Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 352 задачі
АлгебраПослідовності і суми
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-081

Сума вкладених модулів

Нехай f(x)=∣∣⋯∣∣∣∣x∣−1∣−2∣−3∣−⋯∣−10∣f(x) = ||\cdots||| | x|-1|-2|-3|-\cdots|-10| Обчисліть f(1)+f(2)+⋯+f(54)+f(55)f(1) + f(2) + \cdots + f(54) + f(55).
10–11 класиСуми послідовностей
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-017

Математичне сподівання збору всіх граней кубика без повторів

У Марка є проклятий шестигранний гральний кубик, на якому ніколи не випадає те саме число двічі поспіль, а всі інші результати рівноймовірні. Обчисліть математичне сподівання кількості кидків, потрібної для того, щоб кожне число випало хоча б раз.
10–11 класиГеометрична прогресія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-054

Сума дробів із сумами чисел до 100

Обчисліть 2+3+⋯+1001+3+4+⋯+1001+2+⋯+1001+2+⋯+99.\frac{2+3+\cdots+100}{1}+\frac{3+4+\cdots+100}{1+2}+\cdots+\frac{100}{1+2+\cdots+99} .
10–11 класиСуми послідовностей
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-025

Шляхи на решітці з ходами та стрибками

Жабеня Келвін наразі сидить у точці (0,0)(0,0) координатної площини. Якщо Келвін перебуває в точці (x,y)(x, y), то він може або пройти до будь-якої з точок (x,y+1)(x, y+1), (x+1,y)(x+1, y) чи (x+1,y+1)(x+1, y+1), або стрибнути до будь-якої з точок (x,y+2)(x, y+2), (x+2,y)(x+2, y) чи (x+1,y+1)(x+1, y+1). Прохід і стрибок з точки (x,y)(x, y) до точки (x+1,y+1)(x+1, y+1) вважаються різними діями. Обчисліть кількість способів, якими Келвін може дістатися до точки (6,8)(6,8).
10–11 класиКомбінації
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-027

Ітеровані проєкції між мимобіжними прямими

Нехай ℓ\ell і mm — дві мимобіжні прямі у просторі, а P1P_{1} — точка на прямій ℓ\ell. Нехай P2P_{2} — точка на прямій mm, найближча до P1P_{1}, P3P_{3} — точка на прямій ℓ\ell, найближча до P2P_{2}, P4P_{4} — точка на прямій mm, найближча до P3P_{3}, а P5P_{5} — точка на прямій ℓ\ell, найближча до P4P_{4}. Відомо, що P1P2=5P_{1}P_{2}=5, P2P3=3P_{2}P_{3}=3 і P3P4=2P_{3}P_{4}=2. Обчисліть довжину відрізка P4P5P_{4}P_{5}.
10–11 класиМетод координат
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-030

Многочлен двох змінних із подвійної суми

Можна показати, що існує єдиний многочлен PP від двох змінних такий, що для всіх натуральних чисел mm і nn, P(m,n)=∑i=1m∑j=1n(i+j)7.P(m, n)=\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n}(i+j)^{7} . Обчисліть P(3,−3)P(3,-3).
10–11 класиМногочлени багатьох змінних
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-031

Математичне сподівання у процесі вилучення карт

Колода зі 100 карт позначена 1,2,…,1001, 2, \ldots, 100 зверху вниз. Беруть дві верхні карти; одну з них навмання відкидають, а іншу кладуть назад у низ колоди. Цей процес повторюють, доки в колоді не залишиться одна карта. Обчисліть математичне сподівання номера карти, що залишилася.
10–11 класиІнші інваріанти2 розв’язки
Італійська математична олімпіадаITAMO-2024-004

Пропущене число в сумі від 1 до 2024

Вітторіо обчислює суму чисел від 11 до 20242024, але помилково пропускає одне! Відомо, що він отримує число, кратне 55. Яке з наведених чисел могло бути пропущеним? (A) 11 (B) 100100 (C) 222222 (D) 20232023 (E) 20242024
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2024-003

Послідовність з рекурентним співвідношенням через модуль

Розглянемо послідовність a1,a2,a3,…a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, задану умовою a1=20242024a_{1} = 2024^{2024} і для кожного натурального числа nn, an+1=∣an−2∣.a_{n + 1} = \left|a_{n} - \sqrt{2}\right|. Доведіть, що існує ціле число kk таке, що ak+2=aka_{k + 2} = a_{k}. Тут ∣x∣|x| позначає абсолютну величину числа xx.
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2024-004

Нерівність із добутком різниць одиниці та дробів

Доведіть таку нерівність: 620243<(1−34)(1−35)(1−36)(1−37)…(1−32025).\frac{6}{2024^{3}} < \left(1 - \frac{3}{4}\right)\left(1 - \frac{3}{5}\right)\left(1 - \frac{3}{6}\right)\left(1 - \frac{3}{7}\right)\dots \left(1 - \frac{3}{2025}\right).
10–11 класиСуми послідовностей
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2024-007

Трапецієподібні числа з точок

Точкова трапеція складається з кількох рядів точок так, що кожен ряд містить на одну точку більше, ніж ряд безпосередньо над ним (крім верхнього ряду). Наприклад, ось точкова трапеція з 15 точок, у якій 3 ряди і 4 точки у верхньому ряді. Натуральне число nn називається трапецієподібним числом, якщо існує точкова трапеція, що складається рівно з nn точок, з принаймні двома рядами і принаймні двома точками у верхньому ряді. Скільки існує трапецієподібних чисел, менших за 100?
10–11 класиАрифметична прогресія2 розв’язки
Нідерландська юніорська математична олімпіадаDJMO-2023-010

Трикутні числа, що закінчуються нулем

Трикутне число — це кількість кіл, які можна розмістити в рівносторонньому трикутнику певної висоти. Наприклад, на малюнку праворуч видно, що четверте трикутне число дорівнює 1010. Жасмин записує перші 10001000 трикутних чисел: 11, 33, 66, 1010, 1515, …\ldots. Скільки з цих чисел закінчуються на 00?
7–9 класиАрифметика остач (базові властиво…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2023-015

Відношення площ вкладених квадратів і кіл

У квадраті ми малюємо вписане коло, в яке малюємо вписаний квадрат, сторони якого паралельні сторонам початкового квадрата. Область між цими квадратами зафарбовуємо темно-сірим кольором. У меншому квадраті ми знову малюємо вписане коло, що містить інший вписаний квадрат з паралельними сторонами; область між ними ми зафарбовуємо світло-сірим кольором. Ми повторюємо цей процес, доки не буде 2023 темно-сірих і 2023 світло-сірих областей. На малюнку зображено перші кроки. Внутрішній квадрат залишається білим. Площа всіх темно-сірих областей разом становить рівно 1. Яка площа всіх світло-сірих областей разом?
10–11 класиПлощі подібних фігур
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-079

Обмежена послідовність із квадратичною нерівністю

Нехай a1,a2,…a_{1}, a_{2}, \ldots — додатні дійсні числа такі, що an+12+anan+2⩽an+an+2a_{n+1}^{2}+a_{n} a_{n+2} \leqslant a_{n}+a_{n+2} для кожного цілого n⩾1n \geqslant 1. Доведіть, що a2023⩽1a_{2023} \leqslant 1.
10–11 класиЧислові нерівності
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-099

Послідовні цілі числа з фіксованою кількістю простих

Чи можна знайти блок із 1000 послідовних натуральних чисел, який містить рівно 5 простих чисел?
8–10 класиРозподіл простих чисел
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-064

Періодична рекурентна послідовність із сумою та добутком

Нехай aa і bb — два дійсні числа. Визначимо послідовності (an)\left(a_{n}\right) і (bn)\left(b_{n}\right) рівностями a0=a, b0=ba_{0}=a,\ b_{0}=b і для кожного натурального числа nn рівностями an+1=an+bna_{n+1}=a_{n}+b_{n} і bn+1=anbnb_{n+1}=a_{n} b_{n}. Знайдіть усі пари (a,b)(a, b) такі, що a2022=a0a_{2022}=a_{0} і b2022=b0b_{2022}=b_{0}.
8–10 класиСуми послідовностей
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-068

Нерівність для послідовності з обмеженими приростами

Нехай b1,…,bnb_{1}, \ldots, b_{n} — невід'ємні дійсні числа такі, що b1+b2+…+bn=2b_{1}+b_{2}+\ldots+b_{n}=2. Нехай a0,a1,…,ana_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n} — дійсні числа такі, що a0=an=0a_{0}=a_{n}=0. Припустимо, що для кожного ii від 1 до nn включно: ∣ai−ai−1∣⩽bi\left|a_{i}-a_{i-1}\right| \leqslant b_{i} Доведіть, що (a0+a1)b1+(a1+a2)b2+…+(an−1+an)bn⩽2\left(a_{0}+a_{1}\right) b_{1}+\left(a_{1}+a_{2}\right) b_{2}+\ldots+\left(a_{n-1}+a_{n}\right) b_{n} \leqslant 2
8–10 класиЧислові нерівності
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-088

Послідовність з двома періодами

Нехай (un)n∈N\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} — послідовність, періодична з періодом 2022 і з періодом 5. Доведіть, що (un)\left(u_{n}\right) стала. Послідовність (un)\left(u_{n}\right) називається періодичною з періодом tt, якщо для кожного натурального числа nn виконується un+t=unu_{n+t}=u_{n}.
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-089

Рекурентна послідовність із квадратним коренем

Нехай (an)(a_{n}) — послідовність дійсних чисел. Припустимо, що a0=1a_{0}=1 і що для всякого n⩾1n \geqslant 1 число ana_{n} є найменшим додатним розв'язком рівняння (an−an−1)(an+an−1−2n)=2.\left(a_{n}-a_{n-1}\right)\left(a_{n}+a_{n-1}-2 \sqrt{n}\right)=2 . Знайти найменше ціле число nn таке, що an⩾2022a_{n} \geqslant 2022.
10–11 класиМетод математичної індукції
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-095

Подільність у нелінійній рекурентній послідовності

Нехай (an)n⩾1\left(a_{n}\right)_{n \geqslant 1} — послідовність натуральних чисел така, що a1a_{1} і a2a_{2} взаємно прості і для всіх n⩾1n \geqslant 1 виконується an+2=anan+1+1a_{n+2}=a_{n} a_{n+1}+1. Доведіть, що для будь-якого цілого m>1m>1 існує n>mn>m таке, що amm∣anna_{m}^{m} \mid a_{n}^{n}. Чи залишається результат правильним при m=1m=1?
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-105

Геометрична прогресія зі зсунутим першим членом

Тайлер має нескінченну геометричну прогресію із сумою 1010. Він збільшує перший член своєї послідовності на 44 і швидко змінює наступні члени так, щоб знаменник залишився тим самим, утворюючи нову геометричну прогресію із сумою 1515. Обчисліть знаменник прогресії Тайлера.
10–11 класиГеометрична прогресія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-095

Обернення двійкового запису і арифметична прогресія

Для будь-якого непарного натурального числа nn нехай r(n)r(n) — непарне натуральне число таке, що двійковим записом числа r(n)r(n) є записаний навпаки двійковий запис числа nn. Наприклад, r(2023)=r(111111001112)=111001111112=1855r(2023) = r\left(11111100111_{2}\right) = 11100111111_{2} = 1855. Визначте з доведенням, чи існує строго зростаюча восьмичленна арифметична прогресія a1,…,a8a_{1}, \ldots, a_{8} з непарних натуральних чисел така, що r(a1),…,r(a8)r\left(a_{1}\right), \ldots, r\left(a_{8}\right) є арифметичною прогресією в указаному порядку.
10–11 класиСистеми числення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-082

Сума за квадратними коренями з дільників

Марк пише на дошці вираз d\sqrt{d} для кожного додатного дільника dd числа 8!8!. Побачивши, що за ці вирази на HMMT можуть не дати балів, Рішаб спрощує кожен вираз до вигляду aba \sqrt{b}, де aa і bb — цілі числа такі, що bb не ділиться на квадрат простого числа. (Наприклад, 20\sqrt{20}, 16\sqrt{16} і 6\sqrt{6} спрощуються до 252 \sqrt{5}, 414 \sqrt{1} і 161 \sqrt{6} відповідно.) Обчисліть суму a+ba+b за всіма виразами, які записав Рішаб.
10–11 класиСума дільників σ(n)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-100

Підмножинні суми, що утворюють суцільний проміжок

Є n≥2n \geq 2 монет, номінали яких — різні натуральні числа. Назвемо ціле число mm липким, якщо деяка підмножина цих nn монет має сумарну вартість mm. Назвемо весь набір монет паличкою, якщо всі липкі числа утворюють послідовний проміжок цілих чисел. Обчисліть найменшу можливу сумарну вартість палички серед усіх паличок, що містять монету номіналом 100100.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-101

Сума біноміальних коефіцієнтів за модулем 8

Нехай rkr_{k} — остача від ділення (127k)\binom{127}{k} на 88. Обчисліть r1+2r2+3r3+⋯+63r63r_{1} + 2 r_{2} + 3 r_{3} + \cdots + 63 r_{63}.
10–11 класиВластивості біноміальних коефіціє…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.