хороших многочленів

Неконстантний многочлен S(x)S(x) із дійсними коефіцієнтами записано на дошці. Дозволено вибрати многочлен P(x)P(x), уже записаний на дошці, та дописати довільний многочлен вигляду P(C+x)P(C + x) або C+P(x)C + P(x), де CC — дійсне число. Більше того, можна вибрати довільні два (можливо, однакові) многочлени P(x)P(x) та Q(x)Q(x), уже записані на дошці, та дописати многочлени P(Q(x))P(Q(x)) та P(x)+Q(x)P(x) + Q(x). Многочлени з дошки не прибирають. Дано дві множини дійсних чисел A={a1,a2,…,an}A = \{a_1, a_2, \ldots, a_n\} та B={b1,b2,…,bn}B = \{b_1, b_2, \ldots, b_n\}. Многочлен f(x)f(x) із дійсними коефіцієнтами назвемо (A,B)(A, B)-хорошим, якщо f(A)=Bf(A) = B, де f(A)={f(ai):i=1,n‾}.f(A) = \{f(a_i) : i = \overline{1, n}\}. Знайдіть усі можливі многочлени S(x)S(x), що могли бути записані на дошці спочатку, якщо для довільних скінченних множин дійсних чисел AA та BB, для яких ∣A∣=∣B∣|A| = |B|, можна отримати (A,B)(A, B)-хороший многочлен за скінченну кількість дозволених операцій.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Європейський математичний кубокEMC-2020-003

Покриття дошки n × n фігурками F і Z

Дано фігурки двох типів — FF і ZZ, що зображені на рис. 9.1. Знайдіть усі такі натуральні nn, щоб дошку розміром n×nn \times n, яка складається з n2n^2 одиничних квадратиків, можна було покрити без накладань одна на одну та без виходу за межі дошки цих фігурок, які дозволено повертати та перегортати.
7–10 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Європейський математичний кубокEMC-2020-006

Пари n і k з різними k-мутаціями перестановок

Нехай nn та kk — натуральні числа. Кортеж (a1,a2,…,an)(a_1, a_2, \ldots, a_n) називають перестановкою, якщо кожне число з множини {1,2,…,n}\{1, 2, \ldots, n\} трапляється в ньому рівно один раз. Для перестановки (p1,p2,…,pn)(p_1, p_2, \ldots, p_n) назвемо kk-мутацією такий кортеж (p1+p1+k,p2+p2+k,…,pn+pn+k),(p_1 + p_{1+k}, p_2 + p_{2+k}, \ldots, p_n + p_{n+k}), де індекси пораховано за модулем nn. Знайдіть усі такі пари чисел (n,k)(n, k), для яких кожні дві різні перестановки мають різні kk-мутації. Примітка. Наприклад, якщо (n,k)=(4,2)(n, k) = (4, 2), то 22-мутацією перестановки (1,2,4,3)(1, 2, 4, 3) є кортеж (1+4,2+3,4+1,3+2)=(5,5,5,5)(1 + 4, 2 + 3, 4 + 1, 3 + 2) = (5, 5, 5, 5).
10–11 класиПарність і непарність
Фінальний математичний кубок (FMC)FMC-2020-006

Числа від 1 до 15 і сумарне значення виразів

На аркуші паперу записано числа 1,2,3,…,14,151, 2, 3, \ldots, 14, 15. Андрій і Дарина виконують такі дії: Андрій вибирає на аркуші два довільних числа, наприклад xx і yy, витирає їх і записує суму x+yx + y на цьому аркуші. Водночас Дарина записує значення виразу xy(x+y)xy(x + y) у свій зошит. Вони виконують ці операції, доки на аркуші не залишиться єдине число. Тоді Дарина додає всі числа, що були записані в її зошиті. Позначимо їх суму через kk. а) Доведіть, що значення kk не залежить від порядку виконання операцій. б) Знайдіть значення kk.
10–11 класиІнші інваріанти
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-032

Скорочення рядка з дозволеними вставками

Хакерка замкнена в підземному промисловому комплексі. Перед нею екран комп'ютера, на якому з'являється довге повідомлення довжини 7272, що складається із символів EE, XX, II, TT, по рівно 1818 літер кожного виду в деякому на вигляд випадковому порядку. Повідомленням можна маніпулювати, вставляючи в довільне місце повідомлення будь-яку з комбінацій EXEX, XEXE, ITIT, TITI, IXIXIIXIXI Таку комбінацію можна також стирати, де б вона не траплялася в повідомленні. Хакерка може втекти, коли систему буде зламано, а це відбувається тоді, коли на екрані залишиться лише слово EXIT. Покажіть, що вона може втекти, використавши менше ніж 20192019 операцій.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-011

Ітеративна заміна в послідовності добутків

Нехай m≥2m \ge 2 — натуральне число. Розглянемо 2m2m чисел 1⋅2,2⋅3,3⋅4,…,2m(2m+1).1 \cdot 2, 2 \cdot 3, 3 \cdot 4, \dots, 2m(2m + 1). Хід полягає у виборі трьох чисел a,b,ca, b, c і заміні їх одним числом abcab+bc+ca.\frac{abc}{ab + bc + ca}. Після m−1m-1 таких ходів залишаться лише два числа. Припустивши, що одне з них дорівнює 43\frac{4}{3}, доведіть, що інше перевищує 4.
10–11 класиІнші інваріанти
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2019-006

2019 хорд у колі з числами 0 і 1

У колі Аліна провела 20192019 хорд з попарно різними кінцями. Назвемо точку особливою, якщо для неї виконується одна з умов: - а) вона є однією із 40384038 кінців проведених хорд; - б) вона є точкою перетину щонайменше двох хорд. Поряд з кожною особливою точкою з тих 40384038 точок, що задовольняють умову а), Аліна записує таке число: поряд з якимись 20192019 точками — число 00, поряд з іншими 20192019 точками — число 11. Поряд з точками, що задовольняють умову б), вона записує довільне ціле число (не обов'язково додатне). На кожній хорді Аліна розглядає відрізки, що сполучають дві сусідні особливі точки. Хорда з kk особливими точками має (k−1)(k-1) такий відрізок. Для кожного такого відрізка вона записує жовтим кольором суму чисел, записаних на кінцях цього відрізка, а синім кольором — модуль їхньої різниці. Аліна помітила, що N+1N+1 пораховане жовте число — це точно числа 0,1,…,N0, 1, \ldots, N. Доведіть, що хоча б одне записане синім кольором число ділиться на 33.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2019-001

Гра з відніманням квадратів до нуля на дошці

Аня та Боб грають у таку гру. Спочатку Аня записує на дошці натуральне число. Потім гравці ходять по черзі. Розпочинає Боб. Кожним своїм кроком він вибирає натуральне число bb і замість числа nn, що було записане на цей момент на дошці, записує число n−b2n-b^2. Кожним своїм кроком Аня вибирає натуральне число kk і замість числа nn записує на дошці число nkn^k. Боб виграє, якщо число, записане на дошці, після якогось його кроку дорівнюватиме нулеві. Чи може Аня завадити Бобу виграти?
10–11 класиНапівінваріанти
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2018-023

Парність кроків фіксованої довжини в тривимірній решітці

Нехай nn — натуральне число. Ельфійка Ельфі живе у тривимірному просторі Z3\mathbb{Z}^3. Вона починає з початку координат: (0,0,0)(0,0,0). Кожного ходу вона може телепортуватися в будь-яку точку з Z3\mathbb{Z}^3, що лежить на відстані n\sqrt{n} від її поточного розташування. Однак телепортація — складна процедура. Спочатку Ельфі нормальна, але з першою телепортацією вона стає дивною. Наступного разу, коли вона телепортується, вона знову стає нормальною, потім знову дивною... і т. д. Для яких nn Ельфі може потрапити в будь-яку задану точку з Z3\mathbb{Z}^3 і бути нормальною, коли дістанеться туди?
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2018-028

Перерозподіл монет на круглому столі

Є 20192019 тарілок, розставлених навколо круглого столу, і на кожній з них лежить по одній монеті. Аліса та Боб грають у гру, яка складається з нескінченної кількості раундів. У кожному раунді Аліса спочатку вибирає тарілку, на якій є принаймні одна монета. Потім Боб пересуває одну монету з цієї тарілки на одну з двох сусідніх тарілок, яку обирає він. Визначте, чи може Боб обирати свої ходи так, щоб, незалежно від того, як Аліса обирає свої ходи, на жодній тарілці ніколи не було більше двох монет.
10–11 класиІнші інваріанти2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2018-005

Максимальне розміщення коней, які не атакують один одного

Квіні та Горст грають у гру на шаховій дошці 20×2020 \times 20. На початку дошка порожня. У кожному турі Горст ставить чорного коня на вільну клітинку так, щоб його новий кінь не атакував жодного з попередніх коней. Потім Квіні ставить білого ферзя на вільну клітинку. Гра завершується, коли хтось із гравців не може зробити хід. Знайдіть найбільше додатне KK таке, що незалежно від стратегії Квіні Горст може поставити на дошку щонайменше KK коней.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Шорт-лист IMOIMOSL-2018-003

Суми обернених чисел з підмножин

Для будь-якої множини SS натуральних чисел доведіть, що виконується принаймні одне з двох тверджень: (1) Існують різні скінченні підмножини FF і GG множини SS такі, що ∑x∈F1/x=∑x∈G1/x\sum_{x \in F} 1 / x = \sum_{x \in G} 1 / x; (2) Існує додатне раціональне число r<1r < 1 таке, що ∑x∈F1/x≠r\sum_{x \in F} 1 / x \neq r для всіх скінченних підмножин FF множини SS.
10–11 класиГеометрична прогресія2 розв’язки
Середньоєвропейська математична олімпіада (MEMO)MEMO-2018-002

Дошка 2018 × 2018 з двома вирізами та сходи

Дві фігурки (рис. 9.1), що складаються із 66 та 1010 одиничних квадратиків відповідно, назвемо сходами. Розглянемо дошку розміром 2018×20182018 \times 2018, яка складається з 201822018^2 одиничних квадратиків. Два довільних квадратики з одного рядка вирізали з такої дошки. Доведіть, що дошку, яка утворилася після такого вирізання, не можна розрізати за лініями сітки на сходи, навіть якщо сходи можна повертати.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2017-003

Шлях равлика на прямих з чергуванням поворотів

На площині проведено 20172017 прямих так, що жодні 33 з них не проходять через одну точку. Равлик Турбо може повзти вздовж прямих у такий спосіб: спочатку вона рухається однією з прямих і продовжує рухатись даною прямою, доки не досягне перетину 22 прямих. У точці перетину вона продовжує свою подорож іншою прямою, повертаючи ліворуч або праворуч, чергуючи напрям, який обирає, у кожній точці перетину, через яку проходить. Чи може статися так, що вона вдруге проповзе відрізок прямої, але у протилежному напрямі, ніж першого разу?
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…4 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-010

Мінімальна кількість обмінів для хамелеонів

Нехай nn — натуральне число. Хамелеоном назвемо довільну послідовність із 3n3n літер, у якій кожна з літер aa, bb і cc трапляється рівно nn разів. Обміном назвемо транспозицію двох сусідніх літер у хамелеоні. Доведіть, що для будь-якого хамелеона XX існує хамелеон YY такий, що XX не можна перетворити на YY менш ніж за 3n2/23n^{2}/2 обмінів.
10–11 класиНапівінваріанти2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-009

Дотичні відрізки між колами, що не перетинаються

На дошці намальовано 20172017 попарно зовнішніх кіл, причому жодні два не дотикаються і жодні три не мають спільної дотичної. Дотичним відрізком називається відрізок, який є спільною дотичною до двох кіл і починається в одній точці дотику, а закінчується в іншій. Лучано малює дотичні відрізки на дошці, один за одним, так, щоб жоден дотичний відрізок не перетинав жодних інших кіл чи раніше намальованих дотичних відрізків. Лучано продовжує малювати дотичні відрізки, доки це можливо. Знайдіть усі можливі кількості дотичних відрізків, коли він закінчить малювання.
10–11 класиПланарні графи2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2016-020

Замощення шестикутника одиничними трикутниками

Чи існує шестикутник з довжинами сторін 11, 22, 33, 44, 55, 66 (не обов'язково в такому порядку), який можна замостити a) 3131 b) 3232 рівносторонніми трикутниками зі стороною 11?
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2016-021

Вирівнювання рахунків телефонними дзвінками

Мобільний оператор має nn клієнтів і проводить таку рекламну кампанію. На початку він зараховує 11 € на рахунок кожного клієнта. Коли двоє людей, які мають на рахунках aa € і bb €, спілкуються телефоном, оператор прирівнює обидва рахунки до (a+b)(a + b) €. Виявляється, що після h(m)h(m) телефонних дзвінків рахунки всіх nn клієнтів стали дорівнювати mm €. Доведіть, що h(m)≤12nlog⁡2mh(m) \le \frac{1}{2} n \log_2 m.
10–11 класиНапівінваріанти
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2016-023

Подільність у грі з кубом 4×4×4

У комп’ютерній грі куб 4×4×44 \times 4 \times 4 складають із 434^3 одиничних кубиків. На початку гри кожен одиничний кубик містить ціле число. За кожен хід гри ви вибираєте одиничний кубик і збільшуєте на 1 всі числа в кубиках, які мають спільну грань з вибраним кубиком. Ви виграєте гру, якщо за скінченну кількість ходів досягнете позиції, у якій усі 434^3 числа діляться на 3. Чи можливо виграти гру незалежно від початкової позиції?
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2016-013

Цілочисельні трикутники з однаковою площею

Розглянемо трикутники, кожна вершина яких має цілі координати. Такий трикутник можна легально перетворити, пересунувши одну вершину паралельно протилежній стороні в іншу точку з цілими координатами. Доведіть, що якщо два трикутники з цілими координатами мають однакову площу, то існує послідовність легальних перетворень, яка переводить один в інший.
10–11 класиДискретні набори точок та прямих…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2016-001

Суми квадратів і подвоєні добутки сусідніх чисел

Нехай nn — непарне натуральне число і x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n — невід'ємні дійсні числа. Доведіть, що min⁡i=1,…,n(xi2+xi+12)⩽max⁡j=1,…,n2xjxj+1,\min_{i=1,\ldots,n}\left(x_i^2 + x_{i+1}^2\right) \leqslant \max_{j=1,\ldots,n} 2x_jx_{j+1}, де xn+1=x1x_{n+1} = x_1.
10–11 класиЧислові нерівності
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2016-006

Жабеня на відрізках, що попарно перетинаються

На площині задано n⩾2n \geqslant 2 відрізків таким чином, що довільні два з них перетинаються у внутрішній точці та жодні три не перетинаються в одній точці. Дід Панас має вибрати кінець кожного відрізка та посадити в нього жабеня очима в напрямку другого кінця. Після цього він плескає в долоні n−1n - 1 раз. Щоразу, коли він плескає, кожне жабеня одразу перестрибує в наступну точку перетину свого відрізка. Жабенята ніколи не змінюють напрямку стрибків. Дід Панас хоче розсадити їх таким чином, щоб жодна пара жабенят не опинилася в одній точці перетину в жодний момент часу. Доведіть, що дід Панас: а) може завжди так зробити, коли nn — непарне число; б) не зможе цього зробити, коли nn — парне число.
10–11 класиПарність і непарність
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2016-006

Скінченність послідовності перетворень AB-дерев

У тривимірному евклідовому просторі є множина з nn точок така, що жодні 4 з них не лежать в одній площині. Цю множину розбили на дві підмножини AA та BB. ABAB-деревом називають таку конфігурацію з n−1n-1 відрізка, кожний з яких має кінці в різних підмножинах AA та BB так, що відрізки не формують жодної замкненої ламаної. ABAB-дерево перетворюють на інше ABAB-дерево таким чином: вибирають довільні три різні відрізки A1B1A_1B_1, B1A2B_1A_2 та A2B2A_2B_2, де A1∈AA_1 \in A та A1B1+A2B2>A1B2+A2B1A_1B_1 + A_2B_2 > A_1B_2 + A_2B_1 і міняють сегмент A1B1A_1B_1 на A1B2A_1B_2. Доведіть для довільного заданого ABAB-дерева, що будь-яка послідовність припустимих перетворень дійде кінця, тобто після скінченної кількості кроків неможливо буде зробити жодного припустимого перетворення.
10–11 класиНапівінваріанти
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2015-002

Заміни дробів на дошці до останнього числа

Числа 12016,22016,32016,…,20152016\frac{1}{2016}, \frac{2}{2016}, \frac{3}{2016}, \dots, \frac{2015}{2016} записані на дошці. За один хід можна стерти будь-які два числа aa і bb та замінити їх на 3ab−2a−2b+2.3ab - 2a - 2b + 2. Яким буде єдине число, що залишиться після 2014 ходів?
10–11 класиІнші інваріанти

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.