Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

849 задач
ГеометріяПодібність (без кіл та площ)
Відбіркові тести на IMOTST-2010-017

Вписаний чотирикутник із серединами відрізків

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник з властивістю, що ∠ABD=∠DBC\angle ABD = \angle DBC. Нехай EE — точка перетину діагоналей ACAC і BDBD. Нехай MM — середина відрізка AEAE, а NN — середина сторони DCDC. Доведіть, що MBCNMBCN — вписаний чотирикутник.
10–11 класиОзнаки подібності
Відбіркові тести на IMOTST-2010-016

Перетин прямих, що сполучають точки на колах

Точки X,Y,ZX, Y, Z лежать у цьому порядку на одній прямій, причому ∣XY∣≠∣YZ∣|X Y| \neq |Y Z|. Нехай k1k_{1} і k2k_{2} — кола з діаметрами XYX Y і YZY Z відповідно. Точки A1A_{1} і B1B_{1}, відповідно A2A_{2} і B2B_{2}, лежать на колах k1k_{1} і k2k_{2} відповідно так, що ∠A1YA2=∠B1YB2=90∘\angle A_{1} Y A_{2} = \angle B_{1} Y B_{2} = 90^{\circ} Доведіть, що дві прямі A1A2A_{1} A_{2} і B1B2B_{1} B_{2} перетинаються на прямій XYX Y.
10–11 класиГомотерія і подібність
Відбіркові тести на IMOTST-2010-015

Точки дотику вписаних кіл і центр вписаного кола

Нехай ABCABC — трикутник. Точки MM і NN лежать на сторонах ACAC і BCBC відповідно так, що MN∥ABMN \parallel AB. Точки PP і QQ лежать на сторонах ABAB і CBCB відповідно так, що PQ∥ACPQ \parallel AC. Вписане коло трикутника CMNCMN дотикається до відрізка ACAC у точці EE. Вписане коло трикутника BPQBPQ дотикається до відрізка ABAB у точці FF. Прямі ENEN і ABAB перетинаються в точці RR, а прямі FQFQ і ACAC — у точці SS. Відомо, що AE=AFAE = AF. Доведіть, що центр вписаного кола трикутника AEFAEF лежить на вписаному колі трикутника ARSARS.
10–11 класиГомотерія і подібність
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2010-006

Рівнобедрений трикутник з подвоєним кутом

Дано гострокутний рівнобедрений трикутник ABCABC з основою ACAC. Усередині цього трикутника дано точку MM, що лежить з боку точки CC від серединного перпендикуляра до відрізка ACAC, і таку, що CM^A=2CB^AC\widehat{M}A = 2C\widehat{B}A, і точку NN всередині відрізка AMAM таку, що BN^M=CB^AB\widehat{N}M = C\widehat{B}A. - Доведіть, що CB^N=BA^MC\widehat{B}N = B\widehat{A}M. - Доведіть, що CM+MN=BNCM + MN = BN.
9–11 класиОзнаки подібності
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2010-003

Квадрат із точками поділу сторін у заданому відношенні

Сторона квадрата ABCDABCD дорівнює 33. Нехай PP — точка на стороні ABAB, що ділить ABAB у відношенні 2:12 : 1. Нехай QQ, RR — точки на стороні CDCD, що ділять CDCD у відношеннях 1:21 : 2, 2:12 : 1 відповідно. А SS, TT — точки на стороні DADA, що ділять DADA у відношеннях 1:21 : 2, 2:12 : 1 відповідно. Нехай UU — точка перетину прямих PRPR і QTQT, а VV — точка перетину прямих SUSU і BCBC. Знайдіть довжину відрізка BVBV.
7–9 класиВідношення відрізків в подібних т…
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2010-005

Циклічний чотирикутник із центрів трикутника

Нехай II, OO, HH — відповідно інцентр, центр описаного кола й ортоцентр гострокутного трикутника ABCABC, а вписане коло трикутника △ABC\triangle ABC дотикається до сторони BCBC в точці DD. Припустимо, що ∠B<∠C\angle B < \angle C, а пряма AOAO паралельна прямій HDHD. Доведіть, що чотири точки EE, FF, II, OO лежать на одному колі, де EE — точка перетину прямих ODOD і AHAH, а FF — середина відрізка CICI.
10–11 класиПряма Ейлера
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2010-004

Три прямі через одну точку при перпендикулярних діагоналях

Нехай ABCDABCD — чотирикутник, у якого ∠ABC≠90∘\angle ABC \neq 90^\circ. Нехай MM і NN — середини сторін ADAD і CDCD відповідно. Доведіть, що пряма, яка проходить через MM перпендикулярно до BCBC, пряма, яка проходить через NN перпендикулярно до ABAB, і пряма BDBD перетинаються в одній точці тоді й лише тоді, коли діагоналі BDBD і ACAC перпендикулярні.
10–11 класиГомотерія і подібність
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2010-003

Вписаний чотирикутник у конструкції з вписаним колом

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AB≠ACAB \neq AC, а II — центр вписаного кола. Вписане коло дотикається до сторін BCBC, CACA та ABAB відповідно в точках DD, EE та FF. Нехай MM — середина відрізка EFEF. Пряма ADAD перетинає вписане коло в точці P≠DP \neq D. Доведіть, що PMIDPMID — вписаний чотирикутник.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2010-004

Дотичні кола і вписаний чотирикутник

Нехай gg — пряма на площині. Кола k1k_{1} і k2k_{2} лежать з одного боку від прямої gg і дотикаються до прямої gg в точках AA відповідно BB. Ще одне коло k3k_{3} дотикається до кола k1k_{1} в DD і до кола k2k_{2} в CC. Доведіть, що: (a) Чотирикутник ABCDA B C D є вписаним. (b) Прямі BCB C і ADA D перетинаються на колі k3k_{3}.
10–11 класиКола, що дотикаються3 розв’язки
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2010-013

Перетин кіл у концентричній конфігурації

Нехай kk і k′k' — два концентричні кола з центром OO. Коло k′k' більше за коло kk. Пряма через OO перетинає kk в AA, а k′k' в BB так, що OO лежить між AA і BB. Інша пряма через OO перетинає kk в EE, а k′k' в FF так, що EE лежить між OO і FF. Доведіть, що описане коло трикутника OAEO A E, коло з діаметром ABA B і коло з діаметром EFE F перетинаються в одній точці.
10–11 класиЦентральні і вписані кути2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2009-103

Відношення радіусів вкладених кіл трикутника 10 на 12

Знайдіть відношення радіуса кола ωi+1\omega_{i+1} до радіуса кола ωi\omega_{i}, де ω1\omega_{1} — вписане коло рівнобедреного трикутника TT з основою 1010 і висотою 1212, а коло ωi+1\omega_{i+1} дотикається до кола ωi\omega_{i} та обох бічних сторін трикутника при i>1i > 1.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2009-128

Центри паралелограмів у прямокутному трикутнику

Нехай TT — прямокутний трикутник зі сторонами завдовжки 33, 44 і 55. Точка PP називається чудовою, якщо PP є центром паралелограма, усі вершини якого лежать на межі трикутника TT. Знайдіть площу множини чудових точок.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2009-129

Змій із вписаним колом та умовою дотику

Змій — це чотирикутник, діагоналі якого перпендикулярні. Нехай змій ABCDABCD такий, що ∠B=∠D=90∘\angle B = \angle D = 90^{\circ}. Нехай MM і NN — точки дотику вписаного кола чотирикутника ABCDABCD до сторін ABAB і BCBC відповідно. Нехай ω\omega — коло з центром у CC, дотичне до сторін ABAB і ADAD. Побудуємо інший змій AB′C′D′AB' C' D', подібний до ABCDABCD, вписаним колом якого є ω\omega. Нехай N′N' — точка дотику сторони B′C′B' C' до кола ω\omega. Якщо MN′∥ACMN' \parallel AC, то чому дорівнює відношення AB:BCAB : BC?
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2009-154

Об'єм тіла, утвореного обертанням навколо прямої

Нехай R\mathcal{R} — область на площині, обмежена графіками y=xy = x і y=x2y = x^{2}. Обчисліть об'єм тіла, утвореного обертанням області R\mathcal{R} навколо прямої y=xy = x.
10–11 класиПлоща кола і його частин
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2009-082

Дельтоїд з вписаним колом і умовою паралельності

Дельтоїд — це чотирикутник, діагоналі якого перпендикулярні. Нехай дельтоїд ABCDABCD такий, що ∠B=∠D=90∘\angle B = \angle D = 90^{\circ}. Нехай MM і NN — точки дотику вписаного кола дельтоїда ABCDABCD до сторін ABAB і BCBC відповідно. Нехай ω\omega — коло з центром у точці CC, дотичне до прямих ABAB і ADAD. Нехай AB′C′D′AB' C' D' — інший дельтоїд, подібний до ABCDABCD, вписаним колом якого є ω\omega. Нехай N′N' — точка дотику сторони B′C′B' C' до кола ω\omega. Якщо MN′∥ACMN' \parallel AC, то чому дорівнює відношення AB:BCAB : BC?
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2009-054

Об'єм тетраедра після добудови

ABCDABCD — правильний тетраедр об'єму 11. Марія приклеює правильні тетраедри A′BCDA'BCD, AB′CDAB'CD, ABC′DABC'D і ABCD′ABCD' до граней тетраедра ABCDABCD. Чому дорівнює об'єм тетраедра A′B′C′D′A'B'C'D'?
10–11 класиМетод координат
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2009-059

Відбиття лазера в правильному шестикутнику

Правильний шестикутник ABCDEFA B C D E F має сторону 22. Лазерний промінь запускають усередині шестикутника з точки AA, і він влучає у сторону BC‾\overline{B C} в точці GG. Потім промінь відбивається від сторони BC‾\overline{B C} і влучає в середину сторони DE‾\overline{D E}. Знайдіть довжину відрізка BGB G.
10–11 класиОзнаки подібності
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2009-003

Прямокутний трикутник з медіаною і симетрією

Дано трикутник ABCA B C, прямокутний у AA і з більшим катетом ACA C; нехай MM — середина гіпотенузи BCB C, NN — точка, симетрична AA відносно прямої BCB C, OO — перетин перпендикуляра до відрізка MNM N, проведеного через NN, з прямою, що містить BCB C. a) Доведіть, що кут OMNO M N удвічі більший за кут ACBA C B. b) Доведіть, що відношення площ трикутників MNOM N O і ABCA B C дорівнює чверті відношення довжин відрізків BCB C і HMH M, де HH — основа висоти, проведеної до гіпотенузи трикутника ABCA B C.
9–11 класиЦентральні і вписані кути
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2009-003

Колінеарні точки на дотичних колах

Коло O1O_1 радіуса 22 і коло O2O_2 радіуса 44 зовнішньо дотикаються в точці PP. Точки AA і BB, відмінні від точки PP, вибрано на колах O1O_1 і O2O_2 відповідно так, що точки AA, PP і BB лежать на одній прямій. Знайдіть довжину відрізка PBPB, якщо довжина відрізка ABAB дорівнює 44.
10–11 класиГомотерія і подібність2 розв’язки
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2009-003

Дотичне коло та паралельні прямі

Нехай △ABC\triangle ABC — трикутник, у якому ∠B<∠C\angle B < \angle C. Нехай OO — коло, що дотикається до прямої ACAC у точці CC і проходить через точку BB. Прямі ABAB і COCO перетинають коло OO у точках D(≠B)D (\neq B) і P(≠C)P (\neq C) відповідно. Нехай EE — перетин прямої ACAC і прямої, що проходить через PP паралельно AOAO. Пряма EBEB і коло OO перетинаються в точці L(≠B)L (\neq B). Нехай FF — перетин серединного перпендикуляра до відрізка BDBD і прямої ACAC, а KK — перетин прямих LFLF і CDCD. Доведіть, що прямі EKEK і CLCL паралельні.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2008-004

Прямокутний трикутник 3, 4, 5 і радіус кола

Дано прямокутний трикутник ABCABC, у якому AB=4AB = 4, BC=3BC = 3 і CA=5CA = 5. Коло ω\omega проходить через AA і дотикається до прямої BCBC в точці CC. Чому дорівнює радіус кола ω\omega?
10–11 класиОзнаки подібності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2008-076

Коло, дотичне до вписаного кола рівностороннього трикутника

Нехай ABCABC — рівносторонній трикутник. Нехай Ω\Omega — коло, вписане в трикутник ABCABC, а ω\omega — коло, що дотикається зовні до кола Ω\Omega, а також до сторін ABAB і ACAC. Знайдіть відношення радіуса кола Ω\Omega до радіуса кола ω\omega.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2008-118

Коло, дотичне до катетів, з точками на гіпотенузі

Нехай ABCABC — трикутник з ∠BAC=90∘\angle BAC = 90^\circ. Коло дотикається до сторін ABAB і ACAC у точках XX і YY відповідно так, що точки кола, діаметрально протилежні до XX і YY, обидві лежать на стороні BCBC. Відомо, що AB=6AB = 6, знайдіть площу частини круга, що лежить зовні трикутника.
10–11 класиПлоща кола і його частин
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2008-040

Квадрати на спільній основі, вписані в трикутник

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=5AB = 5, BC=4BC = 4 і AC=3AC = 3. Нехай P\mathcal{P} і Q\mathcal{Q} — квадрати всередині трикутника ABCABC з неперетинними внутрішностями, кожен з яких має одну сторону, що лежить на ABAB. Крім того, кожен із двох квадратів має сторону, що лежить на спільній прямій, перпендикулярній до ABAB, причому P\mathcal{P} має одну вершину на ACAC, а Q\mathcal{Q} має одну вершину на BCBC. Знайдіть найменше значення суми площ цих двох квадратів.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2008-057

Кут у трикутнику з умовами на довжини

Трикутник ABCABC задовольняє AB=2ACAB = 2AC і ∠BAC=120∘\angle BAC = 120^\circ. Точки PP і QQ лежать на відрізку BCBC так, що AB2+BC⋅CP=BC23AC2+2BC⋅CQ=BC2\begin{aligned} AB^2 + BC \cdot CP &= BC^2 \\ 3AC^2 + 2BC \cdot CQ &= BC^2 \end{aligned} Знайдіть ∠PAQ\angle PAQ у градусах.
10–11 класиОзнаки подібності

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.